數(shù)學思想方法之分類探討

1、專題13：數(shù)學思想方法之分類探討數(shù)學中的所謂分類，就是根據(jù)數(shù)學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學思想。它既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種重要的數(shù)學邏輯方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。掌握好這類問題對提高綜合學習能力會有很大幫助，它既有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神與探索精神，又有利于培養(yǎng)學生嚴謹、求實的科學態(tài)度。分類思想解題的過程（思維、動因和方法）我們把它歸納為WHDI四個方面：W即為什么要進行分類。一般地說，當我們研究的問題是下列五種的情形時可以考慮使用分類的思想方法來解決問題：（1）涉及到分類定義的概念，有

2、些概念是分類定義的，如有理數(shù)、實數(shù)、絕對值、平方根、有理式、三角形的概念等，當我們應用這些概念時就必須考慮使用分類討論的方法；（2）直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則，如有理數(shù)的大小比較法則、一元二次方程根的判別式、直線與圓的位置關系、函數(shù)的性質等，當我們應用這些受到適用范圍條件限制的定理、性質、公式、法則來解決問題時，如果在解決問題中需要突破對定理、性質、公式、法則的條件限制可以考慮使用分類討論的方法；（3）問題中含有的參變量的不同取值（如分段函數(shù)）會導致不同結果而需要對其進行分類討論；（4）幾何問題中幾何圖形的不確定而需要對其進行分類討論；（5）由數(shù)學運算引起的分類討論。H即如何進

3、行分類。首先，明確分類討論思想的三個原則：（1）不遺漏原則；（2）不重復原則；（3）同標準原則。其次，查找引起分類討論的主要原因，即上述五個主要原因的哪一種。第三，掌握分類討論思想的常用方法。分類方法一般為分區(qū)間討論法，即把參數(shù)的變化范圍（或幾何圖形中動態(tài)的變化范圍）劃分成若干個以參數(shù)特征為分界點（或幾何圖形中的端點）的小區(qū)間分別進行討論，根據(jù)題設條件或數(shù)學概念、定理、公式的限制條件確定參數(shù)(如零點，幾何圖形中的頂點)。D即正確進行逐類逐級分類討論。I即歸納小結，總結出結論。結合2012年全國各地中考的實例，我們從下面五方面探討分類方法的應用：（1）代數(shù)中涉及到分類定義概念和直接運用了分類研究

4、的定理、性質、公式、法則的應用；（2）幾何中涉及到分類定義概念和直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則的應用；（3）含有的參變量的不同取值的分類應用；（4）幾何問題中幾何圖形的不確定的分類應用；（5）由數(shù)學運算引起的分類應用。一、代數(shù)中涉及到分類定義概念和直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則的應用：典型例題：例1. （2012四川涼山4分）x是2的相反數(shù)，y=3，則xy的值是【 】A B1C或5 D1或 【答案】D?！究键c】代數(shù)式求值，相反數(shù)，絕對值?！痉治觥扛鶕?jù)相反數(shù)和絕對值的意義可求x和y的值，再代入計算：x是2的相反數(shù)，x=2。y=3，y=±3。當 x=2，y=3 時

5、，xy=23=5；當 x=2，y=3 時，xy=2（3）=1。故選D。例2. （2012湖南衡陽3分）函數(shù)中自變量x的取值范圍是【 】Ax2 Bx2 Cx2 Dx2【答案】A。【考點】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式和分式有意義的條件?！痉治觥壳蠛瘮?shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)和分式分母不為0的條件，要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須。故選A。例3.（2012湖北襄陽3分）如果關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是【 】Ak Bk且k0 Ck Dk且k0【答案】D?！究键c】一元二次方程定義和根的判別式，二次根式有意義的條件?！痉?/p>

6、析】由題意，根據(jù)一元二次方程二次項系數(shù)不為0定義知： k0；根據(jù)二次根式被開方數(shù)非負數(shù)的條件得：2k+10；根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得=2k+14k0。三者聯(lián)立，解得k且k0。故選D。例4. （2012福建泉州3分）若的函數(shù)值隨著x的增大而增大，則的值可能是下列的【 】.A . B. C.0 D.3 【答案】D?！究键c】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系?！痉治觥恳淮魏瘮?shù)的圖象有四種情況：當時， y的值隨x的值增大而增大；當時， y的值隨x的值增大而減小。 由題意得，函數(shù)函數(shù)值隨著x的增大而增大，故，可取3。故選D。練習題：1. （2012四川德陽3分）使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是【 】A. B

