對數(shù)與對數(shù)函數(shù)-知識點與題型歸納

1、第與對數(shù)函數(shù)高考明方向1 .理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般 對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的 作用.2 .理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù) 函數(shù)圖象通過的特殊點.3 .知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4 .了解指數(shù)函數(shù)y = ax與對數(shù)函數(shù)y = logax互為反函數(shù)（a>0, 且 aw 1）備考知考情通過對近幾年高考試題的統(tǒng)計分析可以看出，本節(jié)內(nèi)容 在高考中屬于必考內(nèi)容，且占有重要的分量，主要以選擇題 的形式命題，也有填空題和解答題.主要考查對數(shù)運算、換 底公式等.及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).對數(shù)函數(shù)與幕、指數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，利用單

2、調(diào)性比較大小、解不等式是高考的熱百八、.、知識梳理名師一號 P27汪忠：知識點一對數(shù)及對數(shù)的運算性質(zhì)1 .對數(shù)的概念一般地，對于指數(shù)式ab=N,我們把 以a為底N的對 數(shù)b”記作logaN,即b=logaN（a>0,且a力）.其中，數(shù)a叫 做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，讀作b等于以a為底N的對 數(shù)”.注意：（補充）關(guān)注定義一指對互化的依據(jù)2 .對數(shù)的性質(zhì)與運算法則對數(shù)的運算法則如果a>0且a力，M>0, N>0,那么 lOga(MN) =lOgaM +logaN； lOgaN" = lOgaM lOgaN ；logaMn= nlogaM(n R)； lOgamMn

3、=m110gaM.(2)對數(shù)的性質(zhì)a10gaN=N； 1ogaaN = N (a>0,且 a力).（3）對數(shù)的重要公式換底公式：1ogbN =b均大于零且不等于1）;赤1 10gab=j推廣 lOgab lOgbC 1ogcd= lOgad.注意：（補充）特殊結(jié)論：1oga1 0, 1oga a 1知識點二對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>11 .對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（注意定義域！）0<a<12 .反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y= ax與對數(shù)函數(shù)y= logax互為反函數(shù), 它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.(補充)設(shè)y=f(x)存在反函數(shù)，并記作y = f 1(x),1)函數(shù)y= f(x)與其反

4、函數(shù)y=f1(x)的圖象關(guān)于直線 y x 對稱2)如果點P(x0, y0)在函數(shù)y = f(x)的圖象上，則必有 f(yo) = xo，反函數(shù)的定義域、 值域分別為原來函數(shù)的值域、 定義域3)函數(shù)y= f(x)與其反函數(shù)y=f1(x)的單調(diào)性相同.二、例題分析：(一)對數(shù)式的運算例 1.(1) 名師一號 P27 對點自測 1(2013陜西文3)設(shè)a, b, c均為不等于1的正實數(shù)，則下列等式中恒成立的是()A . logab logcb= logca8. logab logca= logcbC . loga(bc) = logab logacD . loga(b+ c)= logab+ log

5、ac解析 由對數(shù)的運算性質(zhì)：lOga(bC)= lOgab+ lOgaC,可判斷選項C, D錯誤；選項A,由對數(shù)的換底公式知,logab logcb=logca? Igb 盤=翳 lg2b=lg2a,此式不恒成立，故錯誤；對選項 B,由對數(shù)的換底公式知，logab logcalogcb,故恒成立.lgb lga lgb : =. = lga lgc Igc答案 B例1.(2)(補充)計算下列各式的值2lg2 lg311 1 lg0.36 lg823(2)溫故知新P22第8題lg5 2 lg2 lg50 4log23 1.1.1 10g 2 瓦 10g3 d 10g5 % 2589答案：(1)

6、1(2)10(3)-12注意：準確熟練記憶對數(shù)運算性質(zhì)多練1g 2 1g5 1名師一號P28高頻考點例1【規(guī)律方法】 在對數(shù)運算中，要熟練掌握對數(shù)式的定 義，靈活使用對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式和對數(shù)恒等式對式 子進行包等變形，多個對數(shù)式要盡量化成同底的形式.例2.(1)名師一號P27 對點自測2（2014 陜西卷）已知 4a = 2, 1gx = a,貝U x =1 .1斛析 . 4=2, . .a= log42 = 2.由 lgx = 2,1得 x=102 =航.例2. (2)名師一號P28高頻考點 例1(1)若 x=log43,則（2x 2一x）2 等于（）D.3解析：由 x= log43,

