68多元函數(shù)微分學習題課

1、第六章第六章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 習題課習題課平面點集平面點集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運運 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質的性質多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念一、主要內容一、主要內容全微分全微分的應用的應用高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導法則求導法則復合函數(shù)復合函數(shù)求導法則求導法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性微分法在微分法在幾何上的應用幾何上的應用方向導數(shù)方向導數(shù)多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值全微分全微分概念概念偏導數(shù)偏導數(shù)概念概念定義定義 設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某一鄰的某一鄰域內有

2、定義，當域內有定義，當y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應地函數(shù)有增量時，相應地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對x的的偏導數(shù)，記為偏導數(shù)，記為7 7、偏導數(shù)概念、偏導數(shù)概念同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導數(shù)，的偏導數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxf

3、y.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.、高階偏導數(shù)、高階偏導數(shù)),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義定義 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)導數(shù). 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oybxaz ，其中，其中 a,b 不依賴于不依賴于yx ,而僅與

4、而僅與yx,有關，有關，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，ybxa 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分，記為全微分，記為dz，即，即 dz=ybxa .、全微分概念、全微分概念多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)可導函數(shù)可導1010、全微分的應用、全微分的應用,),(),(yyxfxyxfdzzyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小時時當當,yx 主要方面主要方面:近似計算與誤差估計近似計算與誤

5、差估計.1111、復合函數(shù)求導法則、復合函數(shù)求導法則定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點都在點t可可導，函數(shù)導，函數(shù)),(vufz 在對應點在對應點),(vu具有連續(xù)偏導具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)數(shù)，則復合函數(shù))(),(ttfz 在對應點在對應點t可可導，且其導數(shù)可用下列公式計算：導，且其導數(shù)可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的導數(shù)以上公式中的導數(shù) 稱為稱為dtdz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導導數(shù)數(shù)，且且函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對對應應點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)

6、，則則復復合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 在在對對應應點點),(yx的的兩兩個個偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .小結一小結一:二重極限的計算方法二重極限的計算方法: :1 1 夾逼準則夾逼準則. .2 2 利用有界與無窮小的乘積仍是無窮小利用有界與無窮小的乘積仍是無窮小. .3 3 作變量代換化為一元函數(shù)的極限形式作變量代換化為一元函數(shù)的極限形式.證明二重極限不存在的方法證明二重極限不存在的方法: :1 1 取某一路徑取某一路徑, ,極限不存在極限不存在. .2 2 取兩條不同路徑取兩條不同路徑, ,極限存在但

7、不相等極限存在但不相等. .小結二小結二:小結三小結三:,.,.3( , , ),.yxzzxyzffzzxfyfzzxydf x y zf dxf dyf dzozzxy 由一個方程確定的隱函數(shù)的求導法:1 公式法:f(x,y,z)確定了z=z(x,y),則2 解方程法:方程兩邊同時對x或者y求導,由復合函數(shù)求導法則解出微分法:得到1414、微分法在幾何上的應用、微分法在幾何上的應用切線方程為切線方程為.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zztyytxxt (1)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面).(),(),(:

8、tztytx ()曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線. 0),(: zyxf 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx法線方程為法線方程為.),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx 1515、方向導數(shù)、方向導數(shù).),(),(lim0 yxfyyxxflf 的方向導數(shù)的方向導數(shù)沿方向沿方向則稱這極限為函數(shù)在點則稱這極限為函數(shù)在點在，在，時，如果此比的極限存時，如果此比的極限存趨于趨于沿著沿著當當之比值，之比值，兩點間的距離兩點間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量定義定義lppl

9、pyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxp是可微分是可微分的，那末函數(shù)在該點沿任意方向的，那末函數(shù)在該點沿任意方向 l l 的方向導數(shù)都的方向導數(shù)都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 為為x軸到方向軸到方向 l l 的轉角的轉角.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函數(shù)方向導數(shù)的定義三元函數(shù)方向導數(shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）定義定義 設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內具有內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一

10、點dyxp ),(，都可定出一個向量都可定出一個向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxp的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .梯度的概念梯度的概念 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致向與取得最大方向導數(shù)的方向一致,而它的模為方而它的模為方向導數(shù)的最大值梯度的模為向導數(shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.梯度與方向導數(shù)的關系梯度與方向導數(shù)的關系1616、多元函數(shù)的極值、多元函數(shù)的極值 設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00