7、. C.且 D.一切實數(shù)2.（2012山東東營3分）方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是【 】A k1 B k1 C k>1 D k<13. （2012貴州貴陽4分）在正比例函數(shù)y=3mx中，函數(shù)y的值隨x值的增大而增大，則P（m，5）在第 象限一、幾何中涉及到分類定義概念和直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則的應用：典型例題：例1. （2012湖南長沙3分）現(xiàn)有3cm，4cm，7cm，9cm長的四根木棒，任取其中三根組成一個三角形，那么可以組成的三角形的個數(shù)是【 】A1個 B2個 C3個 D4個【答案】B?！究键c】構成三角形的三邊的條件?！痉治觥克臈l木棒的所有組合：3，4，7

8、和3，4，9和3，7，9和4，7，9，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的構成條件，只有3，7，9和4， 7，9能組成三角形。故選B。例2. （2012貴州貴陽3分）如圖，已知點A、D、C、F在同一條直線上，AB=DE，BC=EF，要使ABCDEF，還需要添加一個條件是【 】ABCA=F BB=E CBCEF DA=EDF【答案】B。【考點】全等三角形的判定。190187?！痉治觥繎萌热切蔚呐卸ǚ椒ㄖ鹨蛔鞒雠袛啵?A、由AB=DE，BC=EF和BCA=F構成SSA，不符合全等的條件，不能推出ABCDEF，故本選項錯誤；B、由AB=DE，BC=EF和B=E構成SAS，符合全等

9、的條件，能推出ABCDEF，故本選項正確；C、BCEF，F(xiàn)=BCA。由AB=DE，BC=EF和F=BCA構成SSA，不符合全等的條件，不能推出ABCDEF，故本選項錯誤；D、由AB=DE，BC=EF和A=EDF構成SSA，不符合全等的條件，不能推出ABCDEF，故本選項錯誤。故選B。例3. （2012寧夏區(qū)3分）一個等腰三角形兩邊的長分別為4和9，那么這個三角形的周長是【 】 A13 B17 C22 D17或22【答案】C?！究键c】等腰三角形的性質，三角形三邊關系。【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以

10、要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形：若4為腰長，9為底邊長，由于4+49，則三角形不存在；9為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊。這個三角形的周長為9+9+4=22。故選C。例4.（2012福建三明4分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，點P在x軸上，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有【 】A 2個 B 3個 C4個 D5個【答案】C?！究键c】等腰三角形的判定?！痉治觥咳鐖D，分OP=AP（1點），OA=AP（1點），OA=OP（2點）三種情況討論。 以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有4個。故選C。例5. （2

11、012青海西寧2分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC12，BD16，E為AD的中點，點P在x軸上移動小明同學寫出了兩個使POE為等腰三角形的P點坐標為(5，0)和(5，0)請你寫出其余所有符合這個條件的P點的坐標 【答案】（8，0），（，0）?！究键c】菱形的性質，坐標與圖形的性質，勾股定理，等腰三角形的判定?！痉治觥克倪呅蜛BCD是菱形，ACBD，OA=AC=×12=6，OD=BD=×16=8。在RtAOD中，AD=。E為AD中點，OE=AD=×10=5。當OP=OE時，P點坐標（-5，0）和（5，0）。當OE=PE時，此時點P與D點重合，

12、即P點坐標為（8，0）。如圖，當OP=EP時，過點E作EKBD于K，作OE的垂直平分線PF，交OE于點F，交x軸于點P。EKOA。EK：OA=ED：AD=1：2。EK=OA=3。OK=。PFO=EKO=90°，POF=EOK，POFEOK。OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=。P點坐標為（，0）。其余所有符合這個條件的P點坐標為：（8，0），（，0）。例6. （2012四川資陽3分）直角三角形的兩邊長分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是 【答案】8或10?！究键c】三角形的外接圓與外心，勾股定理?！痉治觥坑晒垂啥ɡ砜芍寒斨苯侨切蔚男边呴L為16時，這個三角形的