7、得 4x= 3 即 2x=43, 2 x=13,所以(2x 2 x)2=.2=3注意：指數(shù)與對數(shù)的互化ab=N? b= log a N (a>0, aw 1, N>0).-a.b_ 11一練習(xí)：(補充)已知35yb2求k 答案:k .159例3.名師一號P28高頻考點例1(2)已知函數(shù)f(x)=lOg2X, X>0,3 X+1, x磷,一一 _1 ，一則 f(f(1) +f log32 的值是()A. 5B. 3C. -1D.2因為 f(1) = log2l=0,所以 f(f(1) =f(0)=2.,_11ilog32因為 lOg32<0,所以 f lOg3 =3+ 1

8、 = 3lOg32+1 = 2+1 = 3.1所以 f(f(1)+f 10g32 =2 + 3 = 5.二、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用例1.(補充)求下列函數(shù)的定義域.(1)y= V1ogo.5(4x 3).(2)y=1og(x+1)(16 4x).ii解析：（1）由函數(shù)定義知:log0.5(4x -3p04x 3>04x3 司4x-3>0,一 3即 4<x， 3故原函數(shù)的止義域是x|4<x白.x + 1>0(2)由函數(shù)有意義知 x+1聲164x>0x> 一 1x 為 即1<x<2,且 x 用.x<2故原函數(shù)的定義域為x|1<x

9、<0,或0<x<2.練習(xí)：已知集合x y log2 x2 ax a R求實數(shù)a的取值范圍.解析：設(shè) f(x)=x2 ax a,則 y = log2*x),依題意，f(x)>0包成立，；A= a2+4a<0.4<a<0,即 a 的范圍為(一4,0)例2.名師一號P27對點自測5(2014重慶卷)函數(shù)f(x) =log2以log 及 (2x)的最小值為.解析根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)，f(x) = 1og2x 1ogg2 (2x)12 ,=210g2x 2log2(2x) = log2x(1 + log2x) = (log2x) + log2x =lOg2X + ；

10、2 4，當乂 =岑時，函數(shù)取得最小值一1.一、/汪忠：換元后“新元”的取值范圍.練習(xí)：1、求下列函數(shù)的值域(1) y=log1(x2 + 2x+4)5答案 1, +S1(2) f(x) = log2x 3log2x? + 2 2雙或一 人1解析令t=iog2x, .2今磴 1磷，.函數(shù)化為 y=t2 6t+2=(t 3)27''' 1 q司.二當 t= - 1 ,即 X=2時，ymax=9.當 t= 1 ,即 X = 2 時，ymin= 3, .函數(shù)的值域為 3,9.2、已知集合y y log2 x2 ax a R求實數(shù)a的取值范圍.分析當且僅當f(x) =x2 ax-

11、 a的值能夠取遍一切正實數(shù) 時，y = log2(x2 ax a)的值域才為R.而當A <0時，f(x)>0包成立，僅僅說明函數(shù)定義域為R,而f(x)不一定能取遍一切正實數(shù)(一個不漏).要使f(x)能取 遍一切正實數(shù)，作為二次函數(shù)，f(x)圖像應(yīng)與x軸有交點(但 此時定義域不再為R)正解要使函數(shù)y= 10g2(x2 axa)的值域為R,應(yīng)使f(x) = x2 ax a能取遍一切正數(shù)，要使 f(x)=x2ax a能取遍一切正實數(shù)，應(yīng)有A= a2 + 4ai> 0,a0或a0 4,所求a的取值范圍為(一00, - 4 U 0, +oo)例3. (1)名師一號P27 對點自測4已知

12、a>0且a力，則函數(shù)y=loga(x + 2 015)+2的圖象 恒過定點.解析 令x+2 015= 1,即x= 2 014時，y = 2,故其 圖象恒過定點(一2 014,2).練習(xí)：無論a取何正數(shù)(aw1)函數(shù)y loga x 33恒過定點.【答案】4,3汪忠：對數(shù)函數(shù)y loga x a 。，且a 1圖象都經(jīng)過定點（1,0）例3. （2）（補充）如右下圖是對數(shù)函數(shù) 丫 = 1。9寸，y=logbX,y=logcX,y = logdX 的圖象，貝U a、b> c、d與1的大小關(guān)系是(A. a>b>1>c>dB. b>a>1>d>c

