超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算

1、 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.1 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.2力力 法法位位 移移 法法力矩分配法力矩分配法習(xí)習(xí) 題題本章內(nèi)容本章內(nèi)容 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.3 教學(xué)要求：教學(xué)要求：本章要求學(xué)生了解簡(jiǎn)單超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算原理。掌握本章要求學(xué)生了解簡(jiǎn)單超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算原理。掌握超靜定結(jié)構(gòu)的受力特性和超靜定次數(shù)的判斷。能用力法、位移法、力超靜定結(jié)構(gòu)的受力特性和超靜定次數(shù)的判斷。能用力法、位移法、力矩分配法求解簡(jiǎn)單超靜定結(jié)構(gòu)。矩分配法求解簡(jiǎn)單超靜定結(jié)構(gòu)。 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.4力力 法法一、一、超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu) 超靜定結(jié)構(gòu)，如圖超靜定結(jié)構(gòu)，如圖6.1所示，又稱靜不定結(jié)構(gòu)。它是

2、工程實(shí)際中常用的一類結(jié)構(gòu)。其幾何組所示，又稱靜不定結(jié)構(gòu)。它是工程實(shí)際中常用的一類結(jié)構(gòu)。其幾何組成特征是具有多余約束的幾何不變體系；其靜力解答特征是它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能成特征是具有多余約束的幾何不變體系；其靜力解答特征是它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件求出，必須補(bǔ)充變形條件。完全由靜力平衡條件求出，必須補(bǔ)充變形條件。 圖圖6.1 超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu) 超靜定結(jié)構(gòu)的類型主要有以下幾種。超靜定結(jié)構(gòu)的類型主要有以下幾種。 (1) 超靜定梁，如圖超靜定梁，如圖6.2所示。所示。 (2) 超靜定剛架，如圖超靜定剛架，如圖6.3所示。所示。 (3) 超靜定拱，如圖超靜定拱，如圖6.

3、4所示。所示。 圖圖6.2 超靜定梁超靜定梁圖圖6.3 超靜定剛架超靜定剛架圖圖6.4 超靜定拱超靜定拱 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.5力力 法法 (4) 超靜定桁架，如圖超靜定桁架，如圖6.5所示。所示。 (5) 超靜定組合結(jié)構(gòu)，如圖超靜定組合結(jié)構(gòu)，如圖6.6所示。所示。圖圖6.5 超靜定桁架超靜定桁架圖圖6.6 超靜定組合結(jié)構(gòu)超靜定組合結(jié)構(gòu) 超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法很多，依據(jù)基本未知量選擇的不同可以分為兩類：一類是以多余未超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法很多，依據(jù)基本未知量選擇的不同可以分為兩類：一類是以多余未知力為未知量的力法，即本節(jié)將要介紹的；另一類是以結(jié)點(diǎn)位移為未知量的位移法。其他的計(jì)知力為未知量的力法

4、，即本節(jié)將要介紹的；另一類是以結(jié)點(diǎn)位移為未知量的位移法。其他的計(jì)算方法大多由這兩種方法派生而來，比如力矩分配法等。算方法大多由這兩種方法派生而來，比如力矩分配法等。 二、二、超靜定次數(shù)的確定超靜定次數(shù)的確定 超靜定結(jié)構(gòu)多余約束力的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)。超靜定結(jié)構(gòu)多余約束力的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)。 結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)可以這樣來確定：如果結(jié)構(gòu)去掉結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)可以這樣來確定：如果結(jié)構(gòu)去掉 個(gè)多余約束后即變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，則該結(jié)個(gè)多余約束后即變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，則該結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)就為構(gòu)的超靜定次數(shù)就為 。 解除超靜定結(jié)構(gòu)多余約束的方法主要有如下幾種：解除超靜定結(jié)構(gòu)多余約束的方法主要有如下幾種： (1) 去掉

5、一根支桿或切斷一根鏈桿，相當(dāng)于解除一個(gè)約束去掉一根支桿或切斷一根鏈桿，相當(dāng)于解除一個(gè)約束(如圖如圖6.7(a)、(b)所示所示)。 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.6力力 法法 (2) 去掉一個(gè)固定鉸支座或切開一個(gè)單鉸，相當(dāng)于解除兩個(gè)約束去掉一個(gè)固定鉸支座或切開一個(gè)單鉸，相當(dāng)于解除兩個(gè)約束(如圖如圖6.7(c)、(d)所示所示)。 (3) 去掉一個(gè)固定支座或切斷一根梁式桿件，相當(dāng)于解除三個(gè)約束去掉一個(gè)固定支座或切斷一根梁式桿件，相當(dāng)于解除三個(gè)約束(如圖如圖6.7(e)、(f)所示所示)。 (4) 將固定支座改為固定鉸支座或?qū)⒘菏綏U件中某截面加一單鉸將固定支座改為固定鉸支座或?qū)⒘菏綏U件中某截面加一單鉸(

6、剛結(jié)改成鉸結(jié)剛結(jié)改成鉸結(jié))，相當(dāng)于解，相當(dāng)于解除一個(gè)約束除一個(gè)約束(如圖如圖6.7(g)、(h)所示所示)。注意：注意：(1)不能去掉必要約束，使剩余結(jié)構(gòu)成為幾何可變體系；不能去掉必要約束，使剩余結(jié)構(gòu)成為幾何可變體系；(2)應(yīng)把多余約束全部去掉，不能應(yīng)把多余約束全部去掉，不能只是去掉其中的一部分。運(yùn)用該方法確定超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)時(shí)，應(yīng)盡量使解除多余約束只是去掉其中的一部分。運(yùn)用該方法確定超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)時(shí)，應(yīng)盡量使解除多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)為我們所熟悉的簡(jiǎn)支梁、懸臂梁等形式。后的靜定結(jié)構(gòu)為我們所熟悉的簡(jiǎn)支梁、懸臂梁等形式。 圖圖6.7 解除超靜定結(jié)構(gòu)多余約束解除超靜定結(jié)構(gòu)多余約束 超靜

7、定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.7力力 法法 【例【例6.1】 確定如圖確定如圖6.8(a)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。 圖圖6.8 超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)解解 此結(jié)構(gòu)去掉與地面相連的三根支桿后，桁架內(nèi)部可看做兩剛片此結(jié)構(gòu)去掉與地面相連的三根支桿后，桁架內(nèi)部可看做兩剛片(如圖如圖6.8(b)所示所示)用四根鏈桿用四根鏈桿相連，是一次超靜定結(jié)構(gòu)。欲使其成為靜定結(jié)構(gòu)，在這四根鏈桿中任意去掉一根都可以。形成相連，是一次超靜定結(jié)構(gòu)。欲使其成為靜定結(jié)構(gòu)，在這四根鏈桿中任意去掉一根都可以。形成的靜定結(jié)構(gòu)如圖的靜定結(jié)構(gòu)如圖6.8(c)所示，被截?cái)嗟臈U件的作用力以一對(duì)多余未知力所示，被截?cái)嗟臈U件的作用力以一

