2021版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4第1課時(shí)向量的數(shù)量積學(xué)案蘇教版必修4

1、第1課時(shí)向量的數(shù)量積【學(xué)習(xí)目標(biāo)丨1. 了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移 s所做的功2掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，了解其幾何意義3會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直.ET問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移 s,如圖.思考1如何計(jì)算這個(gè)力所做的功?思考2力做功的大小與哪些量有關(guān)?梳理 平面向量的數(shù)量積(1) 兩個(gè)非零向量 a和b,它們的夾角是 0，我們把數(shù)量|a| b|cos 0叫做向量a與b的(或)，記作 a b,即卩 a b= | a| b|cos 0 .(2) 我們規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 .特別提

2、醒：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，其大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角 都有關(guān)，符號(hào)由夾角的余弦值的符號(hào)決定.知識(shí)點(diǎn)二兩個(gè)向量的夾角思考 把兩個(gè)非零向量的起點(diǎn)移至同一點(diǎn)，那么這兩個(gè)向量構(gòu)成的圖形是什么？梳理兩個(gè)向量的夾角(1)定義：兩個(gè)非零向量a, b，如下圖.(作Oa a, OB b,那么/ AOB= 0，稱為向量 a與b的夾角.(2)范圍：.當(dāng)0 =時(shí)，a與b同向；當(dāng)0 =時(shí)，a與b反向. 當(dāng)0 =時(shí)，那么稱向量a與b垂直，記作a丄b.知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的幾何意義思考1什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影?思考2向量b在向量a上的投影與向量a在向量b上的投

3、影相同嗎?梳理(1)條件：向量a與b的夾角為0 .投影:向量b在a方向上的投影| b|cos 0向量a在b方向上的投影| a|cos 0(3) a b的幾何意義：數(shù)量積 a b等于 a的長(zhǎng)度| a|與的乘積.知識(shí)點(diǎn)四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律思考1向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別？思考2非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負(fù)數(shù)和零，其數(shù)量積的符號(hào)由什么來(lái)決定?梳理1數(shù)量積性質(zhì) 當(dāng)a與b同向時(shí)，a b= | a| b| ； 當(dāng)a與b反向時(shí)，a b=- | a| b| ； 當(dāng)a丄b時(shí)，a - b= 0; a a= | a|2或 | a| = a a.2數(shù)量積的運(yùn)算律a b= b a

4、；笑入a b= a 入 b = X a b=入 a b；a+ b c= a - c + b c.函題型探究類(lèi)型一 求兩向量的數(shù)量積例1|a| = 4, | b| = 5,當(dāng)a / b；a丄b； 3 a與b的夾角為30°時(shí)，分別求 a與 b的數(shù)量積.反思與感悟 求平面向量數(shù)量積的步驟是： 1求a與b的夾角0 ,0 ° , 180° ；分別求| a|和|b| ； 3求數(shù)量積，即a b = | a|b| cos 0，要特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí) a與b之間用 實(shí)心圓點(diǎn)“連結(jié)，而不能用“x連結(jié)，也不能省去.跟蹤訓(xùn)練1菱形ABC啲邊長(zhǎng)為a,Z ABC= 60° ，那么BD-

5、CD= 類(lèi)型二求向量的模n例2 | a| = | b| = 5,向量a與b的夾角為，求|a + b| , | a-b|.3引申探究假設(shè)本例中條件不變，求|2a+ b| , |a-2b|.跟蹤訓(xùn)練2 | a| = |b| = 5,且|3a 2b| = 5，求|3a+ b|的值.類(lèi)型三求向量的夾角例3 設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是 60°,求向量a= 2m+ n與b= 2n3m的夾角.反思與感悟求向量夾角時(shí)，應(yīng)先根據(jù)公式把涉及到的量先計(jì)算出來(lái)再代入公式求角，注意向量夾角的范圍是0 ,n .跟蹤訓(xùn)練3 |a| = 2|b| = 2，且a b= 1.(1)求a與b的夾角0 ；求(a 2b

6、) b； 當(dāng)入為何值時(shí)，向量入a+ b與向量a 3b互相垂直？31當(dāng)堂訓(xùn)練1. | a| = 8, |b| = 4, a, b>= 120° 那么向量 b在a方向上的投影為 .2 .設(shè)向量 a, b 滿足 | a + b| = ； 10, | a b|6，貝U a b=.3. 假設(shè) a丄b, c 與 a 及與 b 的夾角均為 60°, | a| = 1, | b| = 2, |c| = 3,那么a+ 2b c =4. 在 ABC中, |XB = 13, | EBCf = 5, | CA = 12,那么 Xb- BC的值是5. 正三角形 ABC的邊長(zhǎng)為1,求：1ab-

