2016年全國(guó)普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)頂?shù)(四川卷)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理工類）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。1. 設(shè)集合A x| 2 x 2，Z為整數(shù)集，則 AI Z中元素的個(gè)數(shù)是（A）3（ B）4 （C） 5（ D） 62. 設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x i）6的展開式中含x4的項(xiàng)為4444（A） 15x （B） 15x （C） 20i x （D） 20i xn3. 為了得到函數(shù) y sin（2x -）的圖象，只需把函數(shù) y sin 2x的圖象上所有的點(diǎn)3nn（A）向左平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度（B）向右平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度33nn（C）向左平行

2、移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（D）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度664. 用數(shù)字1 , 2, 3, 4, 5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（A） 24 （ B） 48 （C） 60 （D） 725. 某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金 130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（參考數(shù)據(jù):lg 1.12 0.05 , lg 1.3 0.11 , lg2 0.30 ）（A） 2018 年（B） 2019 年（C） 2020 年（D） 2021 年6. 秦九韶是我國(guó)南宋使其的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川

3、省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入 n, x的值分別為3, 2，則輸出v的值為(A) 9(B) 18(C) 20( D) 35x 1,y7. 設(shè)p：實(shí)數(shù)x, y滿足(x - 1)2- (y- 1)2w 2, q：實(shí)數(shù)x, y滿足 y 1 x,則p是q的1,8.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線2y 2 px(p 0)上任意一點(diǎn),M是線段 PF上的點(diǎn)，且PM =2 MF0M的斜率的最大值為(A)彳(C)子(D) 19.設(shè)直線11,l 2分別是函數(shù)ln x,0 x f(x)

4、= lnx,x 1,1,圖象上點(diǎn)P1, P2處的切線，I1與l 2垂直相交于點(diǎn)P,且11,丨2分別與(A) (0,1)y軸相交于點(diǎn)(B)(0,2)A，10.在平面內(nèi),定點(diǎn)A， B，C,B,則厶PAB的面積的取值范圍是(C) (0,+ m )(D) (1,+ m )uuiu uuur uuuruur,DA - DB =DB - DC+ m uuuD滿足DA = DB(D) (1, uurUHT=DC uuuDA =-2，動(dòng)點(diǎn) P,uuuM滿足AP =1,uuuu uuuu PM =MC ,uuuuiu則BM 2的最大值是(A) 43 (B)449( c) 3746 3 (D 37 2.3344二

5、、填空題:本大題共 5小題，每小題5分，共25分。(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件2 n .2 n11. cos sin =.8 812. 同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.13. 已知三棱鏡的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是。14. 已知函數(shù)f (x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0v x V 1時(shí)，f (x )=，則f () + f (1) =。15 .在 平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng) P(x, y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義 P的“伴隨點(diǎn)

6、”為 p'( 2 y 2, 2 X 2)；x y x y當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義 P的“伴隨點(diǎn)“為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C'定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題： 若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn) A'，則點(diǎn)A'的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn) A 單位圓的“伴隨曲線”是它自身; 若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C'關(guān)于y軸對(duì)稱; 一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是 （寫出所有真命題的序列）.三、解答題：本大題共 6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16. （本小題滿分12分）x的部分噸）,我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的

7、國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案， 擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x （噸）、一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出按議價(jià)收費(fèi)為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位:將數(shù)據(jù)按照0,0.5） , 0.5,1），4,4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（I ）求直方圖中a的值；（II ）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；（III ）若該市政府希望使 85%勺居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x （噸），估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由17. （本小題滿分12分）cos A cos B s

8、in C在厶ABC中，角ABC所對(duì)的邊分別是 a, b, c,且 .a b c（I）證明：sin AsinB sinC ；2226（II ）若 b c a bc,求 tanB .518. （本小題滿分12分）1如圖，在四棱錐 P-ABCD中，AD/ BC,ADC= PAB=90 , BC=CDAD.2E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線 PA與CD所成的角為90°(I )在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M使得直線 CM/平面PBE并說(shuō)明理由;(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值19. (本小題滿分12分)已知數(shù)列a*的首項(xiàng)為1, Sn為數(shù)列a*的前n項(xiàng)

