常微分方程考研講義第一章

1、第一章緒論 教學(xué)目標(biāo) 1 理解常微分方程及其解的概念，能判別方程的階數(shù)、線性與非線性。2 掌握將實際問題建立成常微分方程模型的一般步驟。3 理解積分曲線和方向場的概念。 教學(xué)重難點 重點微分方程的基本概念，難點是積分曲線和方向場。 教學(xué)方法 講授，實踐。教學(xué)時間 4 學(xué)時 教學(xué)內(nèi)容 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的階，隱式方程，顯式方程，線性（非線性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隱式解，初值問題，定解問題，積分曲線和方向場；建立常微分方程模型的具體方法。 考核目標(biāo) 常微分方程及其解的概念，會建立常微分方程模型。§1 微分方程模型1 、微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展常微分方程有

2、著深刻而生動的實際背景，它從生產(chǎn)實踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)分析問題與解決問題的強有力工具。該課程是與微積分一起成長起來的學(xué)科，是 學(xué)習(xí)泛函分析、數(shù)理方程、微分幾何的必要準(zhǔn)備，本身也在工程力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)、電路振蕩分析、工業(yè)自動控制以及化學(xué)、生物、經(jīng)濟等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。300 多年前， Newton 與 Leibniz 奠定微積分基本思想的同時,就正式提出了微分方程的概念 .17 世紀(jì)末到18 世紀(jì)，常微分方程研究的中心問題是如何求出通解的表達式.19 世紀(jì)末到20 世紀(jì)處 , 主要研究解的定性理論與穩(wěn)定性問題.20 世紀(jì)進入新的階段 , 定性上升到理論 , 進一步發(fā)展分

3、為解析法、幾何方法、數(shù)值方法 .解析方法 : 是把微分方程的解看作是依靠這個方程來定義的自變量的函數(shù).幾何方法 :( 或定性方法 ) 把微分方程的解看作是充滿平面或空間或其局部的曲線族.數(shù)值方法 : 求微分方程滿足一定初始條件( 或邊界 ) 條件的解的近似值的各種方法.微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓 在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉 、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達朗貝爾 、拉格朗日 等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)

4、，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓撲學(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。牛頓研究天體力學(xué)和機械力學(xué)的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律。后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分

5、支。2、微分方程模型微分方程是 數(shù)學(xué)聯(lián)系實際問題的重要渠道之一 , 將實際問題建立成微分方程模型最初并不是數(shù)學(xué)家做的 , 而是由化學(xué)家、生物學(xué)家和社會學(xué)家完成的。實際問題的信息抽象、簡數(shù)學(xué)模型求解數(shù)學(xué)模型解答驗證例 1物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型解釋實際問題將某物體放置于空氣中，在時刻 t 0 時，測得它的溫度為 u0 150 ， 10 分鐘后測得溫度為 u1 100 . 確定物體的溫度與時間的關(guān)系 , 并計算 20 分鐘后物體的溫度 . 假定空氣的溫度保持為 ua 24 .解設(shè)物體在時刻 t 的溫度為 u u(t) , 由牛頓 (Neweon) 冷卻定律可得duk(u ua )( k 0, u u

6、a )dt(1.1)這是關(guān)于未知函數(shù)u 的一階微分方程 , 利用微積分的知識將 (1.1)改為dukdtuua(1.2)兩邊積分,得到ln( u%為任意常數(shù)ua )kt cc%c, 進而 u uace kt令 ec(1.3)根據(jù)初始條件 , 當(dāng) t0 時,u u0 ,得常數(shù) c u0 ua于是u ua(u0ua )e kt(1.4)再根據(jù)條件 t10分鐘時 , uu1 , 得到u1ua(u0ua )e 10kk1 ln u0ua10u1ua將 u0150,u1100, ua24 代入上式 , 得到k1 ln 150241 ln1.66 0.051101002410從而 ,u 24126e 0.

7、051t(1.5)由方程 (1.5) 得知 , 當(dāng) t20分鐘時 , 物體的溫度 u270 , 而且當(dāng) t時,u24 .溫度與時間的關(guān)系也可通過圖形表示出來. 如圖 (1.1).可解釋為：經(jīng)過一段時間后，物體的溫度和空氣的溫度將會沒有什么差別了.事實上，經(jīng)過2 小時后，物體的溫度已變?yōu)?24，與空氣的溫度已相當(dāng)接近.法律破案判斷尸體的死亡時間就是用這一冷卻過程的函數(shù)關(guān)系來判斷的.例 2動力學(xué)問題物體由高空下落 , 除受重力作用外 , 還受到空氣阻力的作用 , 空氣的阻力可看作與速度的平方成正比 , 試確定物體下落過程所滿足的關(guān)系式 .解設(shè)物體質(zhì)量為 m ，空氣阻力系數(shù)為 k ，又設(shè)在時刻t 物

