勾股定理易錯題分析

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載勾股定理易錯題分析勾股定理是初中幾何的重要知識，是幾何中的常用工具。初學(xué)時，很多同學(xué)常易犯各種各樣的錯誤。下面僅選擇幾例，供同學(xué)們參考和借鑒，以免犯這類錯誤。【例 1】在 Rt ABC 中， a=3 ， b=4 ，求 c錯解由勾股定理，得c=a2b2 =4232 =5診斷這里默認了C 為直角其實，題目中沒有明確哪個角為直角，當(dāng)b a時， B 可以為直角，故本題解答遺漏了這一種情況當(dāng) B 為直角時， c=b2a2 =4232 =7【例 2】已知RT ABC 中， B=RT ,a=2 ,c= 22 ,求 b.錯解由勾股定理，得B= c2a2 = (2 2) 2( 2)2= 6診斷這

2、里錯在盲目地套用勾股定理“a2 b2=c2”殊不知，只有當(dāng) C=Rt 時， a2 b2=c 2 才能成立，而當(dāng) B=Rt 時，則勾股定理的表達式應(yīng)為a2 c2=b 2正確解答 B=Rt ，由勾股定理知a2 c2=b 2 b= c2a2 = (2 2) 2( 2)2= 10【例 3】若直角三角形的兩條邊長為6cm、 8cm，則第三邊長為_ 學(xué)習(xí)必備歡迎下載錯解設(shè)第三邊長為xcm 由勾股定理，得x2=6 2 82x=6282 =3664 =10即第三邊長為10cm診斷 這里在利用勾股定理計算時，誤認為第三邊為斜邊，其實題設(shè)中并沒有說明已知的兩邊為直角邊，所以第三邊可能是斜邊，也可能是直角邊正確解法

3、設(shè)第三邊長為xcm 若第三邊長為斜邊，由勾股定理，得x=6282 =3664 =10(cm)若第三邊長為直角邊，則8cm 長的邊必為斜邊，由勾股定理，得x=8262 =28 = 2 7 (cm)因此，第三邊的長度是10cm 或者 27 cm.【例 4】如圖，已知Rt ABC 中， BAC=90 °， AD 是高， AM 是中線，且1233 )cm. 求 AD AM= BC=AD. 又 RT ABC 的周長是 (6+223錯解 ABC 是直角三角形，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 AC:AB:BC=3:4:5 AC AB BC=3 4 5 AC=3(6+23 )=332124(6+23623AB=)

4、=3125(6+21553BC=3 )=612又 1ACAB =1BC AD22AC AB33623=23 AD=1553BC6(33)2(33)=5(33)2= (3+ 3 )(cm)5診斷我們知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三邊關(guān)系的一種特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三邊關(guān)系上述解法犯了以特殊代替一般的錯誤正確解法 AM= 23 AD3MD=(23AD)2AD 2 =3 AD33學(xué)習(xí)必備歡迎下載又 MC=MA ， CD=MD 點 C 與點 M 關(guān)于 AD 成軸對稱 AC=AM ， AMD=60 ° = C B=30 ° ,AC= 1BC,AB=3BC22 A

5、C+AB+BC=1BC+3BC+BC=6+2 3 .22 BC=4 12 31 BCBC=AD, AD=2= 3(cm)23233【例 5】在 ABC 中， a b c=9 15 12， 試判定 ABC 是不是直角三角形錯解依題意，設(shè)a=9k ， b=15k ， c=12k(k 0) a2 b2=(9k) 2 (15k) 2=306k 2， c2=(12k) 2=144k 2， a2 b2 c2 ABC 不是直角三角形診斷 我們知道“如果一個三角形最長邊的平方等于另外兩邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形”而上面解答錯在沒有分辨清楚最長邊的情況下，就盲目套用勾股定理的逆定理正確解法由題意知b

6、 是最長邊設(shè)a=9k， b=15k ， c=12k(k 0) a2 c2=(9k) 2 (12k) 2=81k 2 144k 2=225k 2 b2=(15k) 2=225k 2， a2 c2 =b2學(xué)習(xí)必備歡迎下載 ABC 是直角三角形【例 6】已知在 ABC 中， AB AC ， AD 是中線， AE 是高求證： AB 2 AC 2=2BC ·DE 錯證如圖 AE BC 于 E，AB 2=BE 2AE 2，AC 2=EC2 AE 2 AB 2 AC 2=BE 2 EC2=(BE EC) · (BE EC)=BC · (BE EC) BD=DC ， BE=BC

7、EC=2DC EC2 2 AB AC =BC · (2DC EC EC)=2BC · DE 診斷題設(shè)中既沒明確指出ABC 的形狀，又沒給出圖形，因此，這個三角形有可能是銳角三角形，也可能是直角三角形或鈍角三角形所以高AE 既可以在形內(nèi)，也可以與一邊重合，還可以在形外，這三種情況都符合題意而這里僅只證明了其中的一種情況，這就犯了以偏概全的錯誤。剩下的兩種情況如圖所示。學(xué)習(xí)必備歡迎下載，正確證明由讀者自己完成【例 7】已知在ABC 中，三條邊長分別為a， b， c， a=n，n2n24b=-1,c=(n 是大于 2 的偶數(shù) )。求證 : ABC 是直角三角形。44錯證 1 n 是大于 2 的偶數(shù)，取n=4 ，這時a=4 ， b=3 ， c=5 222 3222， a b =4=25=5=c ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理)由勾股定理知ABC 是直角三角形正解 a2+b2=n