概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3章ppt課件

1、二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布第三章第三章 n二維隨機變量及其結(jié)合分布二維隨機變量及其結(jié)合分布n邊緣分布與獨立性邊緣分布與獨立性n兩個隨機變量的函數(shù)的分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布例如例如 E：抽樣調(diào)查：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高歲青少年的身高 X與體重與體重 Y,以研討當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。以研討當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。 前面我們討論的是隨機實驗中單獨的一個隨機變量，又稱為一維隨機變量；然而在許多實踐問題中，經(jīng)常需求同時研討一個實驗中的兩個甚至更多個隨機變量。 不過此時我們需求研討的不僅僅是不過此時我們需求研討的不僅僅是X及及Y各自的性各自的性質(zhì)，質(zhì)， 更

2、需求了解這兩個隨機變量的相互依賴和制約更需求了解這兩個隨機變量的相互依賴和制約關(guān)系。因此，關(guān)系。因此， 我們將二者作為一個整體來進展研討，我們將二者作為一個整體來進展研討，記為記為(X, Y),稱為二維隨機變向量。稱為二維隨機變向量。 設(shè)X、Y 為定義在同一樣本空間上的隨機變量，那么稱向量 X，Y 為上的一個二維隨機變量。n定義定義二維隨機變量二維隨機變量二維隨機變量二維隨機變量(X, Y)(X, Y)的取值可看作平面上的點的取值可看作平面上的點x，yA二維隨機變量的結(jié)合分布函數(shù)二維隨機變量的結(jié)合分布函數(shù)假設(shè)假設(shè)X X，Y Y是隨機變量，是隨機變量，對于恣意的實數(shù)對于恣意的實數(shù)x,y.x,y.

3、( , ),F x yP Xx Yy稱為二維隨機變量的結(jié)合分布函數(shù)稱為二維隨機變量的結(jié)合分布函數(shù)(1)( , )F x yxy分別關(guān)于 和 單調(diào)不減(, )0Fy( ,)0F x (,)0F (,)1F (2) 0( , )1F x y(3) xy(x,y)x1x2y1y2 P Px1x1 X X x2x2，y1y1 Y Y y2y2 = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)F(x1,y1)結(jié)合分布函數(shù)表示矩形域概率結(jié)合分布函數(shù)表示矩形域概率P Px1 x1 X X x2 x2，y1 y

4、1 Y Y y2 y2F(x2,y2)F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x2,y1)-F(x1,y2)-F(x1,y2)+F(x1,y1)+F(x1,y1)二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量 假設(shè)二維假設(shè)二維 隨機變量隨機變量 X X，Y Y的一的一切能夠取值只需限對或可列對，那么稱切能夠取值只需限對或可列對，那么稱X X，Y Y為二維離散型隨機變量。為二維離散型隨機變量。如何反映如何反映X X，Y Y的取值規(guī)律呢？的取值規(guī)律呢？n研討問題研討問題聯(lián)想一維離散型隨機變量的分布律。聯(lián)想一維離散型隨機變量的分布律。111ijijp YX1y2yjy1x11p12p1 jp2x21p22p2

5、 jpix1 ip2ipijp。.。.。. 。. 。. 。. 。. 。.。. 。. 。. 。. . 。. 。性質(zhì)性質(zhì) 01ijp, (1,2,;1,2,)ijijP Xx Yypij 一個口袋中有三個球， 依次標(biāo)有數(shù)字1， 2， 2， 從中任取一個， 不放回袋中， 再任取一個， 設(shè)每次取球時， 各球被取到的能夠性相等.以、分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字， 求(, )X Y的結(jié)合分布列的結(jié)合分布列. (, )X Y的能夠取值為的能夠取值為(1， 2)， (2， 1)， (2， 2). ， (1/3) (1/3) (2/2) (2/2)1/31/3， ， (2/3) (2/3) (1/2