8、對(duì)多余未知力x1代替。代替。 三、三、力法的基本原理與力法的典型方程力法的基本原理與力法的典型方程 現(xiàn)以一個(gè)二次超靜定剛架為例，說明力法的基本原理以及如何建立多次超靜定結(jié)構(gòu)的力法現(xiàn)以一個(gè)二次超靜定剛架為例，說明力法的基本原理以及如何建立多次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程；再進(jìn)一步推廣到方程；再進(jìn)一步推廣到 次超靜定結(jié)構(gòu)，得到力法典型方程。次超靜定結(jié)構(gòu)，得到力法典型方程。 如圖如圖6.9所示的剛架為二次超靜定結(jié)構(gòu)，分析時(shí)必須解除兩個(gè)多余約束?，F(xiàn)去掉鉸支座所示的剛架為二次超靜定結(jié)構(gòu)，分析時(shí)必須解除兩個(gè)多余約束?，F(xiàn)去掉鉸支座a ，相應(yīng)的代以多余約束力相應(yīng)的代以多余約束力x1 ，x2得到如圖得到如圖6.9(b)

9、所示的基本體系，由于原結(jié)構(gòu)在支座所示的基本體系，由于原結(jié)構(gòu)在支座a 處沒有水處沒有水平位移和豎向位移，因此，基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余未知力平位移和豎向位移，因此，基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余未知力x1 、x2 的共同作用下，鉸支座的共同作用下，鉸支座a 處也處也沒有水平位移和豎向位移。即沒有水平位移和豎向位移。即a 點(diǎn)沿點(diǎn)沿x1 和和x2 方向的位移：方向的位移： 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.8力力 法法 1 0 ， 20 圖圖6.9 力法解二次超靜定剛架力法解二次超靜定剛架 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.9力力 法法 設(shè)各單位未知力設(shè)各單位未知力x1=1、x2=1 和荷載分別作用于基本結(jié)構(gòu)上，和荷載分別作用于基本

10、結(jié)構(gòu)上，a點(diǎn)沿點(diǎn)沿x1 方向的位移分別為方向的位移分別為11、 12、 1p ；沿；沿x2 方向的位移分別為方向的位移分別為21、 22、 2p (如圖如圖6.9(c)、(d)、(e)所示。根據(jù)疊加所示。根據(jù)疊加原理，上述位移條件可表示為：原理，上述位移條件可表示為：111112212211222200ppxxxx 這就是二次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程式。這就是二次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程式。 對(duì)于對(duì)于n 次超靜定結(jié)構(gòu)，相應(yīng)地有次超靜定結(jié)構(gòu)，相應(yīng)地有n 個(gè)多余未知力，而對(duì)每一個(gè)多余未知力結(jié)構(gòu)總有一個(gè)已個(gè)多余未知力，而對(duì)每一個(gè)多余未知力結(jié)構(gòu)總有一個(gè)已知的位移條件與之相對(duì)應(yīng)，故可建立一個(gè)含有知的位移條件與之

11、相對(duì)應(yīng)，故可建立一個(gè)含有n 個(gè)未知量的方程組，從而可以求解出個(gè)未知量的方程組，從而可以求解出n 個(gè)多余個(gè)多余約束力。約束力。111112211221122222112200 0nnpnnpnnnnnnnpxxxxxxxxx(6-1) 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.10力力 法法 式式(6-1)通常稱為力法典型方程，其物理意義是：基本結(jié)構(gòu)在多余未知力和荷載共同作用下，通常稱為力法典型方程，其物理意義是：基本結(jié)構(gòu)在多余未知力和荷載共同作用下，多余約束處的位移和原來超靜定結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。多余約束處的位移和原來超靜定結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。 在上述方程中，主對(duì)角線上未知力的系數(shù)在上述方程中，主對(duì)角線上未知力

12、的系數(shù)ii( i=1，2，n) 稱為主系數(shù)，它代表單位未知稱為主系數(shù)，它代表單位未知力力xi=1 單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上時(shí)，在單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上時(shí)，在i 處沿處沿xi 自身方向上所引起的位移，其值恒為正。其余的自身方向上所引起的位移，其值恒為正。其余的系數(shù)系數(shù)ij( ij ) 稱為副系數(shù)，它代表基本結(jié)構(gòu)在未知力稱為副系數(shù)，它代表基本結(jié)構(gòu)在未知力xi 處，由未知力處，由未知力xj=1 單獨(dú)作用時(shí)引起的沿單獨(dú)作用時(shí)引起的沿xi 方向的位移。自由項(xiàng)方向的位移。自由項(xiàng)ip 表示外荷載表示外荷載(或溫度改變、支座移動(dòng)或溫度改變、支座移動(dòng))作用下，基本結(jié)構(gòu)沿未知力作用下，基本結(jié)構(gòu)沿未知力xi 方向所引起的

13、位移。副系數(shù)方向所引起的位移。副系數(shù)ij( ij ) 和自由項(xiàng)和自由項(xiàng)ip 的值可以為正、負(fù)或零。根據(jù)位移互等定理，的值可以為正、負(fù)或零。根據(jù)位移互等定理，副系數(shù)存在以下關(guān)系：副系數(shù)存在以下關(guān)系： ij= ji 典型方程中的各系數(shù)和自由項(xiàng)，都是基本結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移計(jì)算，完全可以通過典型方程中的各系數(shù)和自由項(xiàng)，都是基本結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移計(jì)算，完全可以通過靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算求出。靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算求出。 將求得的系數(shù)與自由項(xiàng)代入力法典型方程，解出各多余未知力將求得的系數(shù)與自由項(xiàng)代入力法典型方程，解出各多余未知力x1，x2， xn然后將已求然后將已求得的多余未知力和荷載共同作用在基本結(jié)

14、構(gòu)上，利用平衡條件，求出其余的反力和內(nèi)力。在繪得的多余未知力和荷載共同作用在基本結(jié)構(gòu)上，利用平衡條件，求出其余的反力和內(nèi)力。在繪制原結(jié)構(gòu)的最后內(nèi)力圖時(shí)，可利用基本結(jié)構(gòu)的單位內(nèi)力圖與荷載內(nèi)力圖按疊加法得到，即：制原結(jié)構(gòu)的最后內(nèi)力圖時(shí)，可利用基本結(jié)構(gòu)的單位內(nèi)力圖與荷載內(nèi)力圖按疊加法得到，即： 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.11112211221122pppmm xm xmqq xq xqnn xn xn力力 法法(6-2)式中，式中， 分別為單位未知力分別為單位未知力xi=1作用在基本結(jié)構(gòu)上的彎矩、剪力和軸力；作用在基本結(jié)構(gòu)上的彎矩、剪力和軸力； 分別分別為外荷載作用在基本結(jié)構(gòu)上的彎矩、剪力和軸力。為外

15、荷載作用在基本結(jié)構(gòu)上的彎矩、剪力和軸力。 ,iiim qn,pppmqn四、四、簡(jiǎn)單超靜定結(jié)構(gòu)的力法計(jì)算簡(jiǎn)單超靜定結(jié)構(gòu)的力法計(jì)算 用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)可按下列步驟進(jìn)行：用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)可按下列步驟進(jìn)行： (1) 確定超靜定次數(shù)，去掉多余約束并以多余未知力代替，得到原結(jié)構(gòu)的基本體系。確定超靜定次數(shù)，去掉多余約束并以多余未知力代替，得到原結(jié)構(gòu)的基本體系。 (2) 根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余未知力和荷載共同作用下，在所去掉各多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余未知力和荷載共同作用下，在所去掉各多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)位移相等的條件，建立力法的典型方程。相應(yīng)位移相等的條件，建立力法的典型方程。