9、和，Sn i qSn 1，其中q>0, n N(I )若2a2,a3,a22成等差數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式;(ii)設(shè)雙曲線x22an1的離心率為en，且e?5，證明：e e234n3n3n120. (本小題滿分13分)已知橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(I )求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(II )設(shè)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l '平行于0T與橢圓E交于不同的兩點(diǎn) A B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明： 存在常數(shù)入，使得IPTI 2=入I PAI PBI,并求入的值.21. (本小題滿分14分)設(shè)函數(shù) f (x)=

10、ax2-a-ln x，其中 a R.(I )討論f (x)的單調(diào)性；(II )確定a的所有可能取值，使得f(x) >-e1-x+在區(qū)間(1, +s)內(nèi)恒成立(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。參考版解析第I卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要 求的1. 設(shè)集合A x| 2 x 2，Z為整數(shù)集，則集合 Al Z中元素的個(gè)數(shù)是（）A. 3B . 4C. 5D . 6【答案】C【解析】由題可知，Al Z 2, 1,0,1,2，則Al Z中元素的個(gè)數(shù)為5選C2. 設(shè)i為虛數(shù)單位，則（X i）6的展開式中含X4的項(xiàng)

11、為（）A. 15x4B. 15x4C. 20ix4D. 20ix4【答案】A【解析】由題可知，含x4的項(xiàng)為C；x4i215x4選A3. 為了得到函數(shù)y sin 2x 的圖象，只需把函數(shù) y sin2x的圖象上所有的點(diǎn)（）3A .向左平行移動(dòng)丄個(gè)單位長(zhǎng)度3B.向右平行移動(dòng)丄個(gè)單位長(zhǎng)度3C .向左平行移動(dòng)丄個(gè)單位長(zhǎng)度6D.向右平行移動(dòng)丄個(gè)單位長(zhǎng)度6【答案】D【解析】由題可知，y sin 2xnnsin 2 x 36，則只需把y sin2x的圖象向右平移一個(gè)單位6選D4. 用數(shù)字1 , 2, 3, 4, 5構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. 24B . 48C . 60D . 72【

12、答案】D【解析】由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1,3,5；分為兩步：先從1,3,5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有C；,再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列得到A：，則滿足條件的五位數(shù)有 C； A4 72.選D5. 某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)：Ig1.12 0.05, Ig1.3 0.11 , Ig2 0.30 ）A. 2018年B . 2019年C . 2020 年D . 2021 年【答案】B【解析】設(shè)x年后該公司全年投

13、入的研發(fā)資金為200萬(wàn)元由題可知，130 1 12%200,200解得x如12面Ig2 Ig1.3Ig1.123.80 ,因資金需超過(guò)200萬(wàn)，則x取4，即2019年選B6.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣） 他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法， 仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九 法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例。若輸入n，x的值分別為3,2.則V的值為（)A.9B. 18C.20D . 35【答案】B【解析】初始值n 3,x2，程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示V 1i 2v 122 4i 1v 421 9i 0v 920 18i 1跳出循環(huán),輸出v 18選B

14、人，至今 韶算 輸出y x 1,2，q :實(shí)數(shù)x，y滿足y 1x,則p是口的（2 27.設(shè)P：實(shí)數(shù)x，y滿足(x 1) (y 1)y 1,A 必要不充分條件C.充要條件【答案】AB 充分不必要條件D.既不充分也不必要條件12p,y02 2【解析】如圖，x 1 y 1 < 2表示圓心為1,1，半徑為.2的圓內(nèi)區(qū)域所有點(diǎn)（包括邊界）；y > x 1,y > 1 x,表示 ABC內(nèi)部區(qū)域所有點(diǎn)（包括邊界） y < 1實(shí)數(shù)x,y滿足則必然滿足 ，反之不成立.則P是q的必要不充分條件.故選A8. 設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p0）上任意一點(diǎn)，|PM | 2|