11、yx的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義，對對于于該該鄰鄰域域內內異異于于),(00yx的的點點),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有 極極 大大 值值 ； 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值；定義定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導數(shù)，且具有偏導數(shù)，且在點在點),(00yx處有

12、極值，則它在該點的偏導數(shù)必處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件 定義定義一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為多元一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為多元函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點.極值點極值點注意注意駐點駐點定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內連續(xù)，的某鄰域內連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令ayxfxx ),(00，byxfxy ),(00，cyxfyy

13、 ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 bac時有極值，時有極值， 當當0 a時有極大值，時有極大值， 當當0 a時有極小值；時有極小值；（2 2）02 bac時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 bac時可能有極值時可能有極值. .求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求出二階偏導數(shù)的值求出二階偏導數(shù)的值cba、.第三步第三步

14、 定出定出2bac 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點點，先先構構造造函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxfyxf ，其其中中 為為某某一一常常數(shù)數(shù)，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點點的的坐坐標標.條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值二、典型例題二、典型例題例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求極限

15、求極限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價于等價于則則yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故( , , ),( , ),( , ),( ),.uf x y z zg x yyh x tdutxdx例3 設求22222222sin(),0( , )0,0( , )(0,0)xyxyxyf x yxyxyf x y例2 設函數(shù)討論在的可微性.2,.yztxzuuue dtxy例4 已知求和 35,1,1,1,11(1,1)2,(1,1)3,( ,( , ).( )1.zf x yf

16、ffxf x f x xxydx xdx例 設函數(shù)在點處可微 且求32226(-cos )(1sin3),axyyx dxbyxx ydyab例 已知為某二元函數(shù)的全微分 則 和 的值分別為多少?2222222212,.xyuvxyuvuuvvxxxx例7 從方程組中求例例8 8解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)設設)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfx

17、xfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一階連續(xù)偏導數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù)設設 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得的的導導數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0, 0,. 0),(, 0),()

18、,()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu試求試求且且所確定所確定由方程組由方程組設函數(shù)設函數(shù) 的的函函數(shù)數(shù)都都看看成成是是以以及及將將方方程程組組的的變變元元xzyu,得得求導求導方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入解解?,),(0000222222模模此方向導數(shù)等于梯度的此方向導數(shù)等于梯度的具有什么關系時具有什么關系時的方向導

19、數(shù)，問的方向導數(shù)，問的向徑的向徑處沿點處沿點在點在點求求cbarzyxmczbyaxu 例例5 5 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 處的方向導數(shù)為處的方向導數(shù)為在點在點 m coscoscos0mmmmzuyuxuru 002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 處的梯度為處的梯度為在點在點 mkzujyuixugradummmm ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgradum ,時時當當cba ,

20、22222000zyxagradum ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxarum ,0mmgraduru .,模模此此方方向向導導數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的相相等等時時故故當當cba之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉拋物面求旋轉拋物面2222 zyxyxz例例6 6解解.2261,022,),(22 zyxddzyxpyxzzyxp的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點上任一點為拋物面為拋物面設設分析分析:最小最小即即且使且使?jié)M足滿足，使得，使得本題變?yōu)榍笠稽c本題變?yōu)榍笠稽c)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxz

21、yxp),()22(61),(222yxzzyxzyxf 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxfyzyxfxzyxfzyx .81,41,41 zyx解此方程組得解此方程組得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一駐點即得唯一駐點處取得最小值處取得最小值駐點，故必在駐點，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根據(jù)題意距離的最小值根據(jù)題意距離的最小值)81,41,41(2250-24(1)(1, 2),?(2)?(3)?(4)?vxy例1 設某金屬板上的電壓分布為在點處 沿哪個方向電壓

22、升高得最快沿哪個方向電壓下降得最快上升或下降的速率各為多少沿哪個方向電壓變化得最慢222222xyzabc例2 試求正數(shù) 的值,使得曲面xyz= 與曲面+=1在某一點相切.,1212112212例3 某廠家生產一種產品同時在兩個市場銷售,售價分別為p 和p ,銷售量分別為q 和q需求函數(shù)分別為q =24-0.2p ,q =10-0.5p ,總成本c=35+40(q +q ),試問廠家如何確定兩個市場的售價,能使其獲得總利潤最大?最大利潤為多少?222222,12 ,.xya bxyyab例4 試求的值 使得橢圓包含圓并且面積為最小一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 二元函數(shù)二元函數(shù)22221

