例談數(shù)形結合思想方法在解題中應用

1、例談數(shù)形結合思想方法在解題中應用數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，數(shù)學思想方法是解決數(shù)學問題的思維策數(shù)學思想方法蘊含于數(shù)學知識之中，又相對超脫于某一個具體的數(shù)學知識之外。數(shù)學思想方 法的教學比單純的數(shù)學知識教學困難得多。因為數(shù)學思想方 法是具體數(shù)學知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的反映，具有一定的抽 象性和概括性，它強調(diào)的是一種意識和觀念。常用的數(shù)學思 想方法主要有轉化與化歸的思想方法、數(shù)形結合的思想方 法、分類討論的思想方法、函數(shù)與方程的思想方法和建模的 思想方法等。其中，數(shù)形結合的思想方法運用尤為廣泛。這 是因為數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學，故 研究總是圍繞著數(shù)與形進行的?！皵?shù)”就是代數(shù)式、函數(shù)、

2、不等式等表達式，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結 合就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以形直觀地表達數(shù)， 以數(shù)精確地研究形?！皵?shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微?！?數(shù)形結合是研究數(shù)學問題的重要思想方法，它能有效地將形 象思維過渡到抽象思維。下面，略舉數(shù)例，談談數(shù)形結合的 思想方法在幾何解題中的運用。一、挖掘內(nèi)在聯(lián)系，找準結合點 運用數(shù)形結合的思想方法，關鍵在于立足題例，悉心觀察，深入思考，嚴謹分析，反復推敲，準確找到“數(shù)”與“形”的最佳結合點。在運用數(shù)形結合思想方法的過程中， 常用的結合點甚多。其中，筆者有感于如下兩點。1在數(shù)形結合中利用曲線的定義在圓錐曲線中，圓、橢圓、拋物線、雙曲線的定義揭

3、示 了動點在運動中與定點(定直線)所保持的特定關系。這種 特定關系正是“數(shù)”與“形”的最佳結合點之一。在解題 中，須善用之。例如，已知a ( , 0), b是圓f：上的一動點，線段ab的垂直平分線交bf于p。求動點 p的軌跡方程。分析(圖略)：由線段ab的垂直平分線易想到連接a、p, 勢必有pa二pb，于是pa+pf二fb,而fb是圓f的半徑(定值),且圓心f ( , 0)與點a ( , 0)均為定點。這些，正 好符合橢圓的定義。由a點、f點的坐標可知，動點p的 軌跡是中心在原點，焦點在x軸上的橢圓。故可用定義法解 之，一舉奏效。此題，若設動點p的坐標，按常法一一“軌 跡法”解之，則既難且繁，

4、然而，解題者卻極易步入此道。 因此，我們務必加強數(shù)形結合的思想意識。2在數(shù)形結合中 利用曲線與方程的關系曲線與方程的關系是“數(shù)”與“形”的結合點之一。其通常用法是：曲線上的點的坐標必然適合于曲線的方程。若 點的坐標含有未知數(shù)，則把點的坐標代入曲線方程，旨在利 用曲線與方程的關系建立新的方程，解決問題。這較之利用 其它等量關系建立方程更為簡捷。例如，如圖，已知p (3a, a)是反比例函數(shù)(k>0)與oo的一個交點，圖中陰影部分的面積為ion,求該 反比例函數(shù)式。分析：圖中陰影部分的面積正好是。面積的，所以oo 面積為40口。因為點p (3a, a)既在雙曲線上又在圓上， 其坐標必然分別適

5、合于它們的方程，故可建立新的方程 (組)，以求k之值。簡述：點p (3a, a)在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上，.，.，v4on=n ,=40, aoo的方程為,.點 p (3a, a)在oo 上，.i , .i ,故該反比例函數(shù)式為二、擺脫思維定勢，力避局限性值得注意的是，數(shù)形結合的思想方法在運用中，有其局 限性，不可泛用和濫用，有時則須擺脫其思維定勢的影響， 另辟新徑。否則，極易步入歧途，自找麻煩，甚至無功而返。 例如，下面的一道組合式幾何題，第一小題，用數(shù)形結合的 思想方法，不難解之，但第二小題若用數(shù)形結合的思想方法, 則障礙重重，特別是第二問，更是多方設形，難以奏效。但 如若采用

6、三角函數(shù)與不等式的計算方法，則既易且簡，水到 渠成。其為一一已知菱形abcd的邊長為6,且zb=60°，現(xiàn)有兩動點p、 q均以1單位s的速度分別從d、c同時出發(fā)，點p沿射線 dc運動，點q沿折線c-b-a運動，當q到達a點時運動停 止，設運動時間為t（1）當q在邊cb上時（不與b、c重合），試判斷zkapq的形狀。分析（圖略人要判斷aapq的形狀，則須考察其三邊是否彼此相等。一般是利用三角形全等的性質(zhì)解決問題。于是, 連接a、c,考察aabo與aacp是否全等，繼而進一步探索,aapq是否是等邊三角形。簡述：連接a、c,由菱形得性質(zhì)易知zbca=zpca=60° ,可知zk

7、abc是等邊三角形，ab二ac, zb-zpca,又易知bq=cp, /.aabqaacp,aq=ap, zbaq二zcap,又易知zbac=60° , a zpaq=60° ,故zxapq 是等邊三角形。（2）當點q在ec邊上時（不與b、c重合），求acpq周長的最小值及acpq面積的最大值。求acpq周長的最小值 分析（圖略）：由于易知qc+cp二6 （定值），所以pq最小時，其周長的值最小。如果從“形”入手，則估計這時p、q 分別為dc、cb的中點，記為m、n,于是作aaop與zxanm, 由于aaqp形成的瞬時性，則只須證明pq>mn即可。由前面（1）中的結論

8、知,aaqp與zkanm均為等邊三角形,.pq=ap, am=mn, ?易知zxacd是等邊三角形，.可知am丄cd, ?.ap>am, 故pq>mn,然后再計算之。這里，圖形從略。但此法實乃不 易。由于zc=120° ,故應擺脫數(shù)形結合思維定勢的影響， 用余弦定理解之，則事半而功倍。簡述：設cp=a, qc=b,易知a+b=6 （定值），由余弦定 理可得：,又va+b=6 （定值），且a>0,b>0,二由一個重要不等式知，當a二b時，ab最大，這時，pq最小，acpq的周 長也最小。由a=b=3得，.：，故周長的最小值為。求acpq面積的最大值分析：只要不拘泥于從"形”入手，試圖比較圖形面積 的大小，則易想到直接利用三角形的面積公式s= absinc 進行計算了。至此，勢必豁然開