二次函數(shù)的應(yīng)用(經(jīng)典)

1、矗厲？空$公KM" 二張新寧待定系數(shù)瀕定二次函數(shù)無(wú)堅(jiān)不摧：_般式已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A (-1,6), B(lf2) fC(2,3)=*fO求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；O求出A、B. C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)并求 出經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式； 求出A. B. C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)并求 出經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式;在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這三個(gè)二次函數(shù)圖象;分析這三條拋物線的對(duì)稱(chēng)關(guān)系f并觀察它們 的表達(dá)式的區(qū)別與聯(lián)系，你發(fā)現(xiàn)了什么?思維小憩:用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,設(shè)出 般式y(tǒng)px2+bx+c是絕對(duì)通用的辦法。因?yàn)橛腥齻€(gè)待定系數(shù),所以要求有三個(gè)已 知點(diǎn)坐標(biāo)。 一般地,函數(shù)y二f

2、(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 的圖象的解析式是y-f(x) 一般地,函數(shù)y二f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 的圖象的解析式是y二f(x)顯而易見(jiàn)：頂點(diǎn)式已知函數(shù)y二ax2+bx+c的圖象是以點(diǎn)（2,3） 為頂點(diǎn)的拋物線,并且這個(gè)圖象通過(guò)點(diǎn)（3 , 1）,求這個(gè)函數(shù)的解析式。（要求分別用一 般式和頂點(diǎn)式去完成,對(duì)比兩種方法）已知某二次函數(shù)當(dāng)x "時(shí),有最大值-6, 且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2 .8 ）,求此二次函數(shù)的 解析式。思維小憩:*用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，什么 時(shí)候使用頂點(diǎn)式y(tǒng)p(xmF+n比較方便？ O知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或函數(shù)的最值時(shí)比較頂點(diǎn)式和一般式的優(yōu)劣O 一般式:通用,但計(jì)算量大O頂點(diǎn)式

3、:簡(jiǎn)單,但有條件限制使用頂點(diǎn)式需要多少個(gè)條件?頂點(diǎn)坐標(biāo)再加上一個(gè)其它點(diǎn)的坐標(biāo) 對(duì)稱(chēng)軸再加上兩個(gè)其它點(diǎn)的坐標(biāo);O其實(shí)，頂點(diǎn)式同樣需要三個(gè)條件才能求。靈活方便：交點(diǎn)式J已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于(2 0 )和 (1,0)兩點(diǎn).又通過(guò)點(diǎn)(3 ,5 ), o求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。O當(dāng)X為何值時(shí),函數(shù)有最值?最值是多少？已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A (-2,0), B(3,0)兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值2。o求二次函數(shù)的解析式；o設(shè)此二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為P ,求aABP的面積F思維小憩:J:°用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式什么時(shí)候使用頂點(diǎn)式y(tǒng)p(xxj (xX2)比較方便?O知道二次函數(shù)圖象和X

4、軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)使用交點(diǎn)式需要多少個(gè)條件？O兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)再加上一個(gè)其它條件O其實(shí),交點(diǎn)式同樣需要三個(gè)條件才能求求函數(shù)最值點(diǎn)和最值的若干方法:直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式 配方成頂點(diǎn)式 借助圖象的頂點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上這一特性,結(jié)合和X 軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)求。二次函數(shù)的交點(diǎn)式J已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于(-2,0)和 (1,0)兩點(diǎn)，又通過(guò)點(diǎn)(3 .5 ).o求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。O當(dāng)X為何值時(shí),函數(shù)有最值?最值是多少？求函數(shù)最值點(diǎn)和最值的若干方法：O直樓代入頂丘坐標(biāo)公式O藥乙方啟頂點(diǎn)式O借助彖的頂支虛對(duì)稱(chēng)柚/這一持徃，楮合 和*軸畫(huà)個(gè)衣也坐標(biāo)才O二次函數(shù)的三種式般式：y-ax2+bx+c頂點(diǎn)式：y=a(x

5、-m)2+n交點(diǎn)式:y=a(x-X!)(x-x2)已知二次函數(shù)y二ax?+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(&0 ).頂點(diǎn)是(6,-12 ),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。 (分別用三種辦法來(lái)求)二次函數(shù)的應(yīng)用 / /r簡(jiǎn)單的應(yīng)用(學(xué)會(huì)畫(huà)圖)已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A (-2,0) ,8(3, 0 )兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值2。o求二次函數(shù)的解析式；o設(shè)此二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為P ,求aABP的面積在直角坐標(biāo)系中/點(diǎn)A在y軸的正半軸上,點(diǎn)B在x軸的 負(fù)半軸上,點(diǎn)C在x軸的正半軸上,AC = 5, BC = 4, coszACB = 3/5oo求A、B. C三點(diǎn)坐標(biāo)；o若二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A、B

