39：規(guī)律與探索

1、2011年全國各省市中考數(shù)學(xué)試題分類匯編39：規(guī)律與探索按住ctrl鍵 點(diǎn)擊查看更多屮考數(shù)學(xué)資源 一選擇題1（2011浙江省，10, 3分）如圖，下面是按照一定規(guī)律畫出的“數(shù)形圖”，經(jīng)觀察可以 發(fā)現(xiàn)：圖a2比圖ai多出2個(gè)“樹枝”，圖as比圖短多出4個(gè)“樹枝”，圖aj匕圖a：；多出 8個(gè)“樹枝”，照此規(guī)律，圖血比圖a?多出“樹枝”（）a. 28b. 56c. 60 d. 124a |4j兒« 10*8【答案】c3（2011廣東榮慶，15, 3分）如圖5所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊 上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則笫幾（是大于0的整數(shù)）個(gè)圖形需要黑色棋了的個(gè)數(shù) 是 【答案】

2、nn + 2）4（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，18, 4分）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細(xì)觀察，第n個(gè)圖形有個(gè)小圓.（用含n的代數(shù)式表示）ooooooo0ooo oo o oo°oooooooooooooooooo 0 oooq oo ooo oo ooo° 0第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形第18題圖【答案】“（" + 1） + 4或斤2+斤+ 4201xfk5.觀察卜-列算式:1湖南益陽，16, 8分）15 16 = -11 x3 2?=3 4 =1 2x4 32=8 9 =1（1）諳你按以上規(guī)律寫出第4個(gè)算式;(2) 把這個(gè)規(guī)律用含字母

3、的式子表示出來；(3) 你認(rèn)為(2)中所寫出的式子一定成立嗎？并說明理由.【答案】解：(1)4x6-52 = 24-25 = -1 ；(2)答案不唯一.女口 n(n + 2)-(n + l)2 =-1 ；(3) /z(/? + 2)-(n + l)" = n2 +2/7 -(/z2 +2/? + 1)=m2 4- 2n-n2 -2/?-l= -l.6. (2011廣東汕頭，20, 9分)如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)白然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.12j4561klam12hn珂2x)2122th zj2v卸31329 h 23 331624 1$34 3s 36(1) 表中第8行

4、的最后一個(gè)數(shù)是,它是占然數(shù)的平方，第8行共有個(gè)數(shù);(2) 用含n的代數(shù)式表示：第h行的第一個(gè)數(shù)是,最后一個(gè)數(shù)是,第n行共有個(gè)數(shù)；(3) 求第n行各數(shù)之和.【解】(1) 64, 8, 15；(2 ) (71 1) + 1 , h" f 2/1 1;(3)第2行各數(shù)z和等于3x3；第3行各數(shù)z和等于5x7；第4行各數(shù)z和等于7x7-13； 類似的,第n行各數(shù)之和等于(2n -l)(n2-n + l) = 2n3-3n2+ 3n-l.二填空題1. (2011四川綿陽18, 4)觀察上面的圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第個(gè)圖形共有120個(gè)。 r* h 第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖

5、形第4個(gè)圖形【答案】152. (2011廣東東莞，1(), 4分)如圖(1),將一個(gè)正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個(gè)正六角星形 afbdce,它的面積為1,取abc和adef各邊屮點(diǎn)，連接成正六角星形人舊如圖（2）屮陰影部分；取厶a/3/c/和各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形a2f2b2d2c2e2f2，如圖（3）中陰影部分；如此下去，則正六角星形anfnbndncnetlfn的面積為.【答案】右3. （2011湖南常徳，8, 3分）先找規(guī)律，再填數(shù)：1111 1111 1111 111 "" - aaaemamcn （asa）。am二mn.（2）若將試題中的“正三角形abc”改為“正

6、方形adcd” （如圖）,n堤zdicipi的平分線上 一點(diǎn)，則當(dāng)zaimini=90°吋，結(jié)論aimi=mini是否還成立？（直接給出答案，不需要證明）（3）若將題中的“正三角形abc”改為“正多邊形aagdfxn”,請你猜想:當(dāng)zanma=°時(shí)，結(jié)論am二仍然成立？ （肓接寫出答案，不需要證明）【答案】解：（1） z5=zmcn, ae=mc, z2=z1； - 1122,3 4 212、 6 33（/7 8 456,2011 2012"2011x2012【答案】i10064. （2011廣東湛江20,4分）已知：4? = 3x2 = 6, a； =5x4x3

7、 = 60,= 5x4x3x2 = l 20, a： = 6x5 x4x 3 = 360,，觀察前面的計(jì)算過程，尋找計(jì)算規(guī)律計(jì)算掲=（直接寫出計(jì)算結(jié)果），并比較&強(qiáng)（填“”或或“=”）【答案】三解答題1. （2011山東濟(jì)寧，18, 6分）觀察下面的變形規(guī)律：1 _1 111 1111x22 '2x323' 3x434'解答下而的問題：【答案】(1) 1分n n + (2)證明：77 + 1 - = " + i =i 3 分n n +1 n(n +1) n(n +1)n(/? + l) n(/? + 1)(3)原式=1-2233420092010-1