6、)(1/2)1/31/3， ，= (2/3) = (2/3) (1/2)(1/2)1/31/3， 1/31/31/3 例例解解 見書P69，習(xí)題1(, )X Y的能夠取值為的能夠取值為例例解解(0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，2，011(, )(0,0),(, )( 1,1)6315(, )( 1,1 3),(, )(2,0)1212PX YPX YPX YPX Y X，Y的的結(jié)合分布律為結(jié)合分布律為 y X011/301/600-101/31/1225/1200( ,)( , )xyF x yf u v dudv 那么稱那么稱(X,Y)(X,Y)是二元延續(xù)型隨機變量。是二

7、元延續(xù)型隨機變量。f fx x，y y稱為稱為二元隨機變量二元隨機變量(X,Y)(X,Y)的結(jié)合概率密度函數(shù)的結(jié)合概率密度函數(shù). .二維延續(xù)型隨機變量的結(jié)合概率密度二維延續(xù)型隨機變量的結(jié)合概率密度 結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)( ,)1fx y dxdy( ,)( ,)DPx yDf x y dn非負性非負性Dxy( , )f x y( , )0f x y n. .2( , )( , )F x yf x yx y n. .(,)1F 隨機事件的概率隨機事件的概率=曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(, )X Y的概率密度為的概率密度為 (1) 確定常數(shù)確

8、定常數(shù) k； (23 ) 0,0( , ) 0 xykexyf x y其它(, )X Y (2) 求求的分布函數(shù)；的分布函數(shù)；04,01PXY(3)求； . P XY (4) 求求例例23 00 xykedxedy230011 23xykee6k (1)(23 ) 0 0 xykedxdy 116k ( , )f x y dxdy 所以所以 解解 ( , )( , )xyF x yf u v dudv (2)當(dāng)當(dāng) 時，時，0,0 xy或( , )0F x y 當(dāng)當(dāng) 時，時，0,0 xy且2300( , )6xyxyF x yedudv 23(1)(1)xyee 所以，所以，23(1)(1),

9、(0,0)( , ) 0 xyeexyF x y 其他 04, 01PXY(3) 1 4(23 ) 0 06xyedxdy 83(1)(1)0.95ee4 1或解或解 04, 01PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(4,1)F83(1)(1)0.95ee0,0 xyyx x0y( , )DP XYf x y dxdy(4)32310yyeedy35323310055yyedyedy ( , )x yf x y dxdy(23 )600 xyyedx dy224例例 知二維隨機變量知二維隨機變量X，Y的分布密度為的分布密度為 1(6), 02,24( , )8 0, xyxy

10、f x y其他求概率求概率 (1)1,3 ;(2)3P XYP XY解解 1,3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8dxxy dy112320113(6)828yxyydx3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8xdxxy dy1232011(6)82xyxyydx524續(xù)解續(xù)解 .x+y=3 思索思索 知二維隨機變量知二維隨機變量X，Y的分布密度為的分布密度為 1(6), 02,24( , )8 0, xyxyf x y其他求概率求概率 41P XYX2241解答解答 41P XYX4,11P XYXP X241224121(6)81(6)8xdxx

11、y dydxxy dy7 4873 818二維均勻分布二維均勻分布1,( , )( , )0,x yDf x yA其它設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 (, )X Y的概率密度為的概率密度為 DA(, )X YD上服從均勻分布上服從均勻分布.在在，那么稱，那么稱是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為其中其中 思索思索 知二維隨機變量知二維隨機變量X，Y服從區(qū)域服從區(qū)域D上的上的均勻分布，均勻分布，D為為x軸，軸，y軸及直線軸及直線y=2x+1所圍成的三角形所圍成的三角形區(qū)域。求區(qū)域。求1分布函數(shù)；分布函數(shù)；2 12P Y解解 X,Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 y=2x+1 -1/2

12、 ( , ),F x yP Xx Yy1當(dāng)當(dāng) 時，時，12x ( , )0F x yP 分布函數(shù)為分布函數(shù)為 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他y=2x+1 -1/2 2當(dāng)當(dāng) 時，時，102x0( , )0,yf x y時，( , )0F x y 所以，021yx 時，( , )4F x ydxdy梯形42212ySyx 梯形21yx 時，( , )4F x ydxdy三角形21442Sx三角形y=2x+1 -1/2 3當(dāng)當(dāng) 時，時，0 x 0( , )0,yf x y時，( , )0F x y 所以，01y 時，( , )4F x ydxdy梯形4212ySy梯形1