16、(3) 依次做出基本結(jié)構(gòu)在各單位未知力和荷載單獨(dú)作用下的內(nèi)力圖，然后利用積分法依次做出基本結(jié)構(gòu)在各單位未知力和荷載單獨(dú)作用下的內(nèi)力圖，然后利用積分法(或圖或圖乘法乘法)計(jì)算典型方程中的各個(gè)系數(shù)以及自由項(xiàng)。計(jì)算典型方程中的各個(gè)系數(shù)以及自由項(xiàng)。 (4) 求解典型方程，得出各多余未知力。求解典型方程，得出各多余未知力。 (5) 按照分析靜定結(jié)構(gòu)的方法，由平衡條件和疊加原理繪制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。按照分析靜定結(jié)構(gòu)的方法，由平衡條件和疊加原理繪制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。 (6) 校核。校核。 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.12力力 法法 下面結(jié)合具體例子說明力法的運(yùn)用。下面結(jié)合具體例子說明力法的運(yùn)用?！纠纠?.2】 用力法

17、計(jì)算如圖用力法計(jì)算如圖6.10(a)所示的剛架，各桿的所示的剛架，各桿的ei 相等且為常數(shù)，繪制內(nèi)力圖。相等且為常數(shù)，繪制內(nèi)力圖。圖圖6.10 超靜定剛架超靜定剛架解解 (1) 由幾何組成分析知，該結(jié)構(gòu)是二次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉處的兩個(gè)多余約束，得到基本結(jié)由幾何組成分析知，該結(jié)構(gòu)是二次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉處的兩個(gè)多余約束，得到基本結(jié)構(gòu)，如圖構(gòu)，如圖6.10(b)所示。所示。 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.13力力 法法 (2) 由已知點(diǎn)的位移條件，列出力法的典型方程：由已知點(diǎn)的位移條件，列出力法的典型方程： 1111221211222200ppxxxx (3) 作基本體系的作基本體系的 圖，利用圖乘法求系數(shù)

18、和自由項(xiàng)，并解方程求得圖，利用圖乘法求系數(shù)和自由項(xiàng)，并解方程求得x1、x2。 12,pmmm23111232223121221241122422d112()233d1124()233d11()22d11()224d1135()32428ppppmsll lleieieimsll lll l leieieim msll l leieieim msqlqll leieieim msqlqlqllll leiei ei 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.14力力 法法 將各系數(shù)、自由項(xiàng)代入典型方程，得將各系數(shù)、自由項(xiàng)代入典型方程，得 1232837xqlxql (4) 由公式由公式 求各截面彎矩值，并繪制彎矩

19、圖，如圖求各截面彎矩值，并繪制彎矩圖，如圖6.11(a)所示。所示。 1212pmm xm xm222230 721433 287228cbacqlqlmlqlqlqlmlqllql （上邊受拉）（右邊受拉）圖圖6.11 內(nèi)力圖內(nèi)力圖 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.15力力 法法 (5) 根據(jù)最后彎矩圖根據(jù)最后彎矩圖(如圖如圖6.11(a)所示所示)，取隔離體，由平衡條件求得各桿端剪力和軸力，并，取隔離體，由平衡條件求得各桿端剪力和軸力，并作作q 圖圖、n圖，如圖圖，如圖6.11(b)、(c)所示。所示。 取取ac，如圖，如圖6.12(a)所示，分別由所示，分別由ma=0 ，x=0 ，y=0 ，得，

20、得3 =28accaaccaqlqqnn ， 取取cb，如圖，如圖6.12(b)所示，分別由所示，分別由mb=0 ， x=0 ，得：，得：47328cbbccbqqlnnql 取取c結(jié)點(diǎn)，如圖結(jié)點(diǎn)，如圖6.12(c)所示，由所示，由y=0 得：得：47cacbnqql 取結(jié)點(diǎn)取結(jié)點(diǎn)b，由，由x=0 ，已知，已知 得得 237xql37bcnql 圖圖6.12 求各桿軸力及剪力求各桿軸力及剪力 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.16力力 法法 同一超靜定結(jié)構(gòu)在求解時(shí)可選擇各種不同形式的基本結(jié)構(gòu)，結(jié)果必然相同。同一超靜定結(jié)構(gòu)在求解時(shí)可選擇各種不同形式的基本結(jié)構(gòu)，結(jié)果必然相同。 五、五、超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化、

21、支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化、支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力計(jì)算 對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，即使沒有荷載作用時(shí)也可能產(chǎn)生內(nèi)力，如支座移動(dòng)、溫度變化以及制造對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，即使沒有荷載作用時(shí)也可能產(chǎn)生內(nèi)力，如支座移動(dòng)、溫度變化以及制造裝配方面的誤差都可以引起結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。用力法計(jì)算由于支座移動(dòng)、溫度變化等引起結(jié)構(gòu)的內(nèi)裝配方面的誤差都可以引起結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。用力法計(jì)算由于支座移動(dòng)、溫度變化等引起結(jié)構(gòu)的內(nèi)力時(shí)，其基本思路、原理和步驟與荷載作用下的內(nèi)力計(jì)算基本相同，不同的只是力法的典型方力時(shí)，其基本思路、原理和步驟與荷載作用下的內(nèi)力計(jì)算基本相同，不同的只是力法的典型方程中自由項(xiàng)的計(jì)算。以下只以支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算為例來講述

22、。程中自由項(xiàng)的計(jì)算。以下只以支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算為例來講述。 【例【例6.3】 如圖如圖6.13(a)所示的等截面梁所示的等截面梁 ，已知，已知 端支座轉(zhuǎn)動(dòng)角度為端支座轉(zhuǎn)動(dòng)角度為 ， 端支座下沉位移端支座下沉位移 。試求。試求梁的彎矩圖。梁的彎矩圖。圖圖6.13 例例6.3圖圖 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.17力力 法法解解 (1) ab為一次超靜定梁，去掉為一次超靜定梁，去掉b支座多余約束，代以多余約束反力支座多余約束，代以多余約束反力x1，基本體系如圖，基本體系如圖6.13(b)所示。所示。 (2) 在在x1 和和、a共同作用下，基本體系與原結(jié)構(gòu)受力相同。為了使兩者變形也相同，必須共同作用下，基本

23、體系與原結(jié)構(gòu)受力相同。為了使兩者變形也相同，必須令基本體系在多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)相同，即：令基本體系在多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)相同，即： 針對(duì)基本體系討論針對(duì)基本體系討論b點(diǎn)的豎直位移：點(diǎn)的豎直位移： 1a，負(fù)號(hào)表示支座位移，負(fù)號(hào)表示支座位移a與與x1 所設(shè)方向相反。所設(shè)方向相反。 11x1 1c a 由圖由圖6.13(c)知：知： 1c=l ，負(fù)號(hào)表示，負(fù)號(hào)表示1c 與與x1 假設(shè)方向相反。假設(shè)方向相反。 由基本結(jié)構(gòu)由基本結(jié)構(gòu) 圖圖(如圖如圖6.13(d)所示所示)得到：得到：1m321111112233lm dxllleieiei 代入力法方程，得：代入力法方程，得：123()eiax