15、 MF |，L則直線OM斜率的最大值為（)LA.2 B.-C.D . 1332【答案】CM是線段PF上的點(diǎn)，且【解析】如圖，由題可知F 2p ,0，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為29.顯然，當(dāng)y°0時(shí)，kOM0 ；y° 0 時(shí)，Kom0要求kOM取大值，不妨設(shè)y°0urnurUULTUUJUuuu1 UULUULT1UUUUULT1 UUU2 UULT2y。pyc則OMOFFMOF-FPOF -OPOF-OP -OF033336p 3,3yokoM32V2弓，當(dāng)且僅當(dāng)y。 2p2等號(hào)成立OM2y°py° 2p2、26p 3py。故選C設(shè)直線li , I2分別是函

16、數(shù)f(x)ln x, 0 x圖象上點(diǎn)P , P2處的切線,1,In x, x 1,li與l2垂直相交于點(diǎn)I2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則 PAB的面積的取值范圍是()A.0,1B. (0, 2)C. (0,)D. (1,【答案】A【解析】由題設(shè)知：不妨設(shè)P , F2點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：P1xi, yi, P2x2 ,y2，其中0Xi1X2 ,1-,0 x 1貝U由于Ii,l2分別是點(diǎn)Pi，及處的切線，而f ' x :,-,x 1xE11得：li的斜率ki為，J的斜率k2為；xix2又 當(dāng)且僅當(dāng)Xi 即Xi 1時(shí)等號(hào)成立1 與 1 2 垂直，且 0X1X2 ,kiki11XiX21 ,可得：

17、1XiX2我們寫出li與I2的方程分別為：li :y1XXiIn X|Xi1In X2l2 :yX X2X2此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 0,1 lnxi,B 的勺坐標(biāo)為0, 1lnx2 ,由此可得：AB 2 ln Xi lnX22lnXiX22、兩式聯(lián)立可解得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為X2 ln x1x22Xi X2Xi X2K|i 122Spab -AB Px 2 1PAB 的面積為：22xi X2 x 1,XiXi10.在平面內(nèi)，定點(diǎn)滿足 | AP | =1,A,UUUUPMB C ULUU MC ,43【答案】【解析】4B由題意,UUUDAUUUDAUUUDBUUTDBUUU ULT DA DBulutDC

18、 , UUT ULUT DB DCUUUDBUUU UUTUULTD 滿足 |DA|=|DB|=|DC | 則LBMU2的最大值是(49UUU ,DA6、3所以D到A, B,C三點(diǎn)的距離相等,UULT LULTDC DA 2UULT UULTDC DBuurDAuuirDCBC,DCABuurDBUUIT ULUDB CA 0,所以 DBUUU UUTUUUUUUUUUUUU1UJHDADBDADBcos ADBDADB22DAABC是正三角形，且 D是因此2所以正三角形B,C,D三點(diǎn)坐標(biāo)分別為同理可得， 從而D是DAABC的垂心；ABC的外心與垂心重合,ABC的邊長(zhǎng)為2 3 ；我們以 A為原

19、點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，B 3,3 ,C 3, D 2,0。ULLAPUUJUPM1，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 cos Me，即M是PC的中點(diǎn),sin，其中 0,2 n可以寫出M的坐標(biāo)為M3 cos2sin2UUJU 2 BMcos37 12sinLUU UULTDB DCLULT UUU一DC DA2，動(dòng)點(diǎn) P, M2 33ABC的外心;AC ,37ABC的中心;12449423 故選B.時(shí),ULUU BM2 49取得最大值。449（非選擇題共100分）二、填空題:本大題共5小題，每小題5分,共25分.2 n11. cos 8 【答案】丄2.2 nsin -8【解析】由題可知,2 n . 2 n cos s

20、in -8 8nCOS 4亡（二倍角公式）12.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.【答案】32【解析】由題可知，113 在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功(即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為P 1丄丄上2 243 3 3/ 2次獨(dú)立試驗(yàn)成功次數(shù) X滿足二項(xiàng)分布XB2,，則E X 2 334 4 213.已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是T /k 西一)J翻H正視圖【答案】3【解析】由題可知，/三棱錐每個(gè)面都是腰為 2的等腰三角形，由正視圖可得如下俯視圖， 且三棱錐高為h 1卜 山

