常微分方程畢業(yè)論文

1、安陽師范學(xué)院安陽師范學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)論文一階常微分方程初等解法作 者 田 豐 系（院） 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級 2010級 學(xué)號 100801066 指導(dǎo)教師 李 波 論文成績 日期 2014年5月10日 學(xué)生誠信承諾書本人鄭重承諾：所呈交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果.盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得安陽師范學(xué)院或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書所使用過的材料.與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意.簽名： 日期： 論文使用授權(quán)說明本人完全

2、了解安陽師范學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文.簽名： 導(dǎo)師簽名：日期： 一階常微分方程初等解法田 豐(安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽 100801066)摘 要: 文章對一階常微分方程運(yùn)用變量分離,積分因子,恰當(dāng)微分方程等各類初等解法進(jìn)行了歸納與總結(jié),同時(shí)結(jié)合例題演示了常微分方程的求解問題。關(guān)鍵詞: 一階常微分方程;變量分離;恰當(dāng)微分方程;積分因子1 引言常微分方程在微積分概念出現(xiàn)后即已出現(xiàn),對常微分方程的研究也可分為幾個(gè)階段.發(fā)展初期是對具體的常微分方

3、程希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解,屬于“求通解”時(shí)代.萊布尼茨曾專門研究利用變量變換解決一階常微分方程的求解問題,而歐拉則試圖用積分因子處理.但是求解熱潮最終被劉維爾證明里卡蒂方程不存在一般初等解而中斷.加上柯西初值問題的提出,常微分方程從“求通解”轉(zhuǎn)向“求定解”時(shí)代.在20世紀(jì)六七十年代以后,常微分方程由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展迎來了新的時(shí)期,從求“求所有解”轉(zhuǎn)入“求特殊解”時(shí)代,發(fā)現(xiàn)了具有新性質(zhì)的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇異吸引子及孤立子等. 微分方程里各項(xiàng)的次數(shù)，其實(shí)說的是方程各項(xiàng)中未知函數(shù)（y）及其導(dǎo)數(shù)（y'，y''，y'''）的次數(shù)

4、但是一般接觸到的有解析解的微分方程都不會超過1次，所以齊次一般指的就是方程各項(xiàng)中未知函數(shù)（y）及其導(dǎo)數(shù)（y'，y''，y'''）的次數(shù)為1也就是說方程各項(xiàng)中必須出現(xiàn)且只出現(xiàn)單獨(dú)的y，y'，y''，y'''，而不出現(xiàn)它們的平方、n次方，也不出現(xiàn)它們互相相乘，也不出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)（次數(shù)為0）其中的常見的求解一階微分方程有：一般變量分離；齊次微分方程，；常數(shù)變易（伯努利微分方程）；恰當(dāng)微分方程及積分因子法這些都是常見的解法常微分方程的研究還與其他學(xué)科或領(lǐng)域的結(jié)合而出現(xiàn)各種新的分支,如控制論、種群分析、種群生態(tài)學(xué)

5、、分支理論、泛函微分方程、脈沖微分方程等.總之,常微分方程屬于數(shù)學(xué)分析的一支,是數(shù)學(xué)中與應(yīng)用密切相關(guān)的基礎(chǔ)學(xué)科,其自身也在不斷發(fā)展中,學(xué)好常微分方程基本理論和實(shí)際應(yīng)用均非常重要.因此本文對一階常微分方程的初等解法進(jìn)行了簡要的分析,同時(shí)結(jié)合例題,展示了初等解法在解題過程中的應(yīng)用.2 一階常微分方程的初等解法2.1 變量分離法2.1.1 一般變量分離法, 的方程,稱為變量分離方程,分別是,的連續(xù)函數(shù).這是一類最簡單的一階函數(shù).如果,我們可將改寫成,這樣,變量就分離開來了.兩邊積分,得到 . 這里我們把積分常數(shù)明確寫出來,而把, 分別理解為,的原函數(shù).常數(shù)的取值必須保證有意義,如無特別聲明,以后也做

6、這樣理解.因式不適合情形.但是如果存在使,則直接驗(yàn)證知也是的解.因此,還必須尋求的解,當(dāng)不包括在方程的通解中時(shí),必須補(bǔ)上特解 例1 求解方程 解 將變量分離,得到,兩邊積分,即得 ,因而,通解為.這里是任意正常數(shù),或者解出,寫出顯函數(shù)形式的解 .例2 求解方程 , 的通解,其中的連續(xù)函數(shù)解 將變量分離,得到 ,兩邊積分,即.這里是任意常數(shù).由對數(shù)定義,有,即,令,得到 , 此外,顯然也是方程的解,如果允許中允許則也就包括在中,因而的通解為,其中為任意常數(shù)2.1.2 用變量分離解齊次微分方程2.1.2.1 用變量分離法解齊次微分方程類型一形如,的方程,稱為齊次微分方程,這里是的連續(xù)函數(shù).作變量變

7、換,即,于是.代入原方程可得,整理后,得到. 因是一個(gè)變量分離方程.則可按照變量分離方法求解,然后代回原來的變量,即可得到原方程的解 例3 求解方程 解 這是齊次微分方程,以代入,則原方程變?yōu)榧?. 將上式分離變量,既有兩邊積分,得到.這里是任意常數(shù),整理后,得到=得到 . 此外,方程還有解.如果在中允許,則也就包括在中,這就是說,方程的通解為帶回原來的變量,得到方程的通解為 例4 求解方程（） 解 將方程改寫為,這是齊次微分方程.以代入,則原方程變?yōu)?分離變量,得到兩邊積分,得到的通解即當(dāng)時(shí),.這里c時(shí)任意常數(shù).此外,方程還有解注意,此解并不包括在通解中.代入原來的變量,即得原方程的通解為

