極限的運(yùn)算法則及存在準(zhǔn)則課件

1、第五講第五講 函數(shù)極限的運(yùn)算法則函數(shù)極限的運(yùn)算法則與存在準(zhǔn)則與存在準(zhǔn)則 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1. 極限的運(yùn)算法則；極限的運(yùn)算法則； 2. 兩個極限存在準(zhǔn)則。兩個極限存在準(zhǔn)則。 教學(xué)要求教學(xué)要求 1. 熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則；熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則； 2. 了解兩個極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界法了解兩個極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界法則）則）.一、極限的運(yùn)算法則一、極限的運(yùn)算法則對于對于+ +0 xx- -0 xx , x ,+x ,-x等情況的運(yùn)算等情況的運(yùn)算法則可類似。法則可類似。定理定理 1 1設(shè)設(shè)Axfxx= =)(lim0 ,Bxgxx= =)(lim0則有：則有：lim0

2、 xx )(lim0 xgxx )(lim0 xfxx = =)()(xgxf1法則法則時時的的運(yùn)運(yùn)算算法法則則，下下面面僅僅給給出出0 xx lim0 xx )(lim0 xfxx = = 特別地特別地)(xCf)(lim0 xfxx lim0 xx C= =n nxf)(= =xxxf)(lim0 xx lim0)(lim0 xgxx 0)(limxfxx )()(xgxflim0 xx = =其中其中0)(lim0 = =Bxgxx證明證明 只證只證 法則法則1 1 其余仿證其余仿證)()(xgxf )(lim0 xgxx 2法法則則3法法則則指出：指出： 法則法則1、2都可推廣到有限個

3、具有極限的函數(shù)的情形都可推廣到有限個具有極限的函數(shù)的情形因因Axfxx= =)(lim0 , Bxgxx= =)(lim0 , 由無窮小與函數(shù)由無窮小與函數(shù) )()(xBxgb b+ += = 0)(lim0= =xxxb b)(xBb b+ +)(xAa a+ += =)()(xxb ba a+ +)(BA= =由無窮小的性質(zhì)知：由無窮小的性質(zhì)知： 0)()(lim0= =xxxxb ba a)(lim)(lim00 xgxfxxxx= =BA= =)()(lim0 xgxfxx 再由無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系得：再由無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系得：極限之關(guān)系知極限之關(guān)系知0)(lim0= =xxxa

4、 a其中其中)()(xgxf 由于由于)()(xAxfa a+ += =回顧：回顧：)()()(lim0 xAxfAxfxxa a+ += = =0)(lim0= =xxxa a其中其中極限的幾種類型極限的幾種類型：1)簡單型簡單型 由運(yùn)算法則直接求出結(jié)果由運(yùn)算法則直接求出結(jié)果 ：).34(lim1232+ +- -xxx求求例例解解)34(lim232+ +- -xxx3limlim4lim22232+ +- -= =xxxxx3)lim()lim(42232+ +- -= =xxxx322423+ +- - = =31= =次次多多項項式式為為設(shè)設(shè)一一般般地地n,)(0111axaxaxa

5、xPnnnnn+ + + + += =- - -,)(lim00110100axaxaxaxPnnnnnxx+ + + + += =- - -則則即即.)()(lim00 xPxPnnxx= =例例2= =)2(lim1- -+ +xx1- -x)73(lim2+ + + xx273lim21- -+ + + +xxxx5= =15= =21 + +- -7)1(3)1(2+ +- -+ +- -= =注注 : 一般地一般地 , 求有理函數(shù)當(dāng)求有理函數(shù)當(dāng)0 xx 的極限時的極限時若分母的極限不為零，若分母的極限不為零，0 xx = =把把 代入有理代入有理 即為該函數(shù)的極限。即為該函數(shù)的極限。

6、312lim22- - -xxx例例3= =321222- - - = =函數(shù)直接求函數(shù)值函數(shù)直接求函數(shù)值 , ,002)型型 ( 記號記號 )4= =2+ +2= =)2(lim2+ += =xx例例 3 24lim22- - -xxx【注】【注】 對分對分子、分子、分母極限母極限均均為為 0 情形的有理式情形的有理式 , 先約先約去分子分母的公因子去分子分母的公因子 , 再求極限，再求極限，不能直接使用法則不能直接使用法則 3練習(xí)：練習(xí)：.416lim24- - -xxx求求解解416lim24- - -xxx)4(lim4+ += =xx844= =+ += = 3)型型 ( 記號記號

7、) 23= =)112lim(2+ +- - xxx)113(lim2+ + += = xxx= =xx11211322+ +- -+ + +xxlim x例例 4 1213lim22+ +- -+ + + xxxxx0= =10= =)91(lim2- - xx)51(lim2+ += = xxx= =912- -x512+ +xxlim x例例 5 95lim2- -+ + xxx【注】【注】對對 型型的有理式函數(shù)的的有理式函數(shù)的極限極限 , 由于分子分母極限由于分子分母極限為為 , 極限不存在極限不存在 ,不能用法則不能用法則 3 , 先對分子先對分子 、分母同分母同除以除以x的最高次冪

8、再求極限。的最高次冪再求極限。一般地一般地 , 設(shè)設(shè)0, 000 ba ,nm,為正整數(shù)為正整數(shù) , 則則mmmmnnnnxbxbxbxbaxaxaxa+ + + + + + + + +- - - - - 2211022110limnm 0nm 練習(xí)：練習(xí)：.3124lim23+ +- -+ + xxxx求求3124lim23+ +- -+ + xxxx33231124limxxxxx+ +- -+ += = = = =00ba解解nm = =4) - - 型型 【注】【注】對對 - - 型型的有理式函數(shù)求的有理式函數(shù)求極限極限 , 先通分先通分, , 后求極限。后求極限。例例 6 - - -

9、 -311311limxxx211)2(limxxxx+ + + +- -= =321131limxxxx- - -+ + += =)1)(1()2)(1(lim21xxxxxx+ + +- -+ +- -= =1- -= =練習(xí)：練習(xí)： - - - -4421lim22xxx求求 - - - -4421lim22xxx442lim22- - -+ += =xxx21lim2+ += =xx42lim22- - -= =xxx41= =解解5) 0C 型型再利用再利用無窮無窮小小與無窮與無窮大大 之間的關(guān)系之間的關(guān)系, ,可得可得: :練習(xí)：練習(xí)：.94lim23- -+ +xxx求求解解 =

10、 =- -+ +94lim23xxx049lim23= =+ +- -xxx.142lim71+ + +- -xxx求求例例0421lim1= =+ + +- -xxx因因為為 = =+ + +- -142lim1xxx二、極限存在準(zhǔn)則二、極限存在準(zhǔn)則（1 1）夾逼準(zhǔn)則）夾逼準(zhǔn)則 都有不等式都有不等式)()()(xhxfxg 成立成立 , 且且Axhxgxxxx= = =)(lim)(lim00注注 準(zhǔn)則一準(zhǔn)則一對對 x 等等 情況也成立。情況也成立。 Axfxx= =)(lim0則則1.1.極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則),(0 xUx 若若利用兩邊夾法則可以證明利用兩邊夾法則可以證明: : 0sinlim0= =xx1coslim0= =xx（兩邊夾法則）（兩邊夾法則）（2）單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)有界準(zhǔn)則 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限單調(diào)有界的數(shù)列必有極限.定義定義1 對于數(shù)列對于數(shù)列,nx如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)M,使得對于使得對于,nx一一切切都滿足不等式都滿足不等式,|Mxn 是是有有界界的的；則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx.是是無無界界的的否否則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx定義定義2如果滿足不等式如果滿足