定積分的計(jì)算

1、一、教學(xué)目標(biāo)：1. 理解定積分的基本概念并能利用定積分的幾何意義解決一些簡(jiǎn)單的積分計(jì)算問(wèn)題.2. 理解微積分的基本定理，并會(huì)用定積分公式解決簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分問(wèn)題.二、知識(shí)要點(diǎn)分析1. 定積分的概念：函數(shù)在區(qū)間a，b上的定積分表示為：2. 定積分的幾何意義：（1）當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上恒為正時(shí)，定積分的幾何意義是：y=f（x）與x=a，x=b及x軸圍成的曲邊梯形面積，在一般情形下.的幾何意義是介于x軸、函數(shù)f（x）的圖象、以及直線x=a，x=b之間的各部分的面積代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號(hào)，x軸下方的面積取負(fù)號(hào).在圖（1）中：，在圖（2）中：，在圖（3）中：表示函數(shù)y=f（x）圖象及直線

2、x=a，x=b、x軸圍成的面積的代數(shù)和.注：函數(shù)y=f（x）圖象與x軸及直線x=a，x=b圍成的面積不一定等于，僅當(dāng)在區(qū)間a，b上f（x）恒正時(shí)，其面積才等于.3. 定積分的性質(zhì)，（設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間a，b上可積）（1）（2），（k為常數(shù)）（3） （4）若在區(qū)間a，b上，推論：（1）若在區(qū)間a，b上，（2）（3）若f（x）是偶函數(shù)，則，若f（x）是奇函數(shù)，則4. 微積分基本定理：一般地，若注：（1）若則F（x）叫函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上的一個(gè)原函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義知：F（x）+C也是f（x）的原函數(shù)，求定積分的關(guān)鍵是求f（x）的原函數(shù)，可以利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

3、法則從反方向求F（x）.（2）求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)的運(yùn)算互為逆運(yùn)算.【典型例題】知識(shí)點(diǎn)一：定積分的幾何意義例1根據(jù)推斷：求直線x=0，x=，y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形面積下列結(jié)論正確的是（ ）A面積為0B曲邊梯形在x軸上方的面積大于在x軸下方的面積C曲邊梯形在x軸上方的面積小于在x軸下方的面積D曲邊梯形在x軸上方的面積等于在x軸下方的面積題意分析：本題考查定積分的幾何意義，注意與y=sinx及直線x=a，x=b和x軸圍成的面積的區(qū)別.思路分析：作出函數(shù)y=sinx在區(qū)間0，內(nèi)的圖象及積分的幾何意義及函數(shù)的對(duì)稱性可判斷.解：對(duì)于（A）：由于直線x=0，x=，y=0和正弦曲線y=s

4、inx所圍成的曲邊梯形面積為正可判斷A錯(cuò).對(duì)于（B），（C）根據(jù)y=sinx在0，內(nèi)關(guān)于（對(duì)稱知兩個(gè)答案都是錯(cuò)誤的.根據(jù)函數(shù)y=sinx的圖象及定積分的幾何意義可知：答案（D）是正確的.解題后的思考：本題主要考查定積分的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是混淆函數(shù)y=sinx與x軸、直線x=0，x=圍成的面積等于.例2利用定積分的幾何意義，說(shuō)明下列等式的合理性（1） （2）.題意分析：本題主要考查定積分的幾何意義：在區(qū)間0，1上函數(shù)y=2x，及y=恒為正時(shí)，定積分表示函數(shù)y=2x圖象與x=0，x=1圍成的圖形的面積，表示函數(shù)y=圖象與x=0，x=1圍成的圖形的面積.思路分析：分別作

5、出函數(shù)y=2x及y=的圖象，求此圖象與直線x=0，x=1圍成的面積.解：（1）在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x的圖象及直線x=0，x=1（如圖），它們圍成的圖形是直角三角形.其面積=.由于在區(qū)間0，1內(nèi)f（x）恒為正，故.（2）由，故函數(shù)y（的圖象如圖所示，所以函數(shù)y與直線x=0，x=1圍成的圖形面積是圓面積的四分之一，又y在區(qū)間0，1上恒為正. 解題后的思考：本題主要考查利用定積分的幾何意義來(lái)驗(yàn)證函數(shù)y=2x及函數(shù)y=在區(qū)間0，1上的定積分的值，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是畫函數(shù)圖象的不準(zhǔn)確造成錯(cuò)誤的結(jié)果.例3利用定積分的幾何意義求的值.題意分析：本題考查定積分的幾何意義，的值是函數(shù)

