用配方法解一元二次方程教案劉敬

1、全國(guó)中小學(xué)“教學(xué)中的互聯(lián)網(wǎng)搜索”優(yōu)秀教學(xué)案例評(píng)選教案設(shè)計(jì)一、 教案背景1，面向?qū)W生： 中學(xué) 小學(xué) 2，學(xué)科：數(shù)學(xué)2，課時(shí)：23，學(xué)生課前準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)新課。【知識(shí)與技能】 使學(xué)生會(huì)用配方法解數(shù)學(xué)系數(shù)的一元二次方程。 【過程與方法】 經(jīng)歷列方程解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)配方法和推導(dǎo)過程，熟練地運(yùn)用配方法解一元二次方程，滲透轉(zhuǎn)化思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能。 【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】 通過配方法的探索活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。 二、 教材分析教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 【重點(diǎn)】用配方法解一元二次方程 【難點(diǎn)】配方的過程 三、 教學(xué)方法自主互助教學(xué)。 四、 教學(xué)過程1 / 7

2、（一）創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課 導(dǎo)語一（1）你能解哪些一元二次方程？ （2）你會(huì)解下列一元二次方程嗎？你是怎么做的？ （3）解方程x2+12x-15=0的困難在哪里？你能將方程x2+12x-15=0轉(zhuǎn)化為上面方程的形式嗎？ 導(dǎo)語二 1、用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？ 2、將下列各式配成完全平方式。 （1）a2+12a+ 62 =(a+ 6 )2； （2）x2- x +=(x+ )2； 3、若4x2-mx+9是一個(gè)完全平方式，那么m的值是 ±12 。 導(dǎo)語三 為了響應(yīng)國(guó)家“退耕還林”的號(hào)召，改變水土流失嚴(yán)重的狀況，2007年某市退耕還林1600畝，計(jì)劃2009年退耕還林1936畝，

3、則這兩種平均每年退耕還林的增長(zhǎng)率是多少？ 你能用所學(xué)過的一元二次方程知識(shí)解決這個(gè)問題？ 設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x，則1600(1+x)2=1936，解得x=10%，x2=-210%（舍），即平均每年退耕還林的增長(zhǎng)率為10% （二）合作交流 解讀探究 1、配方法 問題要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m，并且面積為16m2，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬應(yīng)各是多少個(gè)？（注：這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的幾何題，學(xué)生經(jīng)過思考，不難得出答案，請(qǐng)一位同學(xué)回答，教師演示答案。） 即：設(shè)場(chǎng)地寬xm，長(zhǎng)(x+6)m。根據(jù)矩形面積為16m2，列方程x(x+6)=16，即x2+6x-16=0 （注：本題選擇以解決問題作為本節(jié)課的開端，有益于培養(yǎng)

4、學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。） （思考）怎樣解方程x2+6x-16=0? 對(duì)比這個(gè)方程與前面討論過的方程x2+6x+9=2，可以發(fā)現(xiàn)方程x2+6x+9=2的左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困難，能設(shè)法把x2+6x-16=0化為具有上述形式的方程嗎？（注：教師提出問題，學(xué)生思考、討論發(fā)表意見，同時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵；若要解方程x2+6x-16=0，只要將其符號(hào)左邊轉(zhuǎn)化為一個(gè)完全平方式配方，而配方的關(guān)鍵是常數(shù)項(xiàng)的選擇，學(xué)生找出常數(shù)項(xiàng)，教師演示配方的過程，完成方程由不可解到可解的轉(zhuǎn)化，師生完成后續(xù)步驟。） x2+6x-1

5、6=0 移 項(xiàng) x2+6x=16 兩邊都加上9（即()2）使左邊配成 x2+2bx+b2的形式 x2+6x+9=16+9 左邊寫成平方形式 (x+3)2=25 降次 x+3=±5 解一次方程 x+3=5,x+3=-5 x1=2，x2=-8 像上面那樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，可以看出，配方是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程來解。 2、用配方法解一元二次方程的一般做法 （1）移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)； （2）方程的兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1； （3）配方，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使方程左邊

6、為一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)常數(shù)的形式； （4）如果右邊是非負(fù)數(shù)，兩邊直接開平方，解這個(gè)一元二次方程。 （三）應(yīng)用遷移 鞏固提高 類型之一 用配方法解一元二次方程 【例1】解下列方程（注：學(xué)生練習(xí)，教師巡視，適當(dāng)輔導(dǎo)。） （1）x2-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x2-6x+4=0 解：（1）移項(xiàng)，得x2-10x=-24 配方，得x2-10x+25=-24+25， 由此可得(x-5)2=1， x-5=±1， x1=6，x2=4 （2）整理，得2x2+5x-8=0。 移項(xiàng)，得2x2+5x=8 二次項(xiàng)系數(shù)化為1得x2+x=4， 配方，得 (x+)2=，