23、arcsin4lnyxyxz 的定義的定義 域是域是( ).( ). （a a）4122 yx； （b b）4122 yx； （c c）4122 yx； （d d）4122 yx. . 2 2、設、設2)(),(yxyxxyf , ,則則 ),(yxf( ).( ). （a a）22)1(yyx ； （b b） 2)1(yyx ； （c c） 22)1(xxy ； （d d） 2)1(yxy . .測測 驗驗 題題 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ).( ). (a) 0 (a) 0 ； (b) 1 (b) 1 ； (c) 2 (c) 2 ； (d) (d) e . . 4 4

24、、函數(shù)、函數(shù)),(yxf在點在點),(00yx處連續(xù)處連續(xù), ,且兩個偏導數(shù)且兩個偏導數(shù) ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在該點可微在該點可微 的的( ).( ). （a a）充分條件）充分條件, ,但不是必要條件；但不是必要條件； （b b）必要條件）必要條件, ,但不是充分條件；但不是充分條件； （c c）充分必要條件；）充分必要條件； （d d）既不是充分條件）既不是充分條件, ,也不是必要條件也不是必要條件. . 5 5、設、設),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 則在原點則在原點)0 , 0(處處),(yxf( ).( )

25、. (a) (a)偏導數(shù)不存在；偏導數(shù)不存在； (b) (b)不可微；不可微； (c) (c)偏導數(shù)存在且連續(xù)；偏導數(shù)存在且連續(xù)； (d) (d)可微可微 . . 6 6、設、設),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二階連續(xù)偏具有二階連續(xù)偏 導數(shù)導數(shù). .則則 22yz( ).( ). (a) (a)222yvvfyvyvf ； (b) (b)22yvvf ； (c) (c)22222)(yvvfyvvf ； (d) (d)2222yvvfyvvf . . 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面與三個坐標面所圍的切平面與三個坐標面所圍 成的四面體的體積成的四面體的體積 v=

26、( ).v=( ). (a) (a) 323a； (b) (b) 33a； (c) (c) 329a； (d) (d) 36a. . 8 8、二元函數(shù)、二元函數(shù)33)(3yxyxz 的極值點是的極值點是( ).( ). (a) (1,2) (a) (1,2)； (b) (1.-2 (b) (1.-2 ) )； (c) (-1,2) (c) (-1,2)； (d) (-1,-1). (d) (-1,-1). 9 9、函數(shù)、函數(shù)zyxusinsinsin 滿足滿足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的條件極值是的條件極值是 ( ).( ). (a) 1 (a) 1 ； (b) 0 (b) 0 ；

27、 (c) (c) 61 ； (d) (d) 81 . . 10 10、設函數(shù)、設函數(shù)),(),(yxvvyxuu 在點在點),(yx的某鄰的某鄰 域內可微分域內可微分, ,則則 在點在點),(yx處有處有 )(uvgrad( ).( ). .)(;)(;)(;)(graduvdgradvucgraduvgradvubgradvgradua 二、討論函數(shù)二、討論函數(shù)33yxyxz 的連續(xù)性，并指出間斷點類型的連續(xù)性，并指出間斷點類型. .三、求下列函數(shù)的一階偏導數(shù)三、求下列函數(shù)的一階偏導數(shù): : 1 1、yxzln ； 2 2、),(),(yxzxyzxyxfu ； 3 3、 000),(2222222yxyxyxyxyxf . .四、設四、設),(zxfu , ,而而),(yxz是由方程是由方程)(zyxz 所所 確的函數(shù)確的函數(shù), ,求求du . .五五、設設yxeuyxuz ),(, ,其其中中f具具有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階偏偏導導 數(shù)數(shù), ,求求yxz 2. .六、六、 設設uvzveyvexuu ,sin,cos, ,試求試求xz 和和yz . .七、七、 設設x軸 正 向 到 方 向軸 正 向