13、C. 1>a>b>c>dD. a>b>1>d>c【答案】B在上圖中畫出直線y=1,分別與、交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1),由圖可知 c<d<1<a<b.注意：(補充)兩個單調(diào)性相同的對數(shù)函數(shù)，它們的圖象在位于直線x=1右側(cè)的部分是 底大圖低利用logaa 1 ,圖象都經(jīng)過a,1點，作直線y 1,則該直線與圖象的交點的橫坐標即為底數(shù) ao例3. (3)名師一號P28高頻考點例2(?*y=l呻舁(2014 福建卷)若函數(shù) y = logax(a>0,且a為)的圖象如圖所示，%則下列函數(shù)圖象正確

14、的是()答案： B.例 4.名師一號P28 高頻考點 例 3已知函數(shù) f(x) = log4(ax2+ 2x + 3).(1)若f(1) = 1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值為0?若存在，求出 a 的值；若不存在，說明理由解析:(1)= f(1) = 1,.log4(a+ 5)=1,因此 a+ 5 = 4, a= - 1.這時 f(x)=log4(x2+2x+3).由 x2 2x 3>0 得 1<x<3，函數(shù)f(x)的定義域為(-1,3).令 g(x)= x2 + 2x+3,則g(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減.又y= l

15、og4x在(0, + oc)上單調(diào)遞增,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).假設(shè)存在實數(shù)a使f(x)的最小值為0,則h(x) = ax2 + 2x+3應(yīng)有最小值1,a>0,因此應(yīng)有3a 1二二 1，-11解彳導(dǎo)a= 2. 1 一 一一，一故存在頭數(shù)a= 2使f(x)的取小值為0.練習(xí)：溫故知新P32第5題三、比較大小例1.名師一號P29特色專題典例f 1 電也*已知口三5運二5崛川產(chǎn)二|15 / ，則（）A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b【規(guī)范解答】=丁八=5loe>方

16、法1：在同一坐標系中分別作出函數(shù)y=log2x, y=log3x, y = log4x的圖象，如圖所示.41由圖象知：log23.4>log310>log4363即 5 %聲，> (- > 5gM>故仃*>， j J方法 2: . log310>log33= 1,且0<3.4, 33 log3V<log33.4<log23.4.3log43.6<log44= 1, log3>1, 3log43.6<log310.3log23.4>log310>log43.6.3由于y=5x為增函數(shù),故 a>c>

17、;b.注意：名師一號P28問題探究問題3比較幕、對數(shù)大小有兩種常用方法：數(shù)形結(jié)合；找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.練習(xí):1、若 Ovxvyvl，則()A. 3y<3xB.Iogx3<logy31 x 1 vC. Iog4xv|og4yD.解析：:Ovxvyvl,由y=3u為增函數(shù)知3x<3y,排除A;: Iog3u在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，Iog3x<log3y<0, Iogx3>logy3, B 錯.由y=log4u為增函數(shù)知Iog4x<log4y, C正確.111由y=彳u為減函數(shù)知3 0 z V,排除D.答案：c2、對于Ovavl,給出下列四個不等式1 l

18、oga(1 + a)<loga(1 + -)；1 loga(1 + a)>loga(1 + -)；111+-1+a+ava ；a1+%a其中成立的是()A.與B.與C.與D.與答案：D11解析：由于 Ovavi? a<_? 1 + a<1 + , aa1 .lOga(1 + a)>lOga(1+1), ai+a a1a>aa2 .選 D.四、對數(shù)方程與不等式例1.（1）（補充）方程 lOg3（X210）=1+ lOg3X 的解是答案x=5解析原方程化為 log3（x2 10）= 10g3（3x）, 在（0, +多上嚴格單增，則x210=3x,解之得 =2.二

19、,要使1og3x有意義，應(yīng)有x>0, x = 5.一、/汪忠：由于10g3xx1 =5, x2依據(jù)對數(shù)函數(shù)恒單調(diào)求解例1.(2)溫故知新P32第9題log2 x x 0已知函數(shù)f x3x,且關(guān)于x的方程3X0f x x a 0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是練習(xí)：溫故知新P31第5、6題溫故知新P29第10題例 2. (1)(補充)已知 0<a<1, loga(1x)<logax 貝版1A. 0<x<1 B. x<2 C.c 1- 1 .0<x<2D.2Vx<1分析：底數(shù)相同，真數(shù)不同，可利用對數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性脫去對

20、數(shù)符號轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.解析：: 0<a<1時，y = logax為減函數(shù)，1 x>01 原不等式化為x>0,解得0<x<2.1 x>x例2.(2)(補充)設(shè) 0<a<1,函數(shù) f(x) =loga(a2x2ax2),貝U使 f(x)<0 的 x取值范圍是()A.(0)B. (0, 十 多C. (8, loga3)D. (loga3, + oc)解析：0<a<1 . loga(a2x 2ax 2)<0即 a2x-2aX-2>1. . a2x-2ax-3>0 .ax>3或 ax<1（舍）.

