三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

1、第三節(jié) 三角函數(shù)圖像與性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1：會(huì)畫(huà)出函數(shù)的圖像。 2：了解三角函數(shù)的周期性。 3：理解正弦、余弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值以及與X軸的交點(diǎn)等）理解正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。教學(xué)過(guò)程： 正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)(下表中kZ).函數(shù)ysin xycos xytan x圖像定義域RRx|xR，且xk，kZ值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性為增；為減2k，2k為減；2k，2k為增 為增對(duì)稱(chēng)中心(k，0)對(duì)稱(chēng)軸xkxk無(wú)1三角函數(shù)存在多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)易錯(cuò)用“”聯(lián)結(jié)2研究三角函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)中心、奇偶性及對(duì)稱(chēng)軸時(shí)易忽視“kZ”這一條件試一試1函數(shù)

2、ytan的定義域是()A.B.C.D.答案：D2若函數(shù)f(x)cos 2x，則f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間為()A.B.C. D.解析：選B由f(x)cos 2x知遞增區(qū)間為，kZ，故只有B滿(mǎn)足1三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法先把函數(shù)式化成形如yAsin(x)(>0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間應(yīng)特別注意，考慮問(wèn)題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間的不同：(1)ysin；(2)ysin.2求三角函數(shù)值域(最值)的兩種方法(1)將所給函數(shù)化為yAsin(x)的形式，通過(guò)分析x的范圍，結(jié)合圖像寫(xiě)出函數(shù)的值域；(2)換元法：把sin x(cos x)看作一個(gè)整體，化

3、為二次函數(shù)來(lái)解決練一練1函數(shù)y|sin x|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A. B.C. D.解析：選C作出函數(shù)y|sin x|的圖像觀(guān)察可知，函數(shù)y|sin x|在上遞增2(2013·天津高考)函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1 BC. D0解析：選B由已知x，得2x，所以sin，故函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.例題講解：考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域與值域1.函數(shù)f(x)3sin在區(qū)間上的值域?yàn)?)A.B.C. D.解析：選B當(dāng)x時(shí)，2x，sin，故3sin，即此時(shí)函數(shù)f(x)的值域是.2(2014·湛江調(diào)研)函數(shù)ylg(sin x) 的定義域?yàn)開(kāi)解析：要使函數(shù)有意義

4、必須有即解得(kZ)，2k<x2k，kZ，函數(shù)的定義域?yàn)?答案：3函數(shù)y2cos2x5sin x4的值域?yàn)開(kāi)解析：y2cos2x5sin x42(1sin2x)5sin x42sin2x5sin x22(sin x)2.故當(dāng)sin x1時(shí)，ymax1，當(dāng)sin x1時(shí)，ymin9，故y2cos2x5sin x4的值域?yàn)?,1答案：9,1類(lèi)題通法1三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線(xiàn)或三角函數(shù)圖像來(lái)求解2三角函數(shù)值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所給的三角函數(shù)式變換成yAsin(x)的形式求值域；(3)把

5、sin x或cos x看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域；(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性典例求下列函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間：(1)y2sin；(2)ytan.解(1)由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.故函數(shù)y2sin的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)(2)把函數(shù)ytan變?yōu)閥tan.由k<2x<k，kZ，得k<2x<k，kZ，即<x<，kZ.故函數(shù)ytan的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)若將本例(1)改為“y2”，如何求解？解：畫(huà)出函數(shù)y2的圖像，易知其單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)類(lèi)題通法三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)

6、間的求法(1)代換法：所謂代換法，就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)整理后的整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)圖像法：函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖像上是：從左到右，圖像上升趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，圖像下降趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，畫(huà)出三角函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像易求它的單調(diào)區(qū)間提醒：求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)若x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時(shí)切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域針對(duì)訓(xùn)練1(2013·安徽師大附中3月月考)設(shè)>0，若函數(shù)f(x)sincos在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A. B.C. D1，)解析：選Bf(x)sin cossin x，若函

7、數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，故選B.2函數(shù)ycos的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)解析：函數(shù)ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k，2k，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.答案：(kZ)考點(diǎn)三三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與奇偶性正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形.正切函數(shù)的圖像只是中心對(duì)稱(chēng)圖形，應(yīng)把三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與奇偶性結(jié)合，體會(huì)二者的統(tǒng)一.歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：(1)求三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心；(2)由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)值；(3)三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用.角度一求三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心1(2014·揭陽(yáng)一模)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0)取得最小值，則函數(shù)

8、yf()A是奇函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B是偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱(chēng)C是奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)D是偶函數(shù)且圖像關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)解析：選C當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，sin1，2k(kZ)f(x)AsinAsin.yfAsin(x)Asin x.yf是奇函數(shù)，且圖像關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)角度二由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)值2(1)(2013·哈爾濱二模)若f(x)2sin(x)m，對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有ff，且f3，則實(shí)數(shù)m的值等于()A1 B±5C5或1 D5或1解析：選C由ff得，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x.故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，于是有2m3或2m3，即m1或5.(2)(2014&

9、#183;遼寧六校聯(lián)考)已知>0，函數(shù)f(x)cos的一條對(duì)稱(chēng)軸為x，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)，則有()A最小值2 B最大值2C最小值1 D最大值1解析：選A由題意知，T，2，故選A.角度三三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用3.(2013·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)偶函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0,0<<)的部分圖像如圖所示，KLM為等腰直角三角形，KML90°，KL1，則f的值為()A BC D.解析：選D由題意知，點(diǎn)M到x軸的距離是，根據(jù)題意可設(shè)f(x)cos x，又由題圖知·1，所以，所以f(x)cos x，故fcos.類(lèi)題通法1若f(x)Asin(

10、x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最大或最小值若f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.2對(duì)于函數(shù)yAsin(x)，其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線(xiàn)xx0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷課堂練通考點(diǎn)1下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是()Aycos 2xBysin 2xCytan 2x Dysin解析：選B選項(xiàng)A、D中的函數(shù)均為偶函數(shù)，C中函數(shù)的最小正周期為，故選B.2已知函數(shù)f(x)2sin(>0)的最小正周期為，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(kZ)B.(kZ)C.(

11、kZ)D.(kZ)解析：選D根據(jù)已知得，得2.由不等式2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)3函數(shù)ycos的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)解析：由ycoscos得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)答案：(kZ)4函數(shù)ytan的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析：由2xk(kZ)得，x(kZ)函數(shù)ytan的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是.答案：5(2013·陜西高考)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，設(shè)函數(shù)f(x)a·b.(1)求f(x)的最小正周期(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：f(x)·(