24、ll (3) 求內(nèi)力。原超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與基本體系相同，而支座移動(dòng)在基本體系求內(nèi)力。原超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與基本體系相同，而支座移動(dòng)在基本體系(靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu))中不引中不引起內(nèi)力，所以最后彎矩為：起內(nèi)力，所以最后彎矩為： iiimm x 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.18力力 法法 原結(jié)構(gòu)的彎矩圖如圖原結(jié)構(gòu)的彎矩圖如圖6.13(e)所示。所示。 由此可以看出，計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的內(nèi)力時(shí)，其力法方程右端項(xiàng)應(yīng)等于原由此可以看出，計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的內(nèi)力時(shí)，其力法方程右端項(xiàng)應(yīng)等于原結(jié)構(gòu)相應(yīng)處的位移，而自由項(xiàng)為基本結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的與多余未知力相應(yīng)的位移。該兩結(jié)構(gòu)相應(yīng)處的位移，而自由項(xiàng)

25、為基本結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的與多余未知力相應(yīng)的位移。該兩項(xiàng)可直接由基本結(jié)構(gòu)中變形關(guān)系求出。結(jié)構(gòu)的最后內(nèi)力全部由多余未知力引起。項(xiàng)可直接由基本結(jié)構(gòu)中變形關(guān)系求出。結(jié)構(gòu)的最后內(nèi)力全部由多余未知力引起。六、六、超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 超靜定結(jié)構(gòu)的力法計(jì)算的基本思想是利用靜定的基本體系來計(jì)算多余未知力，基本體系的超靜定結(jié)構(gòu)的力法計(jì)算的基本思想是利用靜定的基本體系來計(jì)算多余未知力，基本體系的內(nèi)力、變形與原來超靜定結(jié)構(gòu)完全相同。因此，在求解超靜定結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，仍可以借助于基內(nèi)力、變形與原來超靜定結(jié)構(gòu)完全相同。因此，在求解超靜定結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，仍可以借助于基本體系，把已求出的多余力當(dāng)作主動(dòng)力

26、來看待，采用前面的靜定結(jié)構(gòu)求位移的方法即可以求出本體系，把已求出的多余力當(dāng)作主動(dòng)力來看待，采用前面的靜定結(jié)構(gòu)求位移的方法即可以求出基本體系的位移，該位移也就是原來超靜定結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移。求超靜定結(jié)構(gòu)的位移仍可用單基本體系的位移，該位移也就是原來超靜定結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移。求超靜定結(jié)構(gòu)的位移仍可用單位荷載法，單位力可加在原結(jié)構(gòu)上，也可加在它的任一靜定基本結(jié)構(gòu)上。位荷載法，單位力可加在原結(jié)構(gòu)上，也可加在它的任一靜定基本結(jié)構(gòu)上。 超靜定結(jié)構(gòu)有不同于靜定結(jié)構(gòu)的一些特性：超靜定結(jié)構(gòu)有不同于靜定結(jié)構(gòu)的一些特性： (1) 由于存在多余約束，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力僅由靜力平衡條件不能確定，必須同時(shí)考慮變形由于存在多余約

27、束，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力僅由靜力平衡條件不能確定，必須同時(shí)考慮變形條件才能求出，因此超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與材料性質(zhì)和截面尺寸有關(guān)，即與桿件的剛度有關(guān)。條件才能求出，因此超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與材料性質(zhì)和截面尺寸有關(guān)，即與桿件的剛度有關(guān)。七、七、超靜定結(jié)構(gòu)的特性超靜定結(jié)構(gòu)的特性 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.19力力 法法 (2) 由于存在多余約束，超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化和支座位移等因素的影響下一般會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力；由于存在多余約束，超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化和支座位移等因素的影響下一般會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力；而靜定結(jié)構(gòu)除在荷載作用下會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力外，在其他因素影響下不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力。這一特性在一定而靜定結(jié)構(gòu)除在荷載作用下會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力外，在其他因素影

28、響下不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力。這一特性在一定條件下對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)帶來不利影響，例如，連續(xù)梁當(dāng)?shù)鼗A(chǔ)發(fā)生不均勻沉降時(shí)，會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)條件下對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)帶來不利影響，例如，連續(xù)梁當(dāng)?shù)鼗A(chǔ)發(fā)生不均勻沉降時(shí)，會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過大的附加內(nèi)力。但另一方面也可以利用這一特性，通過改變支座的高度來調(diào)整結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，生過大的附加內(nèi)力。但另一方面也可以利用這一特性，通過改變支座的高度來調(diào)整結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，使其得到合理的內(nèi)力分布。使其得到合理的內(nèi)力分布。 (3) 由于存在多余約束，超靜定結(jié)構(gòu)的剛度一般比相應(yīng)靜定結(jié)構(gòu)的剛度要大些，而內(nèi)力和位由于存在多余約束，超靜定結(jié)構(gòu)的剛度一般比相應(yīng)靜定結(jié)構(gòu)的剛度要大些，而內(nèi)力和位移的峰值則小些，且分布趨于

29、均勻。移的峰值則小些，且分布趨于均勻。 (4) 超靜定結(jié)構(gòu)在多余約束破壞后，體系仍然是幾何不變體系，能繼續(xù)承受荷載；而靜定結(jié)超靜定結(jié)構(gòu)在多余約束破壞后，體系仍然是幾何不變體系，能繼續(xù)承受荷載；而靜定結(jié)構(gòu)中任何一個(gè)約束被破壞后，體系成為幾何可變從而喪失了承載能力。因此在抗震防災(zāi)、國(guó)防構(gòu)中任何一個(gè)約束被破壞后，體系成為幾何可變從而喪失了承載能力。因此在抗震防災(zāi)、國(guó)防建設(shè)等方面，超靜定結(jié)構(gòu)具有較好的抵抗破壞的能力。建設(shè)等方面，超靜定結(jié)構(gòu)具有較好的抵抗破壞的能力。 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.20位位 移移 法法一、一、位移法的基本概念位移法的基本概念 用位移法分析結(jié)構(gòu)時(shí)，先將結(jié)構(gòu)離散成單個(gè)的桿件，進(jìn)行桿

30、件受力分析，然后考慮變形協(xié)用位移法分析結(jié)構(gòu)時(shí)，先將結(jié)構(gòu)離散成單個(gè)的桿件，進(jìn)行桿件受力分析，然后考慮變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件，將桿件在結(jié)點(diǎn)處組裝成整體結(jié)構(gòu)。調(diào)條件和平衡條件，將桿件在結(jié)點(diǎn)處組裝成整體結(jié)構(gòu)。 如圖如圖6.14(a)所示的結(jié)構(gòu)在荷載的作用下發(fā)生如圖中虛線所示的變形，由于結(jié)點(diǎn)所示的結(jié)構(gòu)在荷載的作用下發(fā)生如圖中虛線所示的變形，由于結(jié)點(diǎn) 為剛結(jié)點(diǎn)，為剛結(jié)點(diǎn)，桿件桿件ab、ac 在結(jié)點(diǎn)在結(jié)點(diǎn)a處有相同的轉(zhuǎn)角處有相同的轉(zhuǎn)角a。此外，如果不考慮桿件的軸向變形和剪切變形，并。此外，如果不考慮桿件的軸向變形和剪切變形，并假定彎曲變形是微小的，則可以假定受彎直桿兩端之間的距離在變形后仍然保持不變，故結(jié)點(diǎn)

