定積分的證明題44題

1、題目1證明題 容易d x證明 一 (x -t) f (t)dt = f (x) 一 f (a) dx a題目2證明題容易利用積分中值定理證明：lim 4sinnxdx=0 n )0 0題目3證明題一般b設(shè)函數(shù) f(x)在a,b內(nèi)可導(dǎo),且 f(a) =0J f(x)dx = 0 a證明：在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)亡使f區(qū))=0。題目4證明題一般設(shè)f (x) = f (x +a),naa證明：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)° f (x)dx = n 0 f (x)dx題目5證明題11證明：0xm(1-x)ndx=0xn(1-x)mdx題目6證明題一般設(shè)f (x)在a,b上有定義，且對(duì)a,b上任意兩點(diǎn)x, y

2、,有 f (x) - f (y) E|x - y.則f (x)在a,b上可積，且b,，一12a f (x)dx (ba)f(a) <-(b-a)。題目7證明題一般設(shè)f (x)在a,b上的連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a) = f (b) =0.b2證明：4 1 f (x) dx <M (b - a)，其中 M = sup f '(x)。a-x :b題目8證明題一般之，設(shè)f (x)在a,b上正值，連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)b1 b使 f(x)dx = f (x)dx = f (x)dxa-2 a題目9證明題一般證明：0< 戶(hù)sinn噂xdx< 戶(hù)sinn

3、xdx。題目10證明題一般1 1 dx 二求證:一 < f； <一 。00.232 4 -x x 6題目14證明題般題目11證明題一般設(shè)f (x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)任一閉區(qū)間上積分為零，證明f(x)在(a,b)內(nèi)恒等于零。題目12證明題 一般若函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù)，a 321 a2證明：°x f (x )dx=5 ° xf (x)dx (a 0)。題目13證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在a,b上連續(xù),b2證明：f(x)g(x)dxa- 2b 2f (x)dx g g (x)dx 。a設(shè)f (x)在0,1上連續(xù)，證明：02 f (

4、sin 2 )cos d = 04 f (sin2 )(cos ： sin ： )d ：題目15證明題一般設(shè) f (x)在a,b上可導(dǎo)，且 f '(x) EM, f(a) =0,一 bMc證明：f (x)dx < (b - a)。題目16證明題一般設(shè) f(x)在Q2a,(a >0)上連續(xù)， 2aa證明：I f (x)dx = 口 f (x)十 f (2a -x)dx題目17證明題一般設(shè)k為正整數(shù)，證明：(1) 1%os2 kxdx = n ;(2)/sin 2kxdx = n 。題目18證明題設(shè)f(x)在0,1上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).且f(1) - f(0) =1.i2試證:。f

5、 (x) dx _1。題目19證明題一般若m為正整數(shù)，TEf2 cosm xdx 。- 01證明：2 cos x sin xdx =-02m題目#證明題一般若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)， bb則 a f (x)dx =(b a) fa (b -a)xdx題目21證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，_1 2 -證明：02 f (cosx)dx =z |0 f (cosx )dx。題目22證明題一般x若函數(shù)f(x)在Rt續(xù),且f(x)=f(t)dt,則f(x)三0 a題目23證明題一般設(shè)f(x)是以n為周期的連續(xù)函數(shù)，2 -證明:0 (sinx +x)f (x)dx= J0 (2x + .

6、)f (x)dx。題目24證明題一般設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，試證明：對(duì)于任何qw 0,1,都有不等式q1、10 f (x)dx >q f f (x)dx成立。題目25證明題一般設(shè)f (x)在a,b上單調(diào)增加.且f x)>0.證明:(b -a) f (a):二 a f (x)dx ： (b - a) (a) (b) 題目#證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù)且單調(diào)遞增。1 xF(x) = f (t)dt ,(a < x<b) x - a aF(a) = f(a),證明：5儀)在32上單調(diào)增.。題目27證明題一般設(shè)f (x)在a,b上二階可導(dǎo)且f "

7、;(x) oO, ba b證明：a f (x)dx <(b -a) f ( 2 ) °題目28證明題一般設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在a,b可導(dǎo)，且f'(x)<0,證明函數(shù)x f (t) F(x)dta x - a在(a,b)內(nèi)滿(mǎn)足 F '(x) <0 。題目29證明題一般試證：如果f(x)在a,b上連續(xù)，且對(duì)于一切xwa,b, f(x) >0-一 b同時(shí)至少存在一點(diǎn)tea,b,使f(W)A0,則f(x)dx>0。 a題目30證明題一般bc _a試證 f f (c x)dx = f f (x)dx 。-a-c _b題目31證明題 一般設(shè)函

8、數(shù)f(x)在0,1上可微，且滿(mǎn)足等式：1f (1) -2 02 xf(x)dx =0試證在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn) J使£仁)=-2。題目#證明題一般設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，并且對(duì)于每一個(gè)在a,bb上的連續(xù)函數(shù)g(x).都有g(shù)(x) f(x)dx = 0證明：f (x) = 0 (a < x < b)。題目33證明題難設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f'(x,且f(a) = 0,bb - a b 12則f (x) f '(x)| dx < 2a f (x) dx。題目#證明題難設(shè)f(x)在a,b上二階連續(xù)可微，其中a<0<b,則在該區(qū)

9、間上必存在一個(gè)使b1f(x)dx =bf(b) -af (a)b2 f (b) -a2f a2!1 .+(b3 _a3)f 仁 0) 03!題目35證明題難若f(x)關(guān)于x =T對(duì)稱(chēng)，且a<T cb,bb2T b則 la f (x)dx = 2 |T f (x)dx+|af (x)dx題目37證明題難1 x4dx=.o1 x4dx =JI2. 2題目37證明題難證明奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù), 偶函數(shù)的原函數(shù)中有一為奇函數(shù)。題目#證明題難,x 1f(t)dtdtb f(t)x設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，且 f(x) >0,又 F(x)= f a證明：F (x) = 04 a, b內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。題目39證明題難a ra2 1f (x +)-dx。1x xaa2 1證明：當(dāng) a>1 時(shí)，有 f f (x +)-dx =1x x1題目40證明題難若函數(shù)f (x)在0,+好連續(xù)，且lim f (x) = A, x .二則:1 x lim x"J x 0f (t)dt = A。題目41證明題難b證明：右 ff (x)dx =0則f (x) =0xa,b0a題目#證明題難設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，1 x證明：limf (t h) - f (t)dt = f(x) - f(a) (a :二