21、.x<loga3,故選 C.汪忠:關(guān)于含對數(shù)式（或指數(shù)式）的不等式求解,一般都是用單調(diào)性或換元法求解.例2. （3）名師一號P28高頻考點 例2（2）當0<x4時，4x<logax,則a的取值范圍是（）A. 0,* B.興 1 C.（1,的 D.他,2）1解析：由題意得，當0<a<1時，要使得4x<logax 0<x , 即當0<x§時，函數(shù)y = 4x的圖象在函數(shù)v= logax圖象的下方.1又當x=2時，42 =2,即函數(shù)y=4x的圖象過點2, 2 , 把點；，2代入函數(shù)y = logax,得a=*,若函數(shù)y=4x的 圖象在函數(shù)y=

22、logax圖象的下方，則需乎<a<1（如圖所示）.當a>1時，不符合題意，舍去.所以實數(shù)a的取值范圍是乎，1 .答案：B.練習(xí):當x (1,2)時，不等式(x 1)2 logax恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是 c分析: 若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù),loga故可以通過觀察圖象求解。解：設(shè) fi(x) (x 1)2, f2(x)則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線, 右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，則fi(x)的圖象為右圖 所示的拋物線，要使對一切x (1,2), fi(x)f2(x)恒成立，a 1,觀察圖象得:lOga2 1只需f2(2)fi(2)即可。故a 1取值范圍是a 1 a

23、2 o變式：名師一號P28變式思考2(2)不等式logax>(x 1)2恰有三個整數(shù)解，則a的取值范圍為()A. 16/5, 94 B. 165, 94)C. (1, 165 D, (1, 94解析:不等式lOgaX>(x 1)2恰有三個整數(shù)解，畫出示意圖可知a>1,其整數(shù)解為2,3,4,loga4> 4 1 2,169則應(yīng)滿足2得凄行也loga5< 51 2,答案:B五、反函數(shù)的概念例1.(補充)已知函數(shù)f(x) =2x+1(x冷)，記f(x)的反函數(shù)為f1(X),那么 f1(5)=()5八1A. B. 4C.4 D. - 2分析：利用函數(shù)f(x)及其反函數(shù)1(

24、x)的關(guān)系求解.解析：設(shè) f 1(4)=a,則 f(a) = 5,a 5 .2+1=3， - a= - 2.汪忠：如果點(a, b)在反函數(shù)y=/1(x)的圖象上，則點(b, a)在原來函數(shù)的圖象上；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱例2.(補充)函數(shù)y= lg(x +1)的反函數(shù)的圖象為()解析：.函數(shù)y = lg(x + 1)的圖象過點(0,0),故反函數(shù)圖象過點(0,0),排除A、B、C,選D.練習(xí)：如果一個點是一個指數(shù)函數(shù)的圖象與一個同底的對數(shù) 函數(shù)圖象的公共點，那么稱這個點為 世博點”.在下面的五 一_1 .個點 M(1,1), N(1,2), P(2,1), Q(2,2)

25、, G(2, 1)中，世博點”的個數(shù)為()A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個答案B解析二.指數(shù)函數(shù)與同底的對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直 線y = x對稱，故若它們有交點，則交點一定在直線 y=x上，而M(1,1)不適合題意，故只有點 Q滿足題意. 計時雙基練P226培優(yōu)第1題六、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合問題第11周周練第13題設(shè)a 1,則當y ax與y log a x兩個函數(shù)圖像有且只有一個公共點時，ln ln a答案：-1第11周周練第10題課后作業(yè)計時雙基練P225基礎(chǔ)1-9課本P28變式思考1、2、3;二、計時雙基練P226基礎(chǔ)10、11;培優(yōu)1-4課本P29對應(yīng)訓(xùn)練1、2預(yù)習(xí) 第二章 第五節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù)補充練習(xí) 1:已知函數(shù) y 4x 3 2x 3 的值域為 1,7 ，則 x 的范圍是( )A. 2,4B. (,0)C. (0,1)2,4 D.,01,2答案 :D練習(xí) 2:已知方程9x 2 3x