8、1 =2010=黑5分2. （2011湖南邵陽，23, 8分）數(shù)學(xué)課堂上,徐老師出示了一道試題:如圖（十）所示，在正三角形abc中，m是bc邊（不含端點(diǎn)b, c）上任意一點(diǎn)，p是 bc延長線上一點(diǎn)，n是zacp的平分線上一點(diǎn)，若zamn=60° ,求證：am二mn。（1）經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的證明過程，請你將證明過程補(bǔ)充完整。vzl=180° -zamb-zamn, z2=180° -zamb -zb, zamn=zb=60° ,az1 = z2.乂tcn、平分zacp, az4=-zacp=60°。2a.zmcn=z3+z4=120&

9、#176; 。又 j ba=bc, ea=mc,ba-e.a二bc-mc,即 be=bm。abem為等邊三角形，.z6=60o。az5=10° -z6=120° o 由得zmcn=z5.在aaem和amcn中，(2) 結(jié)論成立；(3) -xl80°on3(2011 四川成都，23, 4 分)設(shè)s=l + , s2=l h h7,s”=t1+ (兀 + 1)2設(shè) s =+ y/2 + +，則 s二（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正1223整數(shù)）.【答案】n2 +2nn + l以十存侖十-右ex侖”侖+2x侖z +占）宀占+ "舟）"心治）n2 +

10、2nn +1接下去利用拆項(xiàng)法一-=-一 即可求和.（川 + 1） n n + 14. (2011四川內(nèi)江,加試5, 12分)同學(xué)們,我們曾經(jīng)研究過nxn的正方形網(wǎng)格,得到了 網(wǎng)格屮正方形的總數(shù)的表達(dá)式為l2+22+32+-+n2.但n為100時(shí)，應(yīng)如何計(jì)算正方形的具體 個(gè)數(shù)呢?下面我們就一起來探究并解決這個(gè)問題.首先，通過探究我們己經(jīng)知道ox 1 + 1x2+2x3+(nl)xn= n(n+l)(n一1)時(shí),我們可以這樣做:3(1) 觀察并猜想：l2+22=(l+0)x l+(l + l)x2=l+0x 1+2+1 x2=(1+2)+(0x 1 + 1x2)12+22+32=(l+0)x 1+

11、(1+1)x2+(1+2)x3= 1+0x1+2+1x24-3+2x3=(1 +2+3)+(0 x1 + 1x2+2x3)12+22+32+42=( 1 +0) x 1 +(1 +1) x 2+( 1 +2) x 3+=1+0 x1+2+1x 2+3+2 x 3+=(1 +2+3+4)+()(2) 歸納結(jié)論:12+22+32+n2=( 1 +0) x 1 +(1 +1) x 2+( 1 +2) x 3+- + 1 +(n1 )n= l+0x 1+2+1 x 2+3+2 x3+n+(n l)xn=() +11=+1=x6(3) 實(shí)踐應(yīng)用：通過以上探究過程，我們就可以算出當(dāng)n為10()時(shí)，正方形網(wǎng)

12、格屮正方形的總個(gè)數(shù)是【答案】(1+3) x44+3x40x1 + 1x2+2x3+3x4l+2+3+n0x 1 + 1 x2+2x3+(n-l)xn nn +1)21n(n+l)(n1)3n(n+l)(2n+l)5. (2011廣東東莞，20, 9分)如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.1 1a+方）1（+/?）21（+方）3(1) 根據(jù)上面的規(guī)律，寫出(d+疔 的展開式。(2) 利用上而的規(guī)律計(jì)算：25 -5x24 + 10x23 -10x22 +5x2-1【答案】解：(1)(tz + b)5 = a5 + sab +10«3/?2 + lotz2/?3

13、 + 5ab4 + b5(2)原式=25+5x24x(-1) + 10x23x(-1)24-10x22x(-1)3+5x2x(-1)4+(-1)5= (2-l)5=1注：不用以上規(guī)律計(jì)算不給分.7. (2011四川涼山州，20,7分)如圖，e、f是平行四邊形abcd的對角線ac上的點(diǎn), ce = af，請你猜想：線段be與線段df有怎樣的關(guān)系？并對你的猜想加以證明。20題圖【答案】猜想：be壘df。證明：i四邊形abcd是平行四邊形，z. cb = ad, cb / adzbce = daf在和d4fcb = ad.< zbce = zdafce = afbce 竺d4f be = df

14、 , zbec = zdfa:.be / df即 bedf o（1）若八為正整數(shù)，請你猜想一'=n（n +1）（2）證明你猜想的結(jié)論；（3） 求和： + +1x22x33x42009x2010(1)表中笫8行的最后一個(gè)數(shù)是,它是口然數(shù)的平方，第8行共有個(gè)數(shù);(2)用含n的代數(shù)式表示：笫n行的笫一個(gè)數(shù)是,授后一個(gè)數(shù)是,第n行共有個(gè)數(shù)；(3) 求第行各數(shù)之和.【解】(1) 64, 8, 15；（2 ） （72 i）? + 1 ,2/1 1 ;(3)第2行各數(shù)之和等于3x3；第3行各數(shù)之和等于5x7；第4行各數(shù)之和等于7x7-13； 類似的,第n行各數(shù)之和等于(2n- l)(n1 2-n + l) = 2n3 -3n2 + 3n -16(2011四川涼山州，19, 6分)我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，