8、2.1.2.2用變量分離法解齊次微分方程類型二形如, 的方程不可直接進(jìn)行變量分離,但是可以經(jīng)過變量變換后化為變量分離方程,這里,均為常數(shù).可分為三種情況來討論:(常數(shù))的情形這時(shí)方程可化為,有通解,其中為任意常數(shù). 的情形.令,這時(shí)有.是變量分離方程及不全為零的情形因?yàn)榉匠逃叶朔肿?分母都是的一次多項(xiàng)式,因此代表平面上兩條相交的直線,設(shè)交點(diǎn)為,若令則方程可化為從而方程變?yōu)橐虼?求解上述變量分離方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.的情形,此時(shí)直接變換即可.例5 求解方程.解 令,則有,代入所求方程,整理可得,由變量分離得,故所求方程的解為.例6 求解方程. 解 解方程組得令代入上式方程,則

9、有.再令則上式可化為,兩邊積分,得,因此,記并帶回原變量,得,.此外容易驗(yàn)證,即也是方程的解 ,因此方程的通解為,其中為任意的常數(shù).2.2常數(shù)變易法2.2.1常數(shù)變易法類型一一階線性微分方程其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù),若,方程變?yōu)榉Q其為一階齊次線性微分方程,若稱其為一階非齊次線性微分方程.變易分離方程,易求得它的通解為這里是任意常數(shù).現(xiàn)在討論非齊次線性方程的通解的求法.不難看出,是特殊情形,兩者既有聯(lián)系又有差別,因此可以設(shè)想它們的解也應(yīng)該有一定的聯(lián)系而又有差別,現(xiàn)試圖利用方程的通解的形式去求出方程的通解,顯然,如果中恒保持為常數(shù),它們不可能是的解.可以設(shè)想在中將常數(shù)變易為的待定函數(shù),使它滿

10、足方程,從而求出為此,令兩邊同時(shí)微分,得到代入原方程,得到即兩邊同時(shí)積分,得到這里是任意常數(shù),求得到就是方程的通解.這種將常數(shù)變?yōu)榇ê瘮?shù)的方法通常被稱之為常數(shù)變易法.例7 求方程的通解解 原方程可改寫為,即 , 首先,求出齊次線性微分方程,的通解為.其次,利用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解把看成,將方程兩邊同時(shí)微分得.代入,得到,兩邊同時(shí)積分,即可求得.從而,原方程的通解為,這里是任意常數(shù).2.2.2常數(shù)變易法類型二形如 , 的方程,稱為伯努利方程,這里,為的連續(xù)函數(shù),是常數(shù).利用變量變換可將伯努利微分方程化為線性微分方程.事實(shí)上,對于,用乘的兩邊,得到,引入變量變換,從而.代入方程,

11、得到,這是線性微分方程,可按照前面介紹的方法來求出它的通解,然后代換原來的變量,便得到方程的通解.此外,當(dāng)時(shí),方程還有解.例8 求方程的通解解 這是時(shí)的伯努利微分方程.令,算得,這是線性微分方程,求得它的通解為.代入原來的變量,得到,或者,這就是原方程的通解.此外,方程還有解2.3 利用恰當(dāng)微分方程求解法對于一階微分方程,若有,則該方程必為恰當(dāng)微分方程.下面討論如何求得該恰當(dāng)微分方程的解.把看作只關(guān)于自變量的函數(shù),對它積分可得由此式可得,由此可得,又因?yàn)?故等式右邊只含有,積分可得,進(jìn)而可得.則恰當(dāng)微分方程的通解為,這里是任意常數(shù).例10 求解方程. 解 因?yàn)?故方程是恰當(dāng)微分方程.把方程重新

12、分項(xiàng)組合,得到,即,或者寫成.于是,方程的通解為,這里是任意常數(shù)2.4 利用積分因子求解法函數(shù)為積分因子的充要條件是,即.假設(shè)原方程存在只與有關(guān)的積分因子,則,則為原方程的積分因子的充要條件是,即僅是關(guān)于的函數(shù).此時(shí)可求得原方程的一個(gè)積分因子為.同樣有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是是僅為的函數(shù),此時(shí)可求得方程的一個(gè)積分因子為 例9 求解方程. 解 這里方程不是恰當(dāng)?shù)?因?yàn)橹慌c有關(guān),故方程有只與的積分因子,以乘方程兩邊,得到,或者寫成,因而通解為.3 結(jié)束語文章詳細(xì)介紹了一階常微分方程的初等解法，即把一階常微分方程的解通過初等函數(shù)或它們的積分表達(dá)出來。但一般的微分方程無法求解，只能是對某些類型通

13、過相應(yīng)的方法求解。文章主要介紹一階常微分方程的一些可解類型和相應(yīng)的求解方法，這些方法是在微分方程發(fā)展的早起由牛頓等發(fā)現(xiàn)的。文章也介紹了求解一階微分方程的方法和應(yīng)用一階微分方程來求解的例子。關(guān)于一階常微分方程的定義和初等解法，前人已經(jīng)做出了大量的研究和貢獻(xiàn)，得出了大量的成果，這里筆者只是進(jìn)一步總結(jié)和歸納了前人的研究成果。The Fundamental methods of the first-order ordinary differential equationTian Feng (School of mathematics and Statistics

14、 Anyang Normal University, Anyang, 455002)Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables, integrating factor and the exact dif

15、ferential equation. Combined with examples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems of integration. Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor參考文獻(xiàn)1 王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松.常微分方程（第三版）M.北京:高等教育出版社;.2 楊繼明,常系數(shù)線性微分