13、外接圓半徑為8；當兩條直角邊長分別為16和12，則直角三角形的斜邊長= ，因此這個三角形的外接圓半徑為10。綜上所述：這個三角形的外接圓半徑等于8或10。練習題：1. （2012山東濰坊3分）如圖所示，AB=DB，ABD=CBE，請你添加一個適當?shù)臈l件 ， 使ABCDBE (只需添加一個即可)2. （2012廣東肇慶3分）等腰三角形兩邊長分別為4和8，則這個等腰三角形的周長為【 】 A16 B18 C20 D16或20（2012湖北襄陽3分）在等腰ABC中，A=30°，AB=8，則AB邊上的高CD的長是 3. （2012廣西來賓3分）已知等腰三角形的一個內(nèi)角是80°，則它的

14、底角是 04. （2012黑龍江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E為AB邊的中點，P為CD邊上的點，且AEP是腰長為5的等腰三角形，則DP= 5. （2012黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西3分）RtABC中，A=900，BC=4,有一個內(nèi)角為600，點P是直線AB上不同于A、B的一點，且ACP=300，則PB的長為 二、含有的參變量的不同取值的分類應用：典型例題：例1. （2012重慶市4分）2012年“國際攀巖比賽”在重慶舉行小麗從家出發(fā)開車前去觀看，途中發(fā)現(xiàn)忘了帶門票，于是打電話讓媽媽馬上從家里送來，同時小麗也往回開，遇到媽媽后聊了一會兒，接著繼續(xù)開車前往比賽現(xiàn)場設

15、小麗從家出發(fā)后所用時間為t，小麗與比賽現(xiàn)場的距離為S下面能反映S與t的函數(shù)關系的大致圖象是【 】ABCD【答案】B?！究键c】函數(shù)的圖象。【分析】根據(jù)題意可得，S與t的函數(shù)關系的大致圖象分為四段：第一段，小麗從出發(fā)到往回開，與比賽現(xiàn)場的距離在減小，第二段，往回開到遇到媽媽，與比賽現(xiàn)場的距離在增大，第三段與媽媽聊了一會，與比賽現(xiàn)場的距離不變，第四段，接著開往比賽現(xiàn)場，與比賽現(xiàn)場的距離逐漸變小，直至為0?？v觀各選項，只有B選項的圖象符合。故選B。例2. （2012福建寧德3分）五一節(jié)某超市稿促銷活動：一次性購物不超過150元不享受優(yōu)惠；一次性購物超過150元但不超過500元一律九折；一次性購物超過5

16、00元一律八折王寧兩次購物分別付款120元、432元，若王寧一次性購買與上兩次相同的商品，則應付款 元【答案】480元或528元。【考點】分段函數(shù)。【分析】計算出兩次購買應該付款的數(shù)額，然后根據(jù)優(yōu)惠方案即可求解：一次性購物超過150元，但不超過500元一律9折則在這個范圍內(nèi)最低付款135元，因而第一次付款120元，沒有優(yōu)惠；第二次購物時：若是第二種優(yōu)惠，可得出原價是432÷0.9=480（符合超過150不高于500），則兩次共付款：120+480=600元，超過500元，則一次性購買應付款：600×0.8=480元。當?shù)诙胃犊钍浅^500元時：可得出原價是 432

17、7;0.8=540（符合超過500元），則兩次共應付款：120+540=660元，則一次性購買應付款：660×0.8=528元。一次性購買應付款：480元或528元。例3. （2012江蘇常州2分）在平面直角坐標系xOy中，已知點P（3，0），P是以點P為圓心，2為半徑的圓。若一次函數(shù)的圖象過點A（1，0）且與P相切，則的值為 ?！敬鸢浮炕颉！究键c】一次函數(shù)綜合題，直線與圓相切的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，一次函數(shù)的性質。【分析】如圖，設一次函數(shù)與y軸交于點C，與P相切于點P。 則OA=1，OC=b，OP=3，BP=2，AP=4。 。 由AOCABP，得，即，解得。 。