13、y 時，( , )4F x ydxdy三角形41S三角形所以，所求的分布函數(shù)為所以，所求的分布函數(shù)為 21 0, (0)21221 , (0,021)2211( , )4, (0,21)2221, (0,01)2 1, (0,1)xyyyxxyxF x yxxxyyyxyxy 或0.5y=2x+1 -1/2 12P Y4dxdy梯形34二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 (, )X Y的概率密度為的概率密度為 12222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)f x yxxyy (,)xy 1212, 120,0, 11 其中其中均為參數(shù)均為參

14、數(shù) 那么稱那么稱 (, )X Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為 1212, 的二維正態(tài)分布的二維正態(tài)分布 221212(, )N 邊緣分布邊緣分布 marginal distribution(, )X Y 二維隨機變量二維隨機變量 ,是兩個隨機變量視為是兩個隨機變量視為一個整體，來討論其取值規(guī)律的，我們可用分布一個整體，來討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數(shù)來描畫其取值規(guī)律。函數(shù)來描畫其取值規(guī)律。( , ),F x yP Xx Yy 問題：能否由二維隨機變量的分布來確定兩個問題：能否由二維隨機變量的分布來確定兩個一維隨機變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？一維隨機變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？邊緣分布問題邊緣分

15、布問題 邊緣分布邊緣分布 marginal distribution(, )X Y( , )F x y 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ， (, )X YXY依次稱為二維隨機變量依次稱為二維隨機變量關(guān)于關(guān)于和關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( )( ,)XFxF x( )(, )YFyFy( ),(, )YFyP YyP XYyFy 二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布,ijijP Xx Yyp,1,2,3,i j 假設(shè)二維離散型隨機變量假設(shè)二維離散型隨機變量X,Y的結(jié)合分布律為的結(jié)合分布律為 即即 Y

16、Xy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33ijjiipP Xxp二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布jijijpP Yyp關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布的邊緣分布關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布jijijpP Yyp關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布的邊緣分布關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.ijjiipP Xxp第第i行之和行之和Yy1y2y

17、3概率P.1P.2P.3二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布例例1 設(shè)二維離散型隨機變量設(shè)二維離散型隨機變量X,Y的結(jié)合分布律為的結(jié)合分布律為 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求關(guān)于求關(guān)于X、Y的邊緣分布的邊緣分布關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布Y011/3概率7/121/31/12解解 關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布為的邊緣分布為 X-102概率5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200X，Y的結(jié)合分布列的結(jié)合分布列 二維延續(xù)型隨機變量的邊緣分布二維延續(xù)型隨機變量的邊緣分布 ( )( ,)( , )XxFxF xf u v

18、 dv du n關(guān)于關(guān)于X的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 ( )( ,)Xfxf x y dyn關(guān)于關(guān)于Y的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 ( )(, )( , )YyFxFyf u v du dvY的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為 關(guān)于關(guān)于 ( )( ,)Yfyf x y dxX的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為 關(guān)于關(guān)于 例例2 2 設(shè)設(shè)X, YX, Y的結(jié)合的結(jié)合密度為密度為01,13( , )0kxyxyf x y其它求求k值和兩個邊緣分布密度函數(shù)值和兩個邊緣分布密度函數(shù)12k ( )( , )Xfxf x y dy 311021kydyxdxk解解由由 ( , )1dxf x y d

19、y得得 0,1x當(dāng)當(dāng) 時時 31122( )Xfxxydyx 關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 113113( )0Xfx 20,1( )0Xxxfx其它1,3( )40Yyyfy其它解解所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 ( )( , )Yfyf x y dx ( )0Yfy 所以，關(guān)于所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 0,1x當(dāng)當(dāng) 時時 1,3y當(dāng)當(dāng) 時時 1,3y當(dāng)當(dāng) 時時 10124( )Yyfyxydx 關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 邊緣分布密度和概率的計算邊緣分布密度和概率的計算例例3設(shè)設(shè)X, Y) 的結(jié)合分布密度為的結(jié)合分布