6、的圖象與直線x=0，x=4所圍成圖形的面積.思路分析：首先把區(qū)間0，4分割為0，1，1，3，3，4，在每個(gè)區(qū)間上討論x1，x3的符號(hào)，把函數(shù)化為分段函數(shù)，再根據(jù)定積分的幾何意義求的值.解：函數(shù)化為由于函數(shù)在區(qū)間0，1，1，3，3，4都恒為正.設(shè)函數(shù)y=2x+4的圖象與直線x=0，x=1圍成的面積為S1函數(shù)y=2的圖象與直線x=1，x=3圍成的面積是S2函數(shù)y=2x4的圖象與直線x=3，x=4圍成的面積是S3由圖知：S1=S3=S2=由定積分的幾何意義知：=解題后的思考：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是定積分的幾何意義，利用其幾何意義求定積分的值，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想（把區(qū)間0，4分割，把函數(shù)y=|x1|

7、+|x3|化成分段函數(shù)）、數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用.易錯(cuò)點(diǎn)是：區(qū)間0，4分割不當(dāng)及畫函數(shù)圖象不準(zhǔn)確，造成錯(cuò)誤的結(jié)果.當(dāng)被積函數(shù)含有絕對(duì)值時(shí)，常采用分割區(qū)間把函數(shù)化為分段函數(shù)的方法求定積分的值.小結(jié)：本題主要考查定積分的幾何意義，要分清在區(qū)間a，b上f（x）恒為正時(shí)，f（x）在區(qū)間a，b上定積分值才等于函數(shù)圖象與直線x=a，x=b圍成的面積.在畫函數(shù)圖象時(shí)注意x的取值區(qū)間.當(dāng)被積函數(shù)含有絕對(duì)值時(shí)，恰當(dāng)?shù)姆指顓^(qū)間把函數(shù)畫為分段函數(shù)再求定積分的值.知識(shí)點(diǎn)二：定積分的計(jì)算例1由直線，x=2，曲線及x軸圍成的面積是（ ）A B C D2ln2題意分析：本題表面上考查定積分的幾何意義，實(shí)質(zhì)是考查定積分的基本

8、運(yùn)算，關(guān)鍵是理解所求圖形面積是定積分的值.思路分析：利用導(dǎo)數(shù)求出.再利用微積分的基本定理求.解：，=.故選（D）解題后的思考：求定積分的值關(guān)鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)求被積函數(shù)的原函數(shù)，易錯(cuò)的地方是：求被積函數(shù)的原函數(shù)有誤.例2求下列定積分的值（1） （2） （3）題意分析：本題考查定積分的基本計(jì)算，先直接求被積函數(shù)的原函數(shù)，再利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)和微積分基本定理求定積分的值.思路分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求被積函數(shù)的原函數(shù)分別是，再由微積分基本定理可求.解：（1），（2）（3），=解題后的思考：本題是定積分的簡(jiǎn)單的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，能利用求導(dǎo)的方法求原函數(shù)，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)

9、化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.易錯(cuò)點(diǎn)是求原函數(shù).要注意定積分運(yùn)算法則的應(yīng)用.例3求下列定積分的值（1）（2）題意分析：本題仍是定積分的運(yùn)算，被積函數(shù)不是我們學(xué)過(guò)的基本初等函數(shù)，要把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本的初等函數(shù).思路分析：利用三角函數(shù)的降冪公式把被積函數(shù)化為：，利用余弦的差角公式把被積函數(shù)化為：，再利用定積分的運(yùn)算法則及微積分的基本原理求.解：（1）=（2）=解題后思考：本題的解題關(guān)鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導(dǎo)數(shù)的方法求原函數(shù)，若被積函數(shù)不是初等函數(shù)要轉(zhuǎn)化為基本的初等函數(shù)，這樣便于利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，其中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.小結(jié)：本題組主要是考查定積分的計(jì)算，求被積函數(shù)的原函數(shù)是解題的關(guān)鍵，要

10、熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、公式便于求被積函數(shù)的原函數(shù)，同時(shí)對(duì)較復(fù)雜的被積函數(shù)要轉(zhuǎn)化為基本的初等函數(shù).同時(shí)注意定積分的運(yùn)算的性質(zhì)、法則的應(yīng)用.會(huì)給解題帶來(lái)很大的方便.【本講涉及的數(shù)學(xué)思想、方法】：本講主要講述定積分的幾何意義及定積分的基本運(yùn)算，在考查定積分幾何意義的知識(shí)點(diǎn)上體現(xiàn)了數(shù)與形相結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，在定積分的運(yùn)算過(guò)程中體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘，滿分60分）一、選擇題（每題5分，計(jì)30分）1設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）>0恒成立，則當(dāng)a<b時(shí)，定積分的符號(hào)是（ ）A一定是正的 B一定是負(fù)的C當(dāng)0<a<b時(shí)是正的，當(dāng)a<b<0時(shí)是負(fù)的D以上都不對(duì)2若則k=（ ）A0 B1 C0或1 D以上都不對(duì)3與定積分相等的是（ ）A B C D以上都不對(duì).4=（ ）A B C D5已知f（x）是偶函數(shù)，且，則（ ）A0 B4 C8 D166等于（ ）A B2 C D二、計(jì)算題7求下列定積分的值：（每題5分，計(jì)20分）（1） （2）（3） （4）8求定積分