18、由圖和一次函數(shù)的性質可知，k，b同號，或。練習題：1. （2012湖北武漢3分）甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500m，先到終點的人原地休息已知甲先出發(fā)2s在跑步過程中，甲、乙兩人的距離y(m)與乙出發(fā)的時間t(s)之間的關系如圖所示，給出以下結論：a8；b92；c123其中正確的是【 】A B僅有 C僅有 D僅有三、幾何問題中幾何圖形的不確定的分類應用：典型例題：例1. （2012北京市4分） 小翔在如圖1所示的場地上勻速跑步，他從點A出發(fā)，沿箭頭所示方向經(jīng)過點B跑到點C，共用時30秒他的教練選擇了一個固定的位置觀察小翔的跑步過程設小翔跑步的時間為t（單位：秒），他與教

19、練的距離為y（單位：米），表示y與t的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的【 】A點MB點NC點PD點Q例2. （2012北京市4分）在平面直角坐標系中，我們把橫 、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點已知點A（0，4），點B是軸正半軸上的整點，記AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為m當m=3時，點B的橫坐標的所有可能值是 ；當點B的橫坐標為4n（n為正整數(shù)）時，m= （用含n的代數(shù)式表示）【答案】3或4；6n3?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），點的坐標，矩形的性質?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形，再找出點B的橫坐標與AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點m之間的關系即可求出答案：如圖：當點B

20、在（3，0）點或（4，0）點時，AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點為（1，1），（1，2），（2，1），共三個點，當m=3時，點B的橫坐標的所有可能值是3或4。當點B的橫坐標為4n（n為正整數(shù)）時，以OB為長OA為寬的矩形內(nèi)（不包括邊界）的整點個數(shù)為（4n1）×3=12 n3，對角線AB上的整點個數(shù)總為3，AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)m=（12 n33）÷2=6n3。例3. （2012重慶市12分）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=2，BC=6，AB=3E為BC邊上一點，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC

21、的同側（1）當正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形BEFG，當點E與點C重合時停止平移設平移的距離為t，正方形BEFG的邊EF與AC交于點M，連接BD，BM，DM，是否存在這樣的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）在（2）問的平移過程中，設正方形BEFG與ADC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式以及自變量t的取值范圍【答案】解：（1）如圖，設正方形BEFG的邊長為x，則BE=FG=BG=x。AB=3，BC=6，AG=ABBG=3x。GFBE，A

22、GFABC。，即。解得：x=2，即BE=2。（2）存在滿足條件的t，理由如下：如圖，過點D作DHBC于H，則BH=AD=2，DH=AB=3，由題意得：BB=HE=t，HB=|t2|，EC=4t，EFAB，MECABC。，即。ME=2t。在RtBME中，BM2=ME2+BE2=22+（2t）2=t22t+8。在RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t2）2=t24t+13。過點M作MNDH于N，則MN=HE=t，NH=ME=2t，DN=DHNH=3（2t）=t+1。在RtDMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。（）若DBM=90°，則DM2=BM

23、2+BD2，即t2+t+1=（t22t+8）+（t24t+13），解得：t=。（）若BMD=90°，則BD2=BM2+DM2，即t24t+13=（t22t+8）+（t2+t+1），解得：t1=3+，t2=3（舍去）。t=3+。（）若BDM=90°，則BM2=BD2+DM2，即t22t+8=（t24t+13）+（t2+t+1），此方程無解。綜上所述，當t=或3+時，BDM是直角三角形；（3）。【考點】相似三角形的判定和性質，勾股定理和逆定理，正方形的性質，直角梯形的性質，平移的性質?！痉治觥浚?）首先設正方形BEFG的邊長為x，易得AGFABC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，

24、即可求得BE的長。（2）首先由MECABC與勾股定理，求得BM，DM與BD的平方，然后分別從若DBM、DBM和BDM分別是直角，列方程求解即可。（3）分別從， 和時去分析求解即可求得答案：如圖，當F在CD上時，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，CE=。t=BB=BCBEEC=62。ME=2t，F(xiàn)M=t，當時，S=SFMN=×t×t=t2。如圖，當G在AC上時，t=2，EK=ECtanDCB= ，F(xiàn)K=2EK=1。NL=，F(xiàn)L=t，當時，S=SFMNSFKL=t2（t）（1）=。如圖，當G在CD上時，BC：CH=BG：DH，即BC：4=2：3，解得：BC=，EC=4

