例談數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中應(yīng)用

1、例談數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的思維策數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，又相對(duì)超脫于某一個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)之外。數(shù)學(xué)思想方 法的教學(xué)比單純的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)困難得多。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方 法是具體數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的反映，具有一定的抽 象性和概括性，它強(qiáng)調(diào)的是一種意識(shí)和觀念。常用的數(shù)學(xué)思 想方法主要有轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方 法、分類討論的思想方法、函數(shù)與方程的思想方法和建模的 思想方法等。其中，數(shù)形結(jié)合的思想方法運(yùn)用尤為廣泛。這 是因?yàn)閿?shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，故 研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的?！皵?shù)”就是代數(shù)式、函數(shù)、

2、不等式等表達(dá)式，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié) 合就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以形直觀地表達(dá)數(shù)， 以數(shù)精確地研究形?！皵?shù)無形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微?！?數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，它能有效地將形 象思維過渡到抽象思維。下面，略舉數(shù)例，談?wù)剶?shù)形結(jié)合的 思想方法在幾何解題中的運(yùn)用。一、挖掘內(nèi)在聯(lián)系，找準(zhǔn)結(jié)合點(diǎn) 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，關(guān)鍵在于立足題例，悉心觀察，深入思考，嚴(yán)謹(jǐn)分析，反復(fù)推敲，準(zhǔn)確找到“數(shù)”與“形”的最佳結(jié)合點(diǎn)。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的過程中， 常用的結(jié)合點(diǎn)甚多。其中，筆者有感于如下兩點(diǎn)。1在數(shù)形結(jié)合中利用曲線的定義在圓錐曲線中，圓、橢圓、拋物線、雙曲線的定義揭

3、示 了動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中與定點(diǎn)(定直線)所保持的特定關(guān)系。這種 特定關(guān)系正是“數(shù)”與“形”的最佳結(jié)合點(diǎn)之一。在解題 中，須善用之。例如，已知a ( , 0), b是圓f：上的一動(dòng)點(diǎn)，線段ab的垂直平分線交bf于p。求動(dòng)點(diǎn) p的軌跡方程。分析(圖略)：由線段ab的垂直平分線易想到連接a、p, 勢(shì)必有pa二pb，于是pa+pf二fb,而fb是圓f的半徑(定值),且圓心f ( , 0)與點(diǎn)a ( , 0)均為定點(diǎn)。這些，正 好符合橢圓的定義。由a點(diǎn)、f點(diǎn)的坐標(biāo)可知，動(dòng)點(diǎn)p的 軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。故可用定義法解 之，一舉奏效。此題，若設(shè)動(dòng)點(diǎn)p的坐標(biāo)，按常法一一“軌 跡法”解之，則既難且繁，

4、然而，解題者卻極易步入此道。 因此，我們務(wù)必加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。2在數(shù)形結(jié)合中 利用曲線與方程的關(guān)系曲線與方程的關(guān)系是“數(shù)”與“形”的結(jié)合點(diǎn)之一。其通常用法是：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)必然適合于曲線的方程。若 點(diǎn)的坐標(biāo)含有未知數(shù)，則把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，旨在利 用曲線與方程的關(guān)系建立新的方程，解決問題。這較之利用 其它等量關(guān)系建立方程更為簡(jiǎn)捷。例如，如圖，已知p (3a, a)是反比例函數(shù)(k>0)與oo的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為ion,求該 反比例函數(shù)式。分析：圖中陰影部分的面積正好是。面積的，所以oo 面積為40口。因?yàn)辄c(diǎn)p (3a, a)既在雙曲線上又在圓上， 其坐標(biāo)必然分別適

5、合于它們的方程，故可建立新的方程 (組)，以求k之值。簡(jiǎn)述：點(diǎn)p (3a, a)在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上，.，.，v4on=n ,=40, aoo的方程為,.點(diǎn) p (3a, a)在oo 上，.i , .i ,故該反比例函數(shù)式為二、擺脫思維定勢(shì)，力避局限性值得注意的是，數(shù)形結(jié)合的思想方法在運(yùn)用中，有其局 限性，不可泛用和濫用，有時(shí)則須擺脫其思維定勢(shì)的影響， 另辟新徑。否則，極易步入歧途，自找麻煩，甚至無功而返。 例如，下面的一道組合式幾何題，第一小題，用數(shù)形結(jié)合的 思想方法，不難解之，但第二小題若用數(shù)形結(jié)合的思想方法, 則障礙重重，特別是第二問，更是多方設(shè)形，難以奏效。但 如若采用

6、三角函數(shù)與不等式的計(jì)算方法，則既易且簡(jiǎn)，水到 渠成。其為一一已知菱形abcd的邊長(zhǎng)為6,且zb=60°，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)p、 q均以1單位s的速度分別從d、c同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)p沿射線 dc運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)q沿折線c-b-a運(yùn)動(dòng)，當(dāng)q到達(dá)a點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停 止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（1）當(dāng)q在邊cb上時(shí)（不與b、c重合），試判斷zkapq的形狀。分析（圖略人要判斷aapq的形狀，則須考察其三邊是否彼此相等。一般是利用三角形全等的性質(zhì)解決問題。于是, 連接a、c,考察aabo與aacp是否全等，繼而進(jìn)一步探索,aapq是否是等邊三角形。簡(jiǎn)述：連接a、c,由菱形得性質(zhì)易知zbca=zpca=60° ,可知zk

7、abc是等邊三角形，ab二ac, zb-zpca,又易知bq=cp, /.aabqaacp,aq=ap, zbaq二zcap,又易知zbac=60° , a zpaq=60° ,故zxapq 是等邊三角形。（2）當(dāng)點(diǎn)q在ec邊上時(shí)（不與b、c重合），求acpq周長(zhǎng)的最小值及acpq面積的最大值。求acpq周長(zhǎng)的最小值 分析（圖略）：由于易知qc+cp二6 （定值），所以pq最小時(shí)，其周長(zhǎng)的值最小。如果從“形”入手，則估計(jì)這時(shí)p、q 分別為dc、cb的中點(diǎn)，記為m、n,于是作aaop與zxanm, 由于aaqp形成的瞬時(shí)性，則只須證明pq>mn即可。由前面（1）中的結(jié)論

8、知,aaqp與zkanm均為等邊三角形,.pq=ap, am=mn, ?易知zxacd是等邊三角形，.可知am丄cd, ?.ap>am, 故pq>mn,然后再計(jì)算之。這里，圖形從略。但此法實(shí)乃不 易。由于zc=120° ,故應(yīng)擺脫數(shù)形結(jié)合思維定勢(shì)的影響， 用余弦定理解之，則事半而功倍。簡(jiǎn)述：設(shè)cp=a, qc=b,易知a+b=6 （定值），由余弦定 理可得：,又va+b=6 （定值），且a>0,b>0,二由一個(gè)重要不等式知，當(dāng)a二b時(shí)，ab最大，這時(shí)，pq最小，acpq的周 長(zhǎng)也最小。由a=b=3得，.：，故周長(zhǎng)的最小值為。求acpq面積的最大值分析：只要不拘泥于從"形”入手，試圖比較圖形面積 的大小，則易想到直接利用三角形的面積公式s= absinc 進(jìn)行計(jì)算了。至此，勢(shì)必豁然開