20、密度為 221( , )0kxyf x y 其它其它1求求k值值(2) 求關(guān)于求關(guān)于X和和Y的邊緣密度的邊緣密度3求概率求概率P(X+Y1/2)(2)( )( , )Xfxf x y dy 22111( )xXxfxdy均勻分布均勻分布解解 (1)由由 ( , )1f x y dxdy 2211xykdxdyk得得 1k 1,1x 當(dāng)當(dāng) 時時221x-11221 1,1( )0Xxxfx 其它 1,1x 當(dāng)當(dāng) 時時( )0Xfx 所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣的邊緣分布密度函數(shù)為分布密度函數(shù)為 -11續(xù)解續(xù)解 . -11( )( , )Yfyf x y dx 22111( )yYyfydx221

21、 1,1( )0Yyyf y其它解解 1,1y 當(dāng)當(dāng) 時時 1,1y 當(dāng)當(dāng) 時時( )0Yfy 所以，關(guān)于所以，關(guān)于Y的邊緣的邊緣分布密度函數(shù)為分布密度函數(shù)為 221y1()( ,)2DP Xf x y dxdy(1)( , )DP XYf x y dxdy 解解 3 13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy 22111121xxdxdy見課本見課本P59P59例例3 3 假設(shè)二維隨機變量假設(shè)二維隨機變量X，Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 221212,N 那么兩個邊緣分布分別服從正態(tài)分布那么兩個邊緣分布分別服從正態(tài)分布 211,XN 222,YN 與相關(guān)系數(shù)與

22、相關(guān)系數(shù) 無關(guān)無關(guān) 可見，結(jié)合分布可以確定邊緣分布，可見，結(jié)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定結(jié)合分布但邊緣分布不能確定結(jié)合分布例例4 設(shè)設(shè)X，Y的結(jié)合分布密度函數(shù)為的結(jié)合分布密度函數(shù)為 2221( , )(1 sin sin ), ,2xyf x yexyx y 求關(guān)于求關(guān)于X，Y的邊緣分布密度函數(shù)的邊緣分布密度函數(shù) 解解 關(guān)于關(guān)于X的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 ( )( , )Xfxf x y dy2221(1 sin sin )2xyexy dy22222211sin sin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212xe22221sinsin2xyexe

23、ydy0,1XN所以，所以， 0,1YN同理可得同理可得 不同的結(jié)合分布，可不同的結(jié)合分布，可有一樣的邊緣分布。有一樣的邊緣分布?？梢?，結(jié)合分布可以確定邊緣分布，可見，結(jié)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定結(jié)合分布但邊緣分布不能確定結(jié)合分布隨機變量的相互獨立性隨機變量的相互獨立性( , )( )( )XYf x yfxfyn 特別，對于離散型和延續(xù)型的隨機變量，該定義特別，對于離散型和延續(xù)型的隨機變量，該定義分別等價于分別等價于 ijijppp對恣意對恣意i,j 對恣意對恣意x,y 在實踐問題或運用中，當(dāng)在實踐問題或運用中，當(dāng)X X的取值與的取值與Y Y的取值互不影響的取值互不影響時，我

24、們就以為時，我們就以為X X與與Y Y是相互獨立的，進而把上述定義式當(dāng)是相互獨立的，進而把上述定義式當(dāng)公式運用公式運用. . 在在X與與Y是相互獨立的前提下，是相互獨立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy設(shè)設(shè)X，Y的概率分布律為的概率分布律為證明：證明：X、Y相互獨立。相互獨立。例例1 1ijijppp 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx逐個驗證等式逐個驗證等式 證證 X X與與Y Y的邊緣分布律分別為的邊緣分布律分別為XX