25、t=BC2=。t=。BN=BC=（6t）=3t，GN=GBBN=t1。當時，S=S梯形GNMFSFKL=×2×（t1+t）（t）（1）=。如圖，當時，BL=BC=（6t），EK=EC=（4t），BN=BC=（6t）EM=EC=（4t），S=S梯形MNLK=S梯形BEKLS梯形BEMN=。綜上所述：。例4.（2012黑龍江牡丹江3分）如圖，A(，1)，B(1，)將AOB繞點O旋轉l500得到AOB，則此時點A的對應點A的坐標為【 】A(，l) B(2，0) C(l，)或（2，0) D(，1)或(2，0)【答案】C?！究键c】坐標和圖形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，關于

26、原點對稱的點的坐標特征。【分析】如圖，過點A作AC軸于點C, 過點B作BD軸于點D。 由銳角三角函數(shù)定義，,。 同理，。 若將AOB繞點O順時針旋轉l500，則點A與點B關于坐標原點對稱， A(l，)。 若將AOB繞點O逆時針旋轉l500，則點A在軸反方向上， A(2，0)。 綜上所述，點A的對應點A的坐標為(l，)或(2，0)。故選C。例56. （2012甘肅蘭州4分）如圖，AB是O的直徑，弦BC2cm，F(xiàn)是弦BC的中點，ABC60°若動點E以2cm/s的速度從A點出發(fā)沿著ABA方向運動，設運動時間為t(s)(0t3)，連接EF，當BEF是直角三角形時，t(s)的值為【 】A B1

27、 C或1 D或1或【答案】D。【考點】動點問題，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質，三角形中位線定理?！痉治觥咳鬊EF是直角三角形，則有兩種情況：BFE90°，BEF90°，分別討論如下：AB是O的直徑，ACB90°。RtABC中，BC2，ABC60°，AB2BC4cm。當BFE90°時；RtBEF中，ABC60°，則BE2BF2cm。此時AEABBE2cm。E點沿著ABA方向運動，E點運動的距離為：2cm或6cm。點E以2cm/s的速度運動，t1s或3s。0t3，t3s不合題意，舍去。當BFE90°時，t1s。當BE

28、F90°時，同可求得BEcm，此時AEABBEcm。E點沿著ABA方向運動，E點運動的距離為：3.5cm或4.5cm。點E以2cm/s的速度運動，ts或s（二者均在0t3內(nèi)）。綜上所述，當t的值為1、或s時，BEF是直角三角形。故選D。例6. （2012廣東梅州11分）如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點，滿足PQO=60°（1）點B的坐標是；CAO= 度；當點Q與點A重合時，點P的坐標為 ；（直接寫出答案）（2）設OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點M，是否存在點P，使AMN為等腰三

29、角形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標為m；若不存在，請說明理由（3）設點P的橫坐標為x，OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關系式和相應的自變量x的取值范圍【答案】解：（1）（6，2）。 30。（3，3）。（2）存在。m=0或m=3或m=2。 （3）當0x3時，如圖1，OI=x，IQ=PItan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由題意可知直線lBCOA，可得，EF=（3+x），此時重疊部分是梯形，其面積為：當3x5時，如圖2，當5x9時，如圖3，當x9時，如圖4，。綜上所述，S與x的函數(shù)關系式為： ?！究键c】矩形的性質，梯形的性質，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角

30、函數(shù)值，相似三角形的判定和性質，解直角三角形。【分析】（1）由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質，即可求得點B的坐標：四邊形OABC是矩形，AB=OC，OA=BC，A（6，0）、C（0，2），點B的坐標為：（6，2）。由正切函數(shù)，即可求得CAO的度數(shù)：，CAO=30°。由三角函數(shù)的性質，即可求得點P的坐標；如圖：當點Q與點A重合時，過點P作PEOA于E，PQO=60°，D（0，3），PE=3。OE=OAAE=63=3，點P的坐標為（3，3）。（2）分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案：情況：MN=AN=3，則AMN=MAN=30°，MN