6、、C三點(diǎn),求其解析式；o求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)最值的理論你能說(shuō)明為什么=-2時(shí)，函數(shù)的最值是2a二4°c_b呢？此時(shí)是最大值還是最小值呢?4(2求函 ly=(m+l)x2-2(m+l)x-m 的最直 套中m為常數(shù)且mH lo最值應(yīng)用題一面積最大 某工廠為了存放材料,需要圍一個(gè)周長(zhǎng) 160米的矩形場(chǎng)地問(wèn)矩形的長(zhǎng)和寬各取 多少米,才能使存放場(chǎng)地的面積最大。窗的形狀是矩形上面加一個(gè)半圓。窗的 周長(zhǎng)等于6cm ,要使窗能透過(guò)最多的光 線,它的尺寸應(yīng)該如何設(shè)計(jì)?A最值應(yīng)用題一面積最大用一塊寬為1.2m的長(zhǎng)方形鐵板彎起兩邊 做一個(gè)水槽,水槽的橫斷面為底角120 等腰梯形。要使水槽的

7、橫斷面積最大,它 的側(cè)面AB應(yīng)該是多長(zhǎng)？Br最值應(yīng)用題一路程問(wèn)題快艇和輪船分別從A地和C地同時(shí)出發(fā),各沿 著所指方向航行（如圖所示）,快艇和輪船 的速度分別是每小時(shí)40km和每小時(shí)16km。 已知AC = 145km ,經(jīng)過(guò)多少時(shí)間,快艇和 輪船之間的距離最短？（圖中AC丄CD）145km最值應(yīng)用題一銷(xiāo)售問(wèn)題yr某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫,平均每天可售出 20件,每件盈利40元,為了擴(kuò)大銷(xiāo)售,增加 盈利,盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)?降價(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降 價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件。-(D若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元,每件 襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?-(2)每件襯衫降價(jià)多少元

8、時(shí),商場(chǎng)平均每天 盈利最多？最值應(yīng)用題一銷(xiāo)售問(wèn)題某商場(chǎng)以每件42元的價(jià)錢(qián)購(gòu)進(jìn)一種服裝,根據(jù) 試銷(xiāo)得知這種服裝每天的銷(xiāo)售量t （件）與每 件的銷(xiāo)售價(jià)x （元/件）可看成是一次函數(shù)關(guān)系: t = - 3x + 204。o寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種服裝每天銷(xiāo)售利潤(rùn)y （元） 與每件的銷(xiāo)售價(jià)x （元）間的函數(shù)關(guān)系式；o通過(guò)對(duì)所得函數(shù)關(guān)系式逬行配方,指出商場(chǎng) 要想每天獲得最大的銷(xiāo)售利潤(rùn),每件的銷(xiāo)售 價(jià)定為多少最為合適？最大利潤(rùn)為多少？最值應(yīng)用題運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)QP B在矩形ABCD中,AB = 6cm , BC = 12cm ,點(diǎn)P從點(diǎn) A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)BlUlcm/秒的速度移動(dòng),同時(shí), 點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以

9、2cm/fi!>的速度移動(dòng)。 如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng), 答下列問(wèn)題：運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第幾秒時(shí), PBQ的面積等于8<:血2 設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí), 五邊形APQCD的面積為Scm2 , 寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式, 并指出自變量t的取值范圉' t為何值時(shí)S最?。壳蟪鯯的最小值。Ar最用題運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)在SBC中,BC = 2 , BC邊上的高AD = 1, P是BC上任一點(diǎn),PEll AB交AC于E , PFllAC 交 AB 于F。設(shè)BP = x ,將Spef用x表7K ；o當(dāng)P在BC邊上什么位置時(shí).S值最大。BP D在取值范圍內(nèi)的函數(shù)最值設(shè)0 5兀53,討論函數(shù)

10、y =兀？ 一4兀+ 5 的最大值和最小值。設(shè) 1 < x<3,討論函數(shù)y = -x2 4% + 4的最大值和最小值。 1 / 二次函數(shù)的應(yīng)用丄如圖所示,公園要建造圓形噴水池,在水池中央垂 直于水面處安裝一個(gè)柱子OA , 0恰在水面中心,OA=1.25米。由柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下,為使水流形狀 較為漂亮,要求設(shè)計(jì)成水流在離OA距離為1米處達(dá)到 距水面最大高度2.25米。（1）如果不計(jì)其他因素,那 么水池的半徑至少要多少米,才能使噴出的水流不致 落到池外? （2）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同, 水池的半徑為35米,要使水流不落到池外,此