31、假定彎曲變形是微小的，則可以假定受彎直桿兩端之間的距離在變形后仍然保持不變，故結(jié)點(diǎn) a無線位移。考查每根桿件的變形情況，可以做出各桿的變形圖無線位移?？疾槊扛鶙U件的變形情況，可以做出各桿的變形圖(如圖如圖6.14(b)所示所示)。其中。其中ab桿桿相當(dāng)于一端固定、另一端鉸支的單跨梁，除承受荷載作用外，固定支座相當(dāng)于一端固定、另一端鉸支的單跨梁，除承受荷載作用外，固定支座a 還產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角還產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角a 。桿。桿件件 相當(dāng)于兩端固定的單跨梁，固定端相當(dāng)于兩端固定的單跨梁，固定端 產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角 。這些單跨超靜定梁在支座位移和荷載作用。這些單跨超靜定梁在支座位移和荷載作用下的反力和內(nèi)力可以用力

32、法求得，不過，這里的轉(zhuǎn)角下的反力和內(nèi)力可以用力法求得，不過，這里的轉(zhuǎn)角a 對(duì)于對(duì)于ab、ac 桿都是未知的。因此，對(duì)桿都是未知的。因此，對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)來說，求解的關(guān)鍵是如何確定轉(zhuǎn)角整個(gè)結(jié)構(gòu)來說，求解的關(guān)鍵是如何確定轉(zhuǎn)角a 。圖圖6.14 位移法分析結(jié)構(gòu)位移法分析結(jié)構(gòu) 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.21位位 移移 法法 如圖如圖6.15所示的結(jié)構(gòu)在受外荷載作用后，各桿的變形如圖中虛線所示，結(jié)點(diǎn)所示的結(jié)構(gòu)在受外荷載作用后，各桿的變形如圖中虛線所示，結(jié)點(diǎn)a、b處除了產(chǎn)處除了產(chǎn)生角位移外，還產(chǎn)生水平位移，由于變形很小，而且假定桿在彎曲后兩端的距離不變，可以認(rèn)生角位移外，還產(chǎn)生水平位移，由于變形很小，而且假定桿在

33、彎曲后兩端的距離不變，可以認(rèn)為為a、b兩節(jié)點(diǎn)只有水平位移且兩點(diǎn)的水平位移兩節(jié)點(diǎn)只有水平位移且兩點(diǎn)的水平位移相等。因此結(jié)構(gòu)既有角位移相等。因此結(jié)構(gòu)既有角位移a 、 b，又有線，又有線位移位移 。 圖圖6.15 結(jié)構(gòu)變形結(jié)構(gòu)變形 以上兩個(gè)例子說明，只要結(jié)構(gòu)的某些角位移、線位移先行求出，則各桿的內(nèi)力可以完全確以上兩個(gè)例子說明，只要結(jié)構(gòu)的某些角位移、線位移先行求出，則各桿的內(nèi)力可以完全確定。如把結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，由這些結(jié)點(diǎn)位移可求上述各單桿內(nèi)力和約束反力，由它們定。如把結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，由這些結(jié)點(diǎn)位移可求上述各單桿內(nèi)力和約束反力，由它們組裝成原結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)滿足結(jié)點(diǎn)的平衡條件，從而可得到確定這些

34、未知位移的方程。由此，位移法組裝成原結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)滿足結(jié)點(diǎn)的平衡條件，從而可得到確定這些未知位移的方程。由此，位移法分析中應(yīng)解決以下幾個(gè)問題：分析中應(yīng)解決以下幾個(gè)問題： 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.22位位 移移 法法 (1) 以結(jié)構(gòu)的哪些結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。以結(jié)構(gòu)的哪些結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。 (2) 確定桿件的桿端力與桿端位移以及荷載之間的關(guān)系。確定桿件的桿端力與桿端位移以及荷載之間的關(guān)系。 (3) 建立求解基本未知量的位移法方程。建立求解基本未知量的位移法方程。二、二、等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程 如前所述，用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，把桿件當(dāng)作單跨超靜定梁，則桿端位移可以看作如

35、前所述，用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，把桿件當(dāng)作單跨超靜定梁，則桿端位移可以看作單跨梁的支座位移。這樣，桿端內(nèi)力與桿端位移之間的關(guān)系可以利用力法求出。把桿件桿端內(nèi)單跨梁的支座位移。這樣，桿端內(nèi)力與桿端位移之間的關(guān)系可以利用力法求出。把桿件桿端內(nèi)力與桿端位移以及荷載之間的關(guān)系式，稱為轉(zhuǎn)角位移方程。本節(jié)利用力法計(jì)算結(jié)果，由疊加原力與桿端位移以及荷載之間的關(guān)系式，稱為轉(zhuǎn)角位移方程。本節(jié)利用力法計(jì)算結(jié)果，由疊加原理推導(dǎo)出位移法中常用的等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。理推導(dǎo)出位移法中常用的等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。 1. 單跨超靜定梁的形常數(shù)和載常數(shù)單跨超靜定梁的形常數(shù)和載常數(shù) 常用的單跨超靜定梁的類型有：常用的

36、單跨超靜定梁的類型有：兩端固定的梁，如圖兩端固定的梁，如圖6.16(a)所示；所示；一端固定另一端鉸支的梁，如圖一端固定另一端鉸支的梁，如圖6.16(b)所示；所示；一端固定另一端為定一端固定另一端為定向支座的梁，如圖向支座的梁，如圖6.16(c)所示。所示。 圖圖6.16 單跨超靜定梁類型單跨超靜定梁類型 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.23位位 移移 法法 上述三種超靜定梁，無論是荷載作用還是支座位移所引起的內(nèi)力，都可以用力法求得。為上述三種超靜定梁，無論是荷載作用還是支座位移所引起的內(nèi)力，都可以用力法求得。為了求解問題的方便，現(xiàn)將計(jì)算結(jié)果列于表了求解問題的方便，現(xiàn)將計(jì)算結(jié)果列于表6-1中，表中所

37、列的桿端彎矩和桿端剪力數(shù)值，凡是由中，表中所列的桿端彎矩和桿端剪力數(shù)值，凡是由荷載作用產(chǎn)生的稱為載常數(shù)；由支座單位位移產(chǎn)生的均稱為形常數(shù)。表荷載作用產(chǎn)生的稱為載常數(shù)；由支座單位位移產(chǎn)生的均稱為形常數(shù)。表6-1中的桿端彎矩、桿端中的桿端彎矩、桿端剪力及單位位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下。剪力及單位位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下。 (1) mab、mba分別表示分別表示ab 桿桿a 端和端和b 端的彎矩，規(guī)定順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。端的彎矩，規(guī)定順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。 (2) qab、qba分別表示分別表示ab 桿桿ab 端和端和ba 端的剪力，規(guī)定使桿件順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為端的剪力，規(guī)定使桿件順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反

38、之為負(fù)。負(fù)。 (3) a表示固定端表示固定端 的轉(zhuǎn)角，規(guī)定順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)的轉(zhuǎn)角，規(guī)定順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。 (4) 表示表示ab桿兩端垂直于桿軸的相對(duì)線位移，規(guī)定使桿件順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。桿兩端垂直于桿軸的相對(duì)線位移，規(guī)定使桿件順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。 在形常數(shù)中在形常數(shù)中 ，稱為桿件的線剛度。在應(yīng)用表，稱為桿件的線剛度。在應(yīng)用表6-1時(shí)應(yīng)注意的是：表中的形常數(shù)和載常時(shí)應(yīng)注意的是：表中的形常數(shù)和載常數(shù)是根據(jù)圖示的支座位移和荷載方向求得的。當(dāng)計(jì)算某一結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)根據(jù)其桿件兩端實(shí)際的位數(shù)是根據(jù)圖示的支座位移和荷載方向求得的。當(dāng)計(jì)算某一結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)根據(jù)其桿件兩端實(shí)際的位移方向和荷載方向