8、體的下落速度為v , 于是在時刻 t 物體所受的合外力為F mgkv2 , 建立坐標(biāo)系 ,取向下方向為正方向, 根據(jù)牛頓第二定律得到關(guān)系式m dvmg kv2(1.6)dt而且 ,滿足初始條件 t 0 時 , v0(1.7)例 3電力學(xué)問題在如圖(1.2) 所示的 RLC電路,它包括電感 L、電阻 R和電容 C.設(shè)R、L、C 均為常數(shù) , 電源 e(t) 是時間 t 的已知函數(shù) , 建立當(dāng)開關(guān) K 合上后 , 電流 I 應(yīng)滿足的微分方程 .解經(jīng)過電感 L 、電阻 R 和電容 C 的電壓降分別為：L dI 、 RI 和 Q ，其中 QdtC為電量，由基爾霍夫第二定律得到e(t)dIQLRIdtC

9、（ 1.8 ）因為 IdQ ，于是有dtd 2 IR dII1 de(t)dt 2L dtLCLdt（ 1.9 ）這就是電流 I 應(yīng)滿足的微分方程. 如果 e(t ) =常熟，得到d 2 IR dIIdt 2L dt0LC（ 1.10 ）如果又有 R0 ，則得到d 2 II0dt 2LC（ 1.11 ）例 4 人口模型英國人口統(tǒng)計學(xué)家馬爾薩斯（ Malthus ）在 1798 年提出了聞名于世的Malthus 人口模型的基本假設(shè)是：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率（單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記此常數(shù)為r（生命系數(shù)） .在 t 到 t t這段時間內(nèi)人口數(shù)量NN (t)

10、的增長量為N (tt) N (t ) rN (t)t （t1,rN (tt) N (t ) ）N (t )于是 N (t ) 滿足微分方程dN（ 1.12 ）rNdt將上式改寫為dNNrdt于是變量 N 和 t 被“分離”，兩邊積分得ln Nrt%cNcert（1.13 ）其中 c%0也是方程（ 1.17 ）的解 .ec為任意常數(shù) .（因為 N如果設(shè)初始條件為tt0 時 , N (t )N 0（1.14 ）代入上式可得 c N 0e rt 0， .即方程（ 1.17 ）滿足初值條件（1.19 ）的解為N (t) N 0er (tt0 )（ 1.15 ）如果 r 0 ，上式說明人口總數(shù)N (t

11、) 將按指數(shù)規(guī)律無限增長.將時間 t 以 1 年或 10 年離散化，那么可以說，人口數(shù)是以er為公比的等比數(shù)列增加的 .當(dāng)人口總數(shù)不大時，生存空間、資源等極充裕，人口總數(shù)指數(shù)的增長是可能的.但當(dāng)人口總數(shù)非常大時，指數(shù)增長的線性模型則不能反映這樣一個事實；環(huán)境所提供的條件只能供養(yǎng)一定數(shù)量的人口生活，所以Malthus模型在 N (t) 很大時是不合理的 .荷蘭生物學(xué)家 Verhulst 引入常數(shù) N m （環(huán)境最大容納量）表示自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口數(shù)，并假設(shè)凈相對增長率為r1N (t )N (t )，即凈相對增長率隨Nm的增加而減少，當(dāng) N (t)N m 時，凈增長率0.按此假定，人

12、口增長的方程應(yīng)改為dNr 1N（ 1.16 ）dtNNm這就是 Logistic 模型 .當(dāng) N m與 N 相比很大時， rN 2與 rN 相比可以忽略，則模型變?yōu)镹mMalthus 模型；但 N m 與 N 相比不是很大時， rN 2這一項就不能忽略，人口增長的速Nm度要緩慢下來 .我們用 Logistic 模型 .來預(yù)測地球未來人數(shù)，某些人口學(xué)家估計人口自然增長率為 r 0.029, 而統(tǒng)計得世界人口在 1960 年為 29.8 億，增長率為 1.85% ，由Logistic 模型 .（1.21 ），有 0.01850.029 1 29.8 108，可得 N m82.3 108 ，Nm即世

13、界人口容量 82.3 億，以（ 1.21 ）式右端為二項多項式，以NN m 為頂點，當(dāng)2NN m 時人口增長率增加；當(dāng) NN m 時人口增長率減少，即人口增長到N m2241.15 108 時增長率將逐漸減少 .這與人口在 20 世紀(jì) 70年代為 40億左右時增長2率最大的統(tǒng)計結(jié)果相符.小結(jié)：從以上的討論可以看出，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型這一事實，這正是許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和工程應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問題的理論根據(jù) .以上我們只舉出了常微分方程的一些簡單的實例 ,其實在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其它領(lǐng)域中，都提出了大量的微分方程問題 .所以說，社會的生產(chǎn)實踐是微分方程理論取之不盡的基本源泉 . 此

14、外，常微分方程與數(shù)學(xué)的其它分支的關(guān)系也是非常密切的，它們往往互相聯(lián)系、互相促進 .例如，幾何學(xué)就是常微分方程理論的豐富的源泉之一和有力工具. 考慮到常微分方程是一門與實際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們自然應(yīng)該注意它的實際背景與應(yīng)用； .而作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們又應(yīng)該把重點放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問題上 .因此，在學(xué)習(xí)中，不應(yīng)該忽視課程中所列舉的實際例子以及有關(guān)的習(xí)題，并從中注意培養(yǎng)解決實際問題的初步能力.但是，按照課程的要求，我們要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理論和掌握各種類型方程的求解方法這兩方面來，這是本課程的重點，也是我們解決實際問題的必要工具 .而解決的過程