21、十、.3俯視圖則面積 V 3sh 32 311-3f(x) 4x ,14.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)Ox 1時(shí),f(1)【答案】 2【解析】首先，f x是周期為2的函數(shù)，所以f x f x 2 ； 而f x是奇函數(shù)，所以f x f x ,所以：f 11 , f 1 f 1，即 f 105-2 5 - 2f 1，0 f 1 時(shí)，f(f)4252，從而 f - f 12yx15. 在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng) P(x, y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義 P的"伴隨點(diǎn)”為 P'二 222 ；當(dāng)P是原x y x y點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”

22、所構(gòu)成的曲線C'定義為曲線C 的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題： 若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn) A'，則點(diǎn)A'的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A； 單位圓的“伴隨曲線”是它自身； 若曲線c關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C'關(guān)于y軸對(duì)稱； 一條直線的“伴隨曲線”是一條直線其中的真命題是 (寫出所有真命題的序號(hào))【答案】【解析】設(shè)A的坐標(biāo)x, y，伴隨點(diǎn)A'2,=2 , A'的伴隨點(diǎn)x y的伴隨點(diǎn)x22x y 橫坐標(biāo)為2y2X故 A'' x, y設(shè)單位圓上的點(diǎn)2y錯(cuò)誤；P的坐標(biāo)為2X2ycos ,sinP'sin , cos cos所以P'也在

23、單位圓上，即:設(shè)曲線C上點(diǎn)A的坐標(biāo)x,yA'點(diǎn)A的伴隨點(diǎn)反例：例如y隨點(diǎn)分別是A'同理可得縱坐標(biāo)為y，貝U P的伴隨點(diǎn)的坐標(biāo)為n . ,sin 2P'點(diǎn)是P點(diǎn)延順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)-.正確；2，其關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn) A x, y也在曲線C上所以點(diǎn)Ay2 2 ,x y1這條直線，則11,0 ,B'-2A'2 ，y0,1,C'A'與a '關(guān)于y軸對(duì)稱。正確;,B1,1 ,C 2,1，而這三個(gè)點(diǎn)的伴-，而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上5下面給出嚴(yán)格證明：P點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為P' Xo, yo ，yo22xoyoXo22xoyo設(shè)點(diǎn)P(x,y)在直線l

24、: Ax ByXo 2Xx y 則，解得xy0 2 yx y帶入直線方程可知：A 2 B 22 C o ,XoyoXoyo化簡(jiǎn)得：Ayo Bxo C(Xo2 yo2) o ,當(dāng)C o時(shí)，C(xo2 yo2)是一個(gè)常數(shù)，P'的軌跡是一條直線；當(dāng)C 0時(shí)，C(xo2 yo2)不是一個(gè)常數(shù)，P'的軌跡不是一條直線所以，直線 伴隨曲線”不一定是一條直線錯(cuò)誤.三、解答題：本大題共 6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或步驟.16. (本小題滿分12分)我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)X (噸)，一

25、位居民的月用水量不超過(guò)X的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出 X的部分按議價(jià)收費(fèi)為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0, 0.5) , 0.5,1),，4, 4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(I) 求直方圖中a的值；(II) 設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；(III) 若該市政府希望使85%的居民每月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x (噸)，估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由.A頻率距0.520.40 a0.160.120.080.04p -1-1 100.511.522.533.544.5 月均用水量（噸）【解析】

26、（I）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1.頻率=（頻率/組距廣組距0.50.080.16 0.4 0.520.12 0.08 0.04 2a 1得 a 0.3（II）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為 0.50.12 0.08 0.04 =12%全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為：30 12%=3.6（萬(wàn)）（III ）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占百分比為：0.50.08 0.16 0.3 0.4 0.520.73即73%的居民月均用水量小于 2.5噸， 同理，88%的居民月均用水量小于 3噸，故2.5 x 3假設(shè)月均用水量平均分布，則x 2 5 0585% 73%一05 2