39、，判斷形常數(shù)和載常數(shù)應(yīng)取的正負(fù)號(hào)。移方向和荷載方向，判斷形常數(shù)和載常數(shù)應(yīng)取的正負(fù)號(hào)。eiil 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.24位位 移移 法法2. 等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程 1) 兩端固定桿兩端固定桿 如圖如圖6.17所示兩端固定的等截面直桿，假如所示兩端固定的等截面直桿，假如a、b 兩端的轉(zhuǎn)角分別為兩端的轉(zhuǎn)角分別為a 、b ，垂直于桿軸，垂直于桿軸方向上的相對(duì)線位移是方向上的相對(duì)線位移是，梁上還存在外荷載的作用。梁，梁上還存在外荷載的作用。梁ab 在上述四種外在因素共同作用下的在上述四種外在因素共同作用下的桿端彎矩，應(yīng)該等于桿端彎矩，應(yīng)該等于a、b、 和荷載單獨(dú)作用下的桿

40、端彎矩的疊加。利用表和荷載單獨(dú)作用下的桿端彎矩的疊加。利用表6-1可以得到：可以得到：426426fabababfbababamiiimlmiiiml式中，式中， 為跨間荷引起為跨間荷引起ab桿的桿端彎矩。式桿的桿端彎矩。式(6-3)稱為兩端固定桿的轉(zhuǎn)角位移方程。稱為兩端固定桿的轉(zhuǎn)角位移方程。 ffabbamm、圖圖6.17 兩端固定的直桿兩端固定的直桿(6-3) 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.25位位 移移 法法 2) 一端固定另一端鉸支桿一端固定另一端鉸支桿 如圖如圖6.18所示，設(shè)所示，設(shè)a 端轉(zhuǎn)角為端轉(zhuǎn)角為a ，兩端相對(duì)位移是，兩端相對(duì)位移是 ，梁上還作用有外荷載。利用表，梁上還作用有外荷載

41、。利用表6-1可以得到：可以得到：330fabaabbamiimlm 式式(6-4)稱為一端固定另一端鉸支桿的轉(zhuǎn)角位移方程。稱為一端固定另一端鉸支桿的轉(zhuǎn)角位移方程。 圖圖6.18 一端固定、另一端鉸支桿一端固定、另一端鉸支桿(6-4) 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.26位位 移移 法法圖圖6.18 一端固定、另一端鉸支桿一端固定、另一端鉸支桿 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.27位位 移移 法法續(xù)表續(xù)表 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.28位位 移移 法法 3) 一端固定另一端定向支承桿一端固定另一端定向支承桿 如圖如圖6.19所示，設(shè)所示，設(shè)a 端轉(zhuǎn)角為端轉(zhuǎn)角為a ，設(shè)，設(shè)b 端轉(zhuǎn)角為端轉(zhuǎn)角為b ，梁上還作用有外

42、加荷載。利用表，梁上還作用有外加荷載。利用表6-1可可以得到：以得到：fabababfbababamiimmiim 式式(6-5)稱為一端固定另一端定向支承桿的轉(zhuǎn)角位移方程。稱為一端固定另一端定向支承桿的轉(zhuǎn)角位移方程。 (6-5)圖圖6.19 一端固定，另一端定向支承一端固定，另一端定向支承桿桿 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.29位位 移移 法法 以上得到了三種不同約束條件下等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程式，它們都是桿端彎矩與荷載以上得到了三種不同約束條件下等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程式，它們都是桿端彎矩與荷載及桿端位移之間的關(guān)系。對(duì)于桿端剪力與桿端位移及荷載之間關(guān)系可根據(jù)靜力平衡條件求得：及桿端位移之間的關(guān)

43、系。對(duì)于桿端剪力與桿端位移及荷載之間關(guān)系可根據(jù)靜力平衡條件求得： 00abbaabababbababammqqlmmqql 式中，式中， 分別表示相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在跨間荷載作用下的桿端剪力。分別表示相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在跨間荷載作用下的桿端剪力。 分別將式分別將式(6-3)、式、式(6-4)、式、式(6-5)代入式代入式(6-6)，即可求得相應(yīng)單跨超靜定桿的桿端剪力與桿，即可求得相應(yīng)單跨超靜定桿的桿端剪力與桿端位移及荷載的關(guān)系。端位移及荷載的關(guān)系。(6-6)00 abbaqq、三、三、位移法計(jì)算舉例位移法計(jì)算舉例 位移法方程實(shí)質(zhì)上反映了原結(jié)構(gòu)某一部分的靜力平衡條件。因此可以直接運(yùn)用轉(zhuǎn)角位移方位移法方程實(shí)質(zhì)上反

44、映了原結(jié)構(gòu)某一部分的靜力平衡條件。因此可以直接運(yùn)用轉(zhuǎn)角位移方程得到桿端力與桿端位移的關(guān)系式后，由原結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)和某部分的平衡條件建立位移法方程，程得到桿端力與桿端位移的關(guān)系式后，由原結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)和某部分的平衡條件建立位移法方程，下面說明這種方法的過程和步驟。下面說明這種方法的過程和步驟。 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.30位位 移移 法法 【例【例6.4】 用位移法計(jì)算如圖用位移法計(jì)算如圖6.20(a)所示剛架，繪制出最后彎矩圖。所示剛架，繪制出最后彎矩圖。 圖圖6.19 一端固定，另一端定向支承一端固定，另一端定向支承桿桿解解 (1) 如圖如圖6.20(a)所示的剛架結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)基本未知量，即轉(zhuǎn)角所示

45、的剛架結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)基本未知量，即轉(zhuǎn)角1 和線位移和線位移 ，令，令z1= 1,z2= ，并假設(shè)位移均為正方向，如圖，并假設(shè)位移均為正方向，如圖6.20(b)所示。所示。 (2) 應(yīng)用轉(zhuǎn)角位移方程，將各桿桿端彎矩和桿端剪力表達(dá)為含結(jié)點(diǎn)位移及荷載的表達(dá)式，即：應(yīng)用轉(zhuǎn)角位移方程，將各桿桿端彎矩和桿端剪力表達(dá)為含結(jié)點(diǎn)位移及荷載的表達(dá)式，即： 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.31位位 移移 法法24114114122141411412121211232232212314141412122323222610861044610166104380188093440612106310416391616zmi zizzz

46、mi zizzmi zzzmizmmiiqzzzziqzz (3) 由結(jié)點(diǎn)由結(jié)點(diǎn)1的平衡條件的平衡條件m1=0和柱端剪力平衡條件和柱端剪力平衡條件x=0(如圖如圖6.21所示所示)可以建立兩個(gè)方程式：可以建立兩個(gè)方程式：1412142300mmqq圖圖6.21 桿桿12的平衡的平衡 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.32位位 移移 法法 將上述有關(guān)桿端彎矩和桿端剪力代入，得將上述有關(guān)桿端彎矩和桿端剪力代入，得121234670057610016zzzz (4) 解方程組可得：解方程組可得： 123.63, 8.93zz (5) 然后將然后將z1=3.63、z2=8.93代回到各桿桿端彎矩的表達(dá)式中，則可