15、為：（ 1）建立方程 ; （2）求解方程 ; （ 3）分析問題 . 關(guān)鍵的是第一步，即對所研究問題，根據(jù)已知定律公式以及某些等量關(guān)系列出微分方程和相應(yīng)的初始條件.如果指出了由微分方程所確定的未知函數(shù)的求法，那么未知量間的關(guān)系便找到了 .尋求微分方程所確定的未知函數(shù)是微分方程理論的基本問題 .§2基本概念1、常微分方程和偏微分方程微分方程：將自變量、未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來的關(guān)系式.常微分方程：只含一個自變量的微分方程.偏微分方程：自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程.方程d 2 yb dycy f (t)dt 2dt（ 1.17 ）2dydyty 0dtdt（ 1.18 ）d

16、2 yg sin y 0dt 2l（ 1.19 ）是常微分方程的例子，y 是未知函數(shù)，僅含一個自變量t .方程2T2T2T0x2y 2z2（ 1.20 ）2T2Tx24t 2（ 1.21 ）是偏微分方程的例子，T 是未知函數(shù)，x , y , z , t 是自變量 .微分方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例如，方程（ 1.17 ）、（ 1.19 ）是二階的常微分方程，而方程（1.20 ）、（ 1.21 ）是二階的偏微分方程.一般的 n 階微分方程具有形式F ( x , y , dy , L, d n y) 0dxdx n（1.22 ）這里 F ( x , y , dy, L, d n

17、 y)是 x 、 y 、 dy、 、 d n y的已知函數(shù)，而且一定含有 d ndxdx ndxdx ny； y 是未知函數(shù)， x 是自變量 .dxn2、線性和非線性如果微分方程對于未知函數(shù)及它的各階導(dǎo)數(shù)的有理整式的整體而言是一次的，稱為線性微分方程，否則是非線性微分方程. 如：d 2 yydydt 2tdt（ 1.23 ）是非線性微分方程，而（1.17 ）是一個二階的線性微分方程. 一般的 n 階線性微分方程具有形式d n ya1 (x) d n 1 y Lan 1( x) dyan ( x) yf (x)dx ndxn1dx（1.24 ）這里 a 1 ( x ), a 2 ( x ), L

18、, a n ( x ), f( x ) 是 x的已知函數(shù) .3、解和隱式解微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解. 即若函數(shù) y( x ) 代入式（ 1.22 ）中，使其成為恒等式，稱y( x )為方程（ 1.22 ）的解 .例如容易驗證 ycosx 是方程 d 2y20的解dx2y如果關(guān)系式( x , y )0 決定的隱函數(shù)y( x ) 為方程（ 1.22 ）的解，稱( x , y )0是方程（ 1.22 ）的隱式解 . 例如，一階微分方程dyxdxy有解 y1x 2和 y1x 2 ；而關(guān)系式 x 2y 21 是方程的隱式解 .4、通解和特解通解：具有n個獨立的任意常數(shù)c1, c

19、2, L, c n的解y( x , c1 , c2,L, c n )稱為方程（1.22 ）的通解.注：所謂函數(shù)y( x , c1 , c2, L, c n)含有n個獨立常數(shù)，是指存在( x , c1 , c 2 , L, c n ) 的某一鄰域，使得行列式c1c 2Lc nc1c 2Lc n0MMM( n 1)( n 1)( n1)c1c 2Lc nk( k)其中xk.特解：方程滿足特定條件的解.定解問題：求方程滿足定解條件的求解問題 . 定解條件分為初始條件和邊界條件，相應(yīng)的定解問題分為初值問題和邊值問題 .一般地，初值問題為F ( x, y, y ,L , y( n) ) 0y( x0 )

20、y0 , y ( x0 ) y0(1) ,L , y(n 1) ( x0 ) y0( n 1)特解可以通過初始條件限制，從通解中確定任意常數(shù)而得到,如例 1 中，含有一個任意常數(shù) c 的解uua ce kt就是一階方程（ 1.1 ）的通解；而uua(u0ua )e kt就是滿足初始條件t0,uu0的特解 .5 、積分曲線和方向場一階微分方程dy（ 1.25 ）f (x, y)dx的解 y( x) 是 xy 平面上的一條曲線，將它稱為微分方程的積分曲線；而方程（1.20 ）的通解 y( x, c)對應(yīng)于 xy 平面上的一族曲線，稱為方程的積分曲線族；滿足初始條件y(x0 )y0 的特解就是通過點 (x0 , y0 ) 的一條積分曲線 .方程（ 1.25 ）的積分曲線上每一點( x, y) 的切線斜率 dy 剛好等于函數(shù)f ( x, y) 在dxdy 恒滿足方程這點的值，也就是說，積分曲線的每一點( x, y) 及這點上的切線斜率dx（1.25 ）；反之，如果一條曲線上每點的切線斜率剛好等于函數(shù)f (x