27、9 （噸）0.3 注：本次估計(jì)默認(rèn)組間是平均分布，與實(shí)際可能會(huì)產(chǎn)生一定誤差。17. （本小題滿分12分）在厶ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別是sin C(I)證明:sin Asin B sinC ;a2 -be，求 tanB . 5(II )若 b2c2【解析】（I）證明:由正弦定理 sin A sin Bcos A cosB可知 sin C原式可以化解為1sin A sin B sinC si nAsi nB 0 sinAsinB，可得 sinBcosA sin Beos A sin AcosB A和B為三角形內(nèi)角 則，兩邊同時(shí)乘以 由和角公式可知， 原式得證。sinsin AcosB

28、A B sinsin Asi n BCsi nC6-be,根據(jù)余弦定理可知,5 A為為三角形內(nèi)角，A 0, si nA(II)由題 b2 c acos Ab2 e22be則 sinA 1 S'4，即皿 §55 sin A 4由（1）可知cos Ac°s Bsi nC1c°s B1 1sin Asin Bsi nC'sin Btan B 4 tan B 4190，BC CD 2 AD，E為棱AD的中點(diǎn),18. （本小題滿分12分）如圖，在四棱錐 P ABCD中，AD/BC , ADC PAB異面直線PA與CD所成的角為90 .（I）在平面PAB內(nèi)找一

29、點(diǎn)M，使得直線CM/平面PBE， 并說(shuō)明理由；（II）若二面角P CD A的大小為45，求直線PA與 平面PCE所成角的正弦值【解析】(I) 延長(zhǎng)AB，交直線CD于點(diǎn)M , E為AD中點(diǎn)，1二 AE ED=AD,21/ BC CD = AD ,2 ED BC , AD/BC 即 ED/BC,四邊形BCDE為平行四邊形， BE/CD ,/ ABI CD M , M CD , CM /BE , BE 面 PBE , CM / 面 PBE ,T M AB , AB 面 PAB , M 面PAB 故在面PAB上可找到一點(diǎn) M使得CM /面PBE .(II) 過(guò)A作AF EC交EC于點(diǎn)F ,連結(jié)PF，過(guò)

30、A作AG PF交PF于點(diǎn)G ,t / PAB 90°, PA與 CD 所成角為 90°,PAAB , PACD ,ABICD=M ,PAABCD ,EC面 ABCD,PAEC ,ECAF 且 AF IAPA ,CE面 PAF ,AG面 PAF ,AGCE ,AGPF 且 AG IAFA ,AG面 PFC ,Z AF>F為所求PA與面PCE所成的角,/ PA 面 ABCD , / ADC =90° 即 AD DC . Z PDA為二面角P CD A所成的平面角,由題意可得 Z PDA =45°，而Z PAD =90°, PA AD,/ BC

31、 CD ,四邊形BCDE是平行四邊形，Z ADM =90° ,四邊形BCDE是正方形，二 / BEC 45o , / AEF=/ BEC 45° , / AFE 90° ,AF= AE,2tan/APF = £ =AP2 AD4AP1- sin / APF = .319. (本小題滿分12分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1, Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，1 qSn 1，其中q 0，nN(I) 若2a2,a3,a22成等差數(shù)列，求a.的通項(xiàng)公式；22 y5(II) 設(shè)雙曲線x 1的離心率為編，且e2 一，證明：e e>a3【解析】 由題Sn 1 qSn 1-可

32、知當(dāng)n 2時(shí)，5 qSn 1 1 -，兩式相減可得an 1 qan3n3曠即an從第二項(xiàng)開始為公比q的等比數(shù)列，當(dāng)n 1時(shí)，帶入可得 a a2 qa1 1,a2 q，即an為公比q的等比數(shù)列根據(jù)2a2,a3,a2 2成等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可得2a? a? 2 3a? 2 2a32 1即2q 3q 2 0，求解可得q 2或q -由題q 0可知，q 2n 1*an 2, n N(II )證明：由雙曲線的性質(zhì)可知,由(I)可得，an為首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列故 e2. 1a2.1 q255，即q24 - 34 - 31n4-3 4-34n3n3n原式得證20. (本小題滿分13分)2 2已知橢圓 E : X 篤 1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線a bl : y x 3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn) T.(I)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(II )設(shè)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線I'平行于0T,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線2I交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)，使得|PT| |PA