25、、Y Y相互獨立相互獨立111.1220ppp 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y121.2120ppp131.3420ppp212.1ppp 222.2ppp 232.3ppp 313.1ppp 323.2ppp 333.3ppp 例例2 2 設(shè)設(shè)X X，Y)Y)的概率密度為的概率密度為(23 )60 ,0( , )0 xyexyx y其他求求 (1) P (1) P0X1 0X1 ，0Y10Y1 (2) (X,Y) (2) (X,Y)的邊緣密度，的邊緣密度， 3 3判別判別X X、Y Y能否獨立。能否獨立。解解 設(shè)設(shè)A=A=

26、x x，y y：0 x1 0 x1 ，0y10y1 ( , )01,01( , )x yAPxyx y dxdy112323006(1)(1)xydxedyee11( )( , )Xxx y dy22, (0)( )0, (0)xXexxx 邊緣密度函數(shù)分別為邊緣密度函數(shù)分別為當(dāng)當(dāng) 時時0 x 2320( )62xyxXxedye當(dāng)當(dāng) 時時0 x ( ) 0Xx所以，所以， 同理可得同理可得 33, (0)( )0, (0)yYeyyy232,03,0( ),( )0 ,00 ,0 xyXYexeyxyxy(23 )6, (0,0)( )( )0, xyXYexyxy其它所以所以 X X 與與

27、 Y Y 相互獨立。相互獨立。(, )xy例例3 知二維隨機變量知二維隨機變量X，Y服從區(qū)域服從區(qū)域D上的均勻分上的均勻分 布，布，D為為x軸，軸，y軸及直線軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)所圍成的三角形區(qū) 域。判別域。判別X，Y能否獨立。能否獨立。 解解 X,Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他當(dāng)當(dāng) 時，時，102x210( )4xXfxdy4(21)x所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 14(21), (0)( )2 0, Xxxfx其它關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 ( )( , )Xfxf x y

28、dy當(dāng)當(dāng) 或或 時時12x 0 x ( )0Xfx 當(dāng)當(dāng) 時，時，01y012( )4yYfydx2(1)y所以，關(guān)于所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 2(1), (01)( ) 0, Yyyfy其它關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 ( )( , )Yfyf x y dx當(dāng)當(dāng) 或或 時時0y 1y ( )0Yfy 18(21)(1),(0,01 )( )( )2 0, XYxyxyfxfy其它所以所以 ( , )f x y所以，所以，X與與Y不獨立。不獨立。 1,()()( , )0axb cydba dcf x y其他( , )|,x yaxbcyd11( )( , )

29、()()dXcfxf x y dydyba dcba a x b 1( )0Xfxbaotherwiseaxb 1( )0ycxydfycdotherwise 于是于是( , )( )( )XYf x yfxfy( )0Xfx ( , )x ab ( ) ( , )ZFzP ZzP g x yz設(shè)設(shè) (, )X Y是二維隨機變量是二維隨機變量, , 其結(jié)合分布函數(shù)為其結(jié)合分布函數(shù)為 ( , ),F x y(, )Zg X Y是隨機變量是隨機變量 ,X Y的二元函數(shù)的二元函數(shù) Zn 的分布函的分布函數(shù)數(shù)問題：如何確定隨機變量問題：如何確定隨機變量Z的分布呢？的分布呢？ 設(shè)設(shè) (, )X Y是二維

30、離散型隨機變量是二維離散型隨機變量, ,其結(jié)合分布列為其結(jié)合分布列為 , (1,2,;1,2,)iji jP Xa Ybpij(, )Zg X Y那么那么 是一維的離散型隨機變量是一維的離散型隨機變量 其分布列為其分布列為 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jP Zg a bpij例例 設(shè)設(shè) 的結(jié)合分布列為的結(jié)合分布列為 (, )X Y YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分別求出分別求出1X+Y；2X-Y；3X2+Y-2的的分布列分布列解解 由由X X，Y Y的結(jié)合分布列可得如下表格的結(jié)合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457(, )X Y( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0)1( , 2)21( , 1)2(3, 2)(3,0)XYXY22XY 解解 得所求的各分布列為得所求的各分布列為 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4 -11/457概率1/121/123/122/121/122/12