31、O=60°。PQO=60°，即MQO=60°，點N與Q重合。點P與D重合。此時m=0。情況，如圖AM=AN，作MJx軸、PIx軸。MJ=MQsin60°=AQsin600又，解得：m=3。情況AM=NM，此時M的橫坐標是4.5，過點P作PKOA于K，過點M作MGOA于G，MG=。KG=30.5=2.5，AG= AN=1.5。OK=2。m=2。綜上所述，點P的橫坐標為m=0或m=3或m=2。（3）分別從當0x3時，當3x5時，當5x9時，當x9時去分析求解即可求得答案。例7. （2012廣東汕頭12分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接

32、BC、AC（1）求AB和OC的長；（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D設AE的長為m，ADE的面積為s，求s關于m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，連接CE，求CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結果保留）【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=9，C（0，9）；令y=0，即，解得：x1=3，x2=6，A（3，0）、B（6，0）。AB=9，OC=9。（2）EDBC，AEDABC，即：。s=m2（0m9）。（3）SAEC=AEOC=m，SAED=s=m2，SEDC=SAEC

33、SAED=m2+m=（m）2+。CDE的最大面積為，此時，AE=m=，BE=ABAE=。又，過E作EFBC于F，則RtBEFRtBCO，得：，即：。以E點為圓心，與BC相切的圓的面積 SE=EF2=。【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的最值，勾股定理，直線與圓相切的性質?！痉治觥浚?）已知拋物線的解析式，當x=0，可確定C點坐標；當y=0時，可確定A、B點的坐標，從而確定AB、OC的長。（2）直線lBC，可得出AEDABC，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關于s、m的函數(shù)關系式；根據(jù)題目條件：點E與點A、B不重合，可確定m的取值范圍。 （

34、3）首先用m列出AEC的面積表達式，AEC、AED的面積差即為CDE的面積，由此可得關于SCDE關于m的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質可得到SCDE的最大面積以及此時m的值。過E做BC的垂線EF，這個垂線段的長即為與BC相切的E的半徑，可根據(jù)相似三角形BEF、BCO得到的相關比例線段求得該半徑的值，由此得解。練習題：1. （2012浙江嘉興、舟山4分）如圖，正方形ABCD的邊長為a，動點P從點A出發(fā)，沿折線ABDCA的路徑運動，回到點A時運動停止設點P運動的路程長為長為x，AP長為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致是【 】A BCD2. （2012廣東深圳9分）如圖，在平面直角坐標系中，直線：y=2xb

35、 (b0)的位置隨b的不同取值而變化 (1)已知M的圓心坐標為(4，2)，半徑為2 當b=時，直線：y=2xb (b0)經(jīng)過圓心M： 當b=時，直線：y=2xb(b0)與OM相切： (2)若把M換成矩形ABCD，其三個頂點坐標分別為：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2). 設直線掃過矩形ABCD的面積為S，當b由小到大變化時，請求出S與b的函數(shù)關系式，3. （2012廣西欽州3分）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把AOB繞點A旋轉90°后得到AOB，則點B的坐標是 4. （2012廣東湛江12分）如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上O為

36、原點，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，8）動點M從點O出發(fā)沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發(fā)，沿AB向終點B以每秒個單位的速度運動當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設動點M、N運動的時間為t秒（t0）（1）當t=3秒時直接寫出點N的坐標，并求出經(jīng)過O、A、N三點的拋物線的解析式；（2）在此運動的過程中，MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；（3）當t為何值時，MNA是一個等腰三角形？5. （2012浙江紹興14分）如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，連接AC，拋物線經(jīng)過A，B兩點。（1）求A點坐標及線段AB的長；（2）若點P由點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動，1秒后點Q也由點A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO，OC，CB邊向點B移動，當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，點P的移動時間為t秒。當PQAC時，求t的值；當PQAC時，對于拋物線對稱軸上一點H，HOQPOQ，求點H的縱坐標的取值范圍。四、由數(shù)學運算引起的分類應用：典型例題：例1. （2012廣東湛江12分）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式x240解：x24=（x+2）（x2）x