7、AC2Ab- Bc E3C- aCI一規(guī)律與方法.1. 兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正當(dāng)a*0, b* 0, 0°w 0 <90°時(shí)，也可以為負(fù)當(dāng)a* 0, b* 0, 90°< 0 < 180°時(shí)，還可以為 0當(dāng)a= 0 或 b= 0 或 0 = 90° 時(shí).2. 兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，與實(shí)數(shù)乘實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)乘向量的乘法運(yùn)算是 有區(qū)別的，在書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)來(lái)，絕不可混淆.3. a -b= | a|b |cos 0中，| b|cos 0和| a|cos 0分別叫做 b在a

8、方向上的投影和 a在b 方向上的投影，要結(jié)合圖形嚴(yán)格區(qū)分.4 .求投影有兩種方法1 b在a方向上的投影為| b|cos0 0為a, b的夾角，a在b方向上的投影為| a|cos 0 .b在a方向上的投影為a b|OTa在b方向上的投影為a b TbP.5.兩非零向量a, b, a丄b? a b= 0,求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式| a| = .a2.合案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考 1 W | F| s|cos e.思考2與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān).梳理數(shù)量積內(nèi)積 20知識(shí)點(diǎn)二思考角.梳理 20 ° < e < 180°30 °180°

9、;490知識(shí)點(diǎn)三 思考1如下圖，OA= a, OB= b,過(guò)B作BB垂直于直線 OA垂足為B,貝U OB=| b|cos e.| b|cose叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos e叫做向量a在b方向上的投影.思考2由投影的定義知，二者不一定相同.梳理 3 b在a的方向上的投影| b|cos e知識(shí)點(diǎn)四 思考1向量的線性運(yùn)算結(jié)果是向量，而向量的數(shù)量積是數(shù)量.思考2由兩個(gè)非零向量的夾角決定.當(dāng)0°< e V90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為正數(shù).當(dāng)e = 90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為零.當(dāng)90°V e W 180°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù).

10、題型探究例1解1a/ b,假設(shè)a與b同向，貝U e = 0°,a b= | a| b|cos 0 ° = 4x 5= 20；假設(shè)a與b反向，那么e = 180°, a b= | a| b|cos 180 ° = 4 x 5x 1 = 20.當(dāng) a丄 b 時(shí)，e = 90°,. a b= | a| b|cos 90 ° = 0.當(dāng)a與b的夾角為30°時(shí)，a b= | a| b|cos 30 ° = 4x5x -2 = 10 .3.3跟蹤訓(xùn)練12aX 1 + 9X 1 12X 2=C 2a b = (2 n+ n) (

11、2 n 3n) = m-n 6m + 2n125例 2 解 a b = | a|b |cos 9 = 5x 5x，= p.I a+ b| = : a+ b = . | a| + 2a b +1 b|=飛 y25 + 2 X 2 + 25= 5 :3.| a- b| = :' a b 2= '| a|2- 2a b +1 b|2/25= /25 2 X + 25= 5.引申探究小125解 a b= | a| b|cos 9 = 5X 5X，=,|2 a + b| = ' 2a+ b 2 = ：4| a|2 + 4a - b+ | b|2=4X 25+ 4X 25 + 25

12、 = 5百.| a 2b| = ' a 2b 2 = .：|a|2 4a - b+ 4| b|2=“： .25 4 X 2 + 4X 25= 5穆3.跟蹤訓(xùn)練 2 解 |3 a 2b| 2= 9| a|2 12a - b+ 4| b| =9X 25 12a - b + 4X 25= 325 12a - b,/ |3 a 2b| = 5 , 325 12a - b= 25,a b= 25.-13 a + b| 2= (3a+ b) 2= 9a2 + 6a - b+ b2=9X 25+ 6X 25+ 25= 400,故 |3a + b| = 20.例3解 Tl n| = | m = 1且m與n夾角是60°,1 1 m-n= | m|n |cos 60= 1 X 1 X ?| a| = |2 m+ n| = .： 2n+ n 2= ,：4X 1 + 1+ 4m-n| b| = |2 n 3n| = : 2n 3m 2 =4X 1 + 9X 1 12m-n=2 6X 1 + 2X 1 = 72.設(shè)a與b的夾角為0那么 cos 0 = a b1|allb P 7X 2又 J 0 0 ,n2 n2 n 0 =可，故a與b的夾角為33跟蹤訓(xùn)練3解J a| = 2| b| = 2,- I