級(jí)(上)第18次課第三節(jié)泰勒公式課件

1、上一頁(yè)下一頁(yè)返回第三節(jié)第三節(jié) 泰勒公式泰勒公式一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、近似多項(xiàng)式和余項(xiàng)二、近似多項(xiàng)式和余項(xiàng)三、泰勒中值定理三、泰勒中值定理四、簡(jiǎn)單的應(yīng)用四、簡(jiǎn)單的應(yīng)用五、小結(jié)五、小結(jié)上一頁(yè)下一頁(yè)返回一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出1 1. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù), ,則則有有2 2. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則有有例例如如, , 當(dāng)當(dāng)x很很小小時(shí)時(shí), , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下圖）（如下圖）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 上一頁(yè)下一頁(yè)返

2、回xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 上一頁(yè)下一頁(yè)返回不足不足:問(wèn)題問(wèn)題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤誤差差 )()()(xPxfxR 可可估估計(jì)計(jì)1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計(jì)。、誤差不能估計(jì)。設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到 )1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,)(xP為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù) nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤誤差差 )()()(xPxfxRnn 上一頁(yè)下一頁(yè)返回0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 x

3、fxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好近似程度越來(lái)越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 x上一頁(yè)下一頁(yè)返回),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 上一頁(yè)下一頁(yè)返回三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值

4、值定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的某某個(gè)個(gè)開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)內(nèi)時(shí)時(shí), , )(xf可可以以表表示示為為)(0 xx 的的一一個(gè)個(gè)n次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式與與一一個(gè)個(gè)余余項(xiàng)項(xiàng))(xRn之之和和: : 上一頁(yè)下一頁(yè)返回證明證明: : 由由假假設(shè)設(shè), ,)(xRn在在),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且兩兩函函數(shù)數(shù))(xRn及及10)( nxx在在以以0 x及及x為為端端點(diǎn)點(diǎn)的的區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, ,得得)()(1()(0011之之間間

5、與與在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn上一頁(yè)下一頁(yè)返回如如此此下下去去, ,經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò))1( n次次后后, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR )()(1()(1021022之之間間與與在在 xxnnRnn 上一頁(yè)下一頁(yè)返回 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開(kāi)開(kāi)的的 n n 次次近近似似多多項(xiàng)項(xiàng)式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0

6、xx 的冪展開(kāi)的的冪展開(kāi)的 n n 階泰勒公式階泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 則由上式得則由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 證畢證畢上一頁(yè)下一頁(yè)返回拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng))()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾余項(xiàng)皮亞諾余項(xiàng)0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即當(dāng)當(dāng)(1)( )nfx 有界有界上一頁(yè)下一頁(yè)返回注意注意: :1 1. . 當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,泰泰勒勒公公式式

7、變變成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項(xiàng)則余項(xiàng) 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 此時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式此時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式上一頁(yè)下一頁(yè)返回)(!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式上一頁(yè)下一頁(yè)返回四、簡(jiǎn)單的應(yīng)用四、簡(jiǎn)單的應(yīng)用解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffff,) ()1(xn

8、exf 注注意意到到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe上一頁(yè)下一頁(yè)返回由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計(jì)誤差估計(jì)誤差)0( x設(shè)設(shè)!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR上一頁(yè)下一頁(yè)返回 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxx

9、xx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 上一頁(yè)下一頁(yè)返回例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式上一頁(yè)下一頁(yè)返回xy xysin 播放播放五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁(yè)下一頁(yè)返回泰勒展開(kāi)式播放泰勒展開(kāi)式播放2 2. .T Taylo

10、raylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回思考題思考題利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限30sin(1)limxxexxxx上一頁(yè)下一頁(yè)返回思思考考題題解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30sin(1)limxxexxxx23333301()()(1)2!3!3!limxxxxxo xxo xxxx 33330()2!3!limxxxo xx 61 上一頁(yè)下一頁(yè)返回xy xysin 五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁(yè)下一頁(yè)返回x

11、y xysin ! 33xxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁(yè)下一頁(yè)返回xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁(yè)下一頁(yè)返回xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁(yè)下一頁(yè)返回xysin !11! 9!7! 5!

12、 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2.

13、.T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁(yè)下一頁(yè)返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