7、由此可得x+=±， x1=， x2= （3）移項(xiàng)，得3x2-6x=-4 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2-2x=-， 配方，得x2-2x+12=-+12, (x-1)2=- 因?yàn)閷?shí)數(shù)的平方不會(huì)是負(fù)數(shù)，所以x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，(x-1)2都是非負(fù)數(shù)，上式都不成立，即原方程無實(shí)數(shù)根。（注：本次活動(dòng)，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：1、學(xué)生對(duì)待解問題和已解問題的對(duì)比、分析能力；2、給予學(xué)生一定的時(shí)間去思考，爭(zhēng)取讓學(xué)生自主得出結(jié)論；3、鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，勇于發(fā)表見解）。 做一做 解下列方程： （1）x2-8x+1=0； （2）2x2+1=3x； （3）4x2-6x-3=0 【分析】（1）把x2-8x+1=0移項(xiàng)，得x2

8、-8x=-1，兩邊都加一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得x2-8x+42=-1+42， 即(x-4)2=15，再開平方即可求出方程的解。 （2）先移項(xiàng)化為2x2-3x+1=0,再方程兩邊同時(shí)除以2，得x2-x+=0，再移項(xiàng)，配方。 （3）兩邊同時(shí)除以4，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再移項(xiàng)，配方。 特別提示（1）配方法的含義是把方程的一邊配方化為一個(gè)完全平方式，另一邊經(jīng)為非負(fù)數(shù)，然后用開平方法求解。 （2）配方的關(guān)鍵是“方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方” 類型之二 二次三項(xiàng)式的配方 【例2】填空：(1)x2+6x+_=(x+3)2；(2)x2-5x+_=(x-_)2； (3)x2+x+_=(x+)2；(4)x2

9、+px+_=(x+_)2。（學(xué)生練習(xí)，教師巡視，適當(dāng)輔導(dǎo)，然后由學(xué)生回答，師生一起糾正，然后歸納。） 【歸納】左邊常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，右邊是一次項(xiàng)系數(shù)的一半。 【答案】(1)32；(2)()2 ；(3)()2；(4)()2 . 【例3】用配方法將下列各式化為a(x+h)2+k的形式。 (1)-3x2-6x+1；(3)y2+y+2；(3)0.4x2-0.8x-1. 解：(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-)=-3(x2+2x+12-12-) = -3(x+1)2-=-3(x+1)2+4 (2) =. (3)0.4x2-0.8x-1=0.4(x2-2x-2.5)=0.4(x2-

10、2x+12)-12-2.5 =0.4(x-1)2-1.4 【點(diǎn)評(píng)】化二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)為a(x+h)2+k形式分以下幾個(gè)步驟。 （1）提取二次項(xiàng)系數(shù)使括號(hào)內(nèi)的二次項(xiàng)系數(shù)為1. （2）配方：在括號(hào)內(nèi)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，同時(shí)減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。 （3）化簡(jiǎn)、整理 （4）本例題既讓學(xué)生鞏固配方法，又為后面學(xué)習(xí)二次函數(shù)打下基礎(chǔ)。 （四）總結(jié)反思 拓展升華 總結(jié)1.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)是用配方法解一元二次方程。 2.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法是轉(zhuǎn)化思想.根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型。 反思用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？ 【分析】(1)把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系

11、數(shù)。 (2)移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)。 (3)配方：方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程化為(x+a)2=b的形式。 (4)用直接開平方法解變形的方程(x+a)2=b的形式。 拓展用配方法證明：多項(xiàng)式2x4-4x2-1的值總大于x4-2x2-4的值。 【分析】欲證2x4-4x2-1>x4-2x2-4，即證(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)>0，只要算出(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)值的大小即可。 證明：(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4) =x4-2x2+3=(x2)2-2x2+1+2=(x2-1)2+2>0 【點(diǎn)評(píng)】比較A，B兩數(shù)的大小，常用作差法。 當(dāng)A-B>0，則A>B；當(dāng)A-B=0，則A=B；當(dāng)A-B<0，則A<B.（五）本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念 鼓勵(lì)學(xué)生從事觀察、應(yīng)用、推理等活動(dòng)，幫助學(xué)生有意識(shí)地積累數(shù)學(xué)應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口