11、時(shí)水丄某化工材料經(jīng)銷(xiāo)公司購(gòu)進(jìn)了一種化工原料共7000干 克,購(gòu)逬價(jià)格為每干克30元。物價(jià)部門(mén)規(guī)定其銷(xiāo)售單 價(jià)不得高于每干克70元,也不得低于30元。市場(chǎng)調(diào)查 發(fā)現(xiàn):單價(jià)定為70元時(shí),日均銷(xiāo)售60干克；單價(jià)每降 低1元,日均多售出2干克。在銷(xiāo)售過(guò)程中,每天還要 支出其它費(fèi)用500元（天數(shù)不足一天時(shí),按整天計(jì) 算）。設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x元,日均獲利為y元。遇求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并注明x的取值范圍。點(diǎn)式,寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)。3mlmBIN*某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí),身體（看成一 點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的 一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）o在跳某個(gè)規(guī) 定動(dòng)作時(shí),正常

12、情況下,該運(yùn)動(dòng) 員在空中的最高處距水面32/3米, 入水處距池邊的距離為4米,同 時(shí),運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5米 以前,必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作, 并調(diào)整好入水姿勢(shì),否則就會(huì)出 現(xiàn)失誤。（I）求這條拋物線的解10m 析式；（2）在某次試跳中”測(cè) 得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1） 中的拋物線,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào) 整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平 距離為18/5米，問(wèn)此次跳水會(huì)不| 會(huì)失誤？并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由。I解函數(shù)應(yīng)用題的步驟：J設(shè)未知數(shù)（確定自變量和函數(shù)）；找等量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；化簡(jiǎn)，整理成標(biāo)準(zhǔn)形式（一次函數(shù)、二次函數(shù)等）;匚求自變量取值范圍；利用函數(shù)知識(shí),求解（通常是最值問(wèn)題）；寫(xiě)出結(jié)論。丄某

13、新建商場(chǎng)設(shè)有百貨部、服裝部和家電部三個(gè)經(jīng)營(yíng)部,共1!有190名售貨員,計(jì)劃全商場(chǎng)日營(yíng)業(yè)額（指每天賣(mài)出商品所收 到的總金額）為60萬(wàn)元,由于營(yíng)業(yè)性質(zhì)不同,分配到三個(gè)部 的售貨員的人數(shù)也就不等,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),各類(lèi)商品每1萬(wàn)元營(yíng) 業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表（1）,每1萬(wàn)元營(yíng)業(yè)額所得利潤(rùn)情 況如表（2 ）。商場(chǎng)將計(jì)劃日營(yíng)業(yè)額分配給三個(gè)經(jīng)營(yíng)部,設(shè) 分配給百貨部,服裝部和家電部的營(yíng)業(yè)額分別為x , yfflz （單位：萬(wàn)元，x、y、z都是整數(shù)）。（1）請(qǐng)用含x的代數(shù) 式分別表示y和z ; （2）若商場(chǎng)預(yù)計(jì)每日的總利潤(rùn)為C （萬(wàn) 元）”且C滿(mǎn)足19SCS19.7。問(wèn)商場(chǎng)應(yīng)如何分配營(yíng)業(yè)額給三 個(gè)經(jīng)營(yíng)部?各應(yīng)分別安排多少名售貨員?商品每1萬(wàn)元營(yíng)業(yè)額所 需人數(shù)百貨類(lèi)5服裝類(lèi)4家電類(lèi)2商品每1萬(wàn)元營(yíng)業(yè)額 所得利潤(rùn)百貨類(lèi)0.3萬(wàn)元服裝類(lèi)0.5萬(wàn)元家電類(lèi)02萬(wàn)元1!有190名售貨員,計(jì)劃全商場(chǎng)日營(yíng)業(yè)額（指每天賣(mài)出商品所收 到的總金額）為60萬(wàn)元,由于營(yíng)業(yè)性質(zhì)不同,分配到三個(gè)部 的售貨員的人數(shù)也就不等,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),各類(lèi)商品每1萬(wàn)元營(yíng) 業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表（1）,每1萬(wàn)元營(yíng)業(yè)額所得利潤(rùn)情 況如表（2 ）。商場(chǎng)將計(jì)劃日營(yíng)業(yè)額分配給三個(gè)經(jīng)營(yíng)部,設(shè) 分配給百貨部,服裝部和家電部的營(yíng)業(yè)額分別為x , yfflz （單位：萬(wàn)元