47、以得到：代回到各桿桿端彎矩的表達(dá)式中，則可以得到： 414112328 3.636 8.93 1034.5kn m 163.636 8.931014.5kn m 18 3.638014.5kn m 98.9320.1kn m 4mmmm （外邊受拉）（外邊受拉）（上邊受拉）（里面受拉） 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.33位位 移移 法法 (6) 根據(jù)上述各桿的桿端彎矩及跨間荷載，可繪制出原結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖，如圖根據(jù)上述各桿的桿端彎矩及跨間荷載，可繪制出原結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖，如圖6.22所示。所示。圖圖6.22 剛架的最后彎矩圖剛架的最后彎矩圖 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.34力矩分配法力矩分配法一、一、力

48、矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念 前面介紹的力法和位移法是計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法。無論哪種方法都需要求解聯(lián)前面介紹的力法和位移法是計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法。無論哪種方法都需要求解聯(lián)立方程組。力矩分配法采用逐步修正的計(jì)算步驟，不需要求解聯(lián)立方程組，可以直接求出桿端立方程組。力矩分配法采用逐步修正的計(jì)算步驟，不需要求解聯(lián)立方程組，可以直接求出桿端彎矩的近似值，比較適用于連續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)線位移的剛架的計(jì)算。彎矩的近似值，比較適用于連續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)線位移的剛架的計(jì)算。 為了說明力矩分配法的概念和計(jì)算步驟，先介紹幾個(gè)名詞：為了說明力矩分配法的概念和計(jì)算步驟，先介紹幾個(gè)名詞： 1) 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)

49、動(dòng)剛度 桿端支承不同的桿件對(duì)于桿端轉(zhuǎn)動(dòng)的抵抗能力是不同的。桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)桿端支承不同的桿件對(duì)于桿端轉(zhuǎn)動(dòng)的抵抗能力是不同的。桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)sab 的定義是：的定義是：桿桿ab 的的a端端(或者稱近端或者稱近端)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)， a端所需施加的力矩端所需施加的力矩值。此值不僅與桿件的彎曲線剛度值。此值不僅與桿件的彎曲線剛度 有關(guān)，而且與桿件的另一端有關(guān)，而且與桿件的另一端(或者稱遠(yuǎn)端或者稱遠(yuǎn)端)的支承有關(guān)。不同支承情況的等截面直桿相應(yīng)的近端轉(zhuǎn)的支承有關(guān)。不同支承情況的等截面直桿相應(yīng)的近端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)可以從表動(dòng)剛度系數(shù)可以從表6-1中查得，如圖中查得，如圖6.23(a)圖圖6.2

50、3(c)所示，它們分所示，它們分別為：別為： 遠(yuǎn)端為固定支座遠(yuǎn)端為固定支座 sab =4i 遠(yuǎn)端為鉸支座遠(yuǎn)端為鉸支座 sab =3i 遠(yuǎn)端為定向支座遠(yuǎn)端為定向支座 sab =ie iil圖圖6.23 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.35力矩分配法力矩分配法 如果把如果把a(bǔ)端改成固定鉸支座或可動(dòng)鉸支座，則端改成固定鉸支座或可動(dòng)鉸支座，則sab 的數(shù)值不變。可以把的數(shù)值不變?？梢园補(bǔ) 端看作可轉(zhuǎn)動(dòng)端看作可轉(zhuǎn)動(dòng)(但但不能移動(dòng)不能移動(dòng))的剛結(jié)點(diǎn)的剛結(jié)點(diǎn)a，這時(shí)，這時(shí)sab 就代表當(dāng)剛結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)在桿端就代表當(dāng)剛結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)在桿端ai 引起的桿端彎矩。引起的桿端彎矩。 2) 傳遞系

51、數(shù)傳遞系數(shù) 當(dāng)桿件當(dāng)桿件ab 僅在僅在a 端有轉(zhuǎn)角時(shí)，引起端有轉(zhuǎn)角時(shí)，引起b端的彎矩端的彎矩mba 稱為傳遞彎矩，它與稱為傳遞彎矩，它與a 端彎矩端彎矩mab之比之比值，稱為該桿從值，稱為該桿從a 端傳至端傳至b 端的彎矩傳遞系數(shù)，用端的彎矩傳遞系數(shù)，用cab 表示。因此，圖表示。因此，圖6.23(a)、(b)、(c)所示各所示各桿的傳遞系數(shù)分別為：桿的傳遞系數(shù)分別為： 遠(yuǎn)端為固定支座遠(yuǎn)端為固定支座20.540031baababababmicmiciici 遠(yuǎn)端為定向支座遠(yuǎn)端為定向支座 遠(yuǎn)端為鉸支座遠(yuǎn)端為鉸支座 利用傳遞系數(shù)的概念，圖利用傳遞系數(shù)的概念，圖6.23中各桿的遠(yuǎn)端彎矩可以由下式計(jì)算

52、：中各桿的遠(yuǎn)端彎矩可以由下式計(jì)算： baababmcm 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.36力矩分配法力矩分配法 3) 彎矩分配系數(shù)彎矩分配系數(shù) 如圖如圖6.24(a)所示的剛架，外力偶所示的剛架，外力偶m作用于結(jié)點(diǎn)作用于結(jié)點(diǎn)a，使結(jié)點(diǎn)，使結(jié)點(diǎn)a發(fā)生了轉(zhuǎn)角發(fā)生了轉(zhuǎn)角a，各桿發(fā)生如圖中，各桿發(fā)生如圖中虛線所示的變形。由剛結(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)，各桿的虛線所示的變形。由剛結(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)，各桿的a端均發(fā)生轉(zhuǎn)角端均發(fā)生轉(zhuǎn)角 a?，F(xiàn)將結(jié)點(diǎn)?，F(xiàn)將結(jié)點(diǎn)a取作隔離體取作隔離體(如圖如圖6.24(b)所示所示)，由平衡條件有：，由平衡條件有：abacadmmmm圖圖6.24 剛架受力圖剛架受力圖 又由各桿轉(zhuǎn)動(dòng)剛度定義，當(dāng)時(shí)，近端彎矩分

53、別為：則：又由各桿轉(zhuǎn)動(dòng)剛度定義，當(dāng)時(shí)，近端彎矩分別為：則： 43ababaacacaadadamimimi 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.37力矩分配法力矩分配法 故故 (43)() (,)aabacadabacadaaaimiiisssmib c ds 式中，式中，sai表示交于結(jié)點(diǎn)表示交于結(jié)點(diǎn)a的各桿的各桿a端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和。則各桿端彎矩為：端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和。則各桿端彎矩為：abababaabaiacacacaacaiadadadaadaismsmmssmsmmssmsmms 式中，式中， ab，ac，ad即為點(diǎn)即為點(diǎn)a處各桿近端彎矩的分配系數(shù)，且同一結(jié)點(diǎn)各桿端分配系數(shù)之和處各桿近端彎矩的分配系數(shù)，

54、且同一結(jié)點(diǎn)各桿端分配系數(shù)之和為為1，即，即ab + ac + ad =1。 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.38力矩分配法力矩分配法 注意的是注意的是m 為作用于結(jié)點(diǎn)為作用于結(jié)點(diǎn)a 的外力矩，該力矩按各桿的外力矩，該力矩按各桿a 端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的比例分配給各桿的端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的比例分配給各桿的a 端端(近端近端)，故稱各桿的，故稱各桿的a 端彎矩為分配彎矩、端彎矩為分配彎矩、為力矩分配系數(shù)、上述計(jì)算近端彎矩的過程稱為為力矩分配系數(shù)、上述計(jì)算近端彎矩的過程稱為力矩分配。力矩分配。 力矩分配法即是將作用于結(jié)點(diǎn)的外力矩按交于此點(diǎn)的各桿端的力矩分配系數(shù)分配給各桿的力矩分配法即是將作用于結(jié)點(diǎn)的外力矩按交于此點(diǎn)的各桿端的

55、力矩分配系數(shù)分配給各桿的近端，得到各桿近端的分配彎矩；然后根據(jù)各桿遠(yuǎn)端的支承情況，將近端的分配彎矩乘以相應(yīng)近端，得到各桿近端的分配彎矩；然后根據(jù)各桿遠(yuǎn)端的支承情況，將近端的分配彎矩乘以相應(yīng)的傳遞系數(shù)，得到遠(yuǎn)端的傳遞彎矩。的傳遞系數(shù)，得到遠(yuǎn)端的傳遞彎矩。二、二、用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和結(jié)點(diǎn)無線位移的剛架用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和結(jié)點(diǎn)無線位移的剛架 以圖以圖6.25(a)的連續(xù)梁為例來說明其計(jì)算步驟。的連續(xù)梁為例來說明其計(jì)算步驟。 (1) 固定結(jié)點(diǎn)，求約束力矩。在剛結(jié)點(diǎn)固定結(jié)點(diǎn)，求約束力矩。在剛結(jié)點(diǎn)b處加上附加剛臂，形成位移法的基本結(jié)構(gòu)，然后將荷處加上附加剛臂，形成位移法的基本結(jié)構(gòu)，然后將荷載加上去

56、，如圖載加上去，如圖6.25(b)所示。此時(shí)，各桿端將產(chǎn)生固端彎矩，利用結(jié)點(diǎn)所示。此時(shí)，各桿端將產(chǎn)生固端彎矩，利用結(jié)點(diǎn)b的力矩平衡條件，可的力矩平衡條件，可以求出剛臂對(duì)結(jié)點(diǎn)的約束力矩以求出剛臂對(duì)結(jié)點(diǎn)的約束力矩(也稱不平衡彎矩也稱不平衡彎矩)。約束力矩以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，在?shù)值上等于。約束力矩以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎跀?shù)值上等于交于結(jié)點(diǎn)交于結(jié)點(diǎn)b的各桿端固端彎矩的代數(shù)和，即的各桿端固端彎矩的代數(shù)和，即 。 ffbbabcmmm 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.39力矩分配法力矩分配法圖圖6.25 力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.40力矩分配法力矩分配法 (2) 放松結(jié)點(diǎn)，求分配

57、彎矩和傳遞彎矩。因結(jié)點(diǎn)放松結(jié)點(diǎn)，求分配彎矩和傳遞彎矩。因結(jié)點(diǎn)b 本來沒有剛臂，也不存在約束力矩本來沒有剛臂，也不存在約束力矩mb ，為了使其恢復(fù)到原來的狀態(tài)圖為了使其恢復(fù)到原來的狀態(tài)圖6.25(a)，使結(jié)點(diǎn)，使結(jié)點(diǎn)b 處的約束力矩回復(fù)到零，在結(jié)點(diǎn)處的約束力矩回復(fù)到零，在結(jié)點(diǎn)b 處新加一個(gè)處新加一個(gè)與與mb 大小相等、方向相反的力矩。這相當(dāng)于消除了剛臂，使結(jié)點(diǎn)大小相等、方向相反的力矩。這相當(dāng)于消除了剛臂，使結(jié)點(diǎn)b 產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)動(dòng)。產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)各桿所產(chǎn)生的桿端彎矩可以按力矩分配法進(jìn)行計(jì)算。注意，跨間荷載引起的結(jié)點(diǎn)不平衡力此時(shí)各桿所產(chǎn)生的桿端彎矩可以按力矩分配法進(jìn)行計(jì)算。注意

58、，跨間荷載引起的結(jié)點(diǎn)不平衡力矩要反號(hào)分配、傳遞；而結(jié)點(diǎn)上外力矩荷載要正號(hào)分配、傳遞。矩要反號(hào)分配、傳遞；而結(jié)點(diǎn)上外力矩荷載要正號(hào)分配、傳遞。 (3) 把圖把圖6.25(b)、圖、圖6.25(c)兩種情況疊加，就得到如圖兩種情況疊加，就得到如圖6.25(d)所示最后的桿端彎矩。所示最后的桿端彎矩。 計(jì)算過程通常在梁的下方列表中進(jìn)行。詳細(xì)的計(jì)算過程如下：計(jì)算過程通常在梁的下方列表中進(jìn)行。詳細(xì)的計(jì)算過程如下： (1) 計(jì)算結(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)點(diǎn)b 處各端的彎矩分配系數(shù)。為方便計(jì)算，令處各端的彎矩分配系數(shù)。為方便計(jì)算，令 ，則，則iab=1，ibc=2 。16eii 4 124 123214 123babc 將

59、分配系數(shù)寫在圖將分配系數(shù)寫在圖6.25(a)下的表中第一行內(nèi)。下的表中第一行內(nèi)。 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.41力矩分配法力矩分配法 (2) 計(jì)算固端彎矩。由表計(jì)算固端彎矩。由表6-1得：得： 22180660kn m8180660kn m81106120kn m3110660kn m6fabfbafbcfcbmmmm 將此值寫在圖將此值寫在圖6.25(a)下的表中第二行內(nèi)。下的表中第二行內(nèi)。 (3) 進(jìn)行彎矩分配和傳遞。結(jié)點(diǎn)進(jìn)行彎矩分配和傳遞。結(jié)點(diǎn)b 處約束力矩為：處約束力矩為：60( 120)60kn mbbjbmm 將其反號(hào)并乘以分配系數(shù)即得到各近端的分配力矩，再將分配力矩乘以各桿的傳遞系

60、數(shù)即得將其反號(hào)并乘以分配系數(shù)即得到各近端的分配力矩，再將分配力矩乘以各桿的傳遞系數(shù)即得到各遠(yuǎn)端的傳遞力矩。到各遠(yuǎn)端的傳遞力矩。 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算6.422()6040kn m31()6020kn m314020kn m21 2020kn mbababbcbcbcabbabaccbbcbcmmmmmcmmcm 力矩分配法力矩分配法 在分配力矩下面劃一橫線，表示結(jié)點(diǎn)已經(jīng)放松，達(dá)到平衡，將這些值寫在圖在分配力矩下面劃一橫線，表示結(jié)點(diǎn)已經(jīng)放松，達(dá)到平衡，將這些值寫在圖6.25(a)下的表中下的表中第三行內(nèi)。第三行內(nèi)。 (4) 計(jì)算桿端最終彎矩值，并繪制計(jì)算桿端最終彎矩值，并繪制m、q 圖。將圖圖。