熱物理過程的數(shù)值模擬-計算傳熱學(xué)3

1、四、非線笥問題迭代式解法的收斂性每一層次上滿足迭代法求解的收斂條件+相鄰次間代數(shù)方程的系數(shù)變化不太大（亦即未知量的變化不太大多數(shù)情形下非線性問題迭代式解法是可以收斂的）。使相鄰兩層次間未知量變化不太大的措施：1、欠松弛迭代 常用逐次欠弛線迭法（SLUR）：一組臨時系數(shù)下逐線迭代求解+對所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去計算新的系數(shù)，常數(shù)，以進入下一層次的迭代。實施：常把欠松弛處理納入迭代過程，而不是在一個層次迭代完成后再行欠松弛。，用交替方向線迭代法求解這一方程，就實現(xiàn)了SLUR的迭代求解。為一般化起見，上式中上沒有標(biāo)以迭代層次的符號（J，GS時不相同）。2、采用擬非穩(wěn)態(tài)法前面已指出，穩(wěn)態(tài)

2、問題的迭代解法與非穩(wěn)態(tài)問題的步進法十分相似。對于非線性穩(wěn)態(tài)問題，從代數(shù)方程的一組臨時系數(shù)進入到另一組臨時系數(shù)亦好象非穩(wěn)態(tài)問題前進了一個時間層，非穩(wěn)態(tài)問題的物理特性：系數(shù)熱慣性越大（），溫度變化越慢，仿此，對穩(wěn)態(tài)非線性問題，可在離散方程中加入擬非穩(wěn)態(tài)項，以減小未知量托兩個層次間的變化，即由一直進行到收斂，虛擬時間步的大小通過計算實踐確定。3、采用Jacobi點迭代法中止迭代的判據(jù)（該層次迭代）除前述變化率判據(jù)外，還可以規(guī)定迭代的輪數(shù)，例如規(guī)定進行4-6次ADI線迭代就結(jié)束該層次上的計算。此時，用收斂速度低的丁迭代也就起到了欠松弛的作用。五、迭代法的收斂速度1、收斂速度對給定的代數(shù)方程組（包括是臨

3、時系數(shù)的情形），采用不同的迭代方法求解時，使一定的初始誤差縮小成倍所需要的迭代輪數(shù)K是不相的。因為G是對稱的，所以所以即 均<1對于給定的，所需迭代輪數(shù)k與成反比，規(guī)定用表示迭代法的收斂速度，則即所需迭代輪數(shù)與收斂速度成反比，收斂速度又與譜半徑成反比，收斂速度愈快，迭代輪數(shù)愈少。注意：不同的迭代方法每進行一輪迭代所需的運算次數(shù)不同，最終所需的計算時間的多少取決于迭代輪數(shù)及每一輪迭代所需的時間。2、收斂性的定性分析為什么不同的迭代方法的收斂速度不同，亦即為達(dá)到滿足一定精度要求所需的迭代輪數(shù)不同？以二維常物性、無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題來進行討論。1B、C 迭代法需要假定一個初場，例如假定一個均

4、場，從微分方程為看，均勻是其一個解，但卻不是所研究問題的解，為什么？因為它雖然滿足內(nèi)部節(jié)點上的離散方程，卻不滿足與邊界有關(guān)的節(jié)點的離散方程（圖中紅點），即不滿足邊界條件。所以迭代法的實質(zhì)是要通過迭代，盡快建立起與邊界條件相適應(yīng)的變量場，關(guān)鍵：必須使B、C的影響迅速傳入計算區(qū)域內(nèi)部，以改進節(jié)點變量值，盡快與B、C相應(yīng)，B、C的影響傳入愈快，逼近真解就愈快，收斂就越快！B、C的影響傳入計算區(qū)域內(nèi)部的快慢與哪些因素有關(guān)？（1）與迭代方法有關(guān)J迭代：節(jié)點溫度的更新均用上輪迭代所得的“舊”值來計算，所以完成一輪迭代后，B、C的影響只能傳入與邊界相鄰的一批節(jié)點上，即僅可傳入一個網(wǎng)格，且掃描方向與收斂快慢無

5、關(guān)。要在以后各輪迭代中，B、C的影響才由這些節(jié)點逐步向內(nèi)滲透，所以收斂慢。GS迭代：假設(shè)從左向右掃描，則每做完一輪迭代，左邊界和下邊界的影響傳遍全區(qū)域，而右邊界的影響只能傳入一個網(wǎng)格，且收斂速度受迭代掃描方向的影響。線迭代：GS線迭代。自左右掃描，完成一輪迭代不僅左邊界的影響逐步傳入，而且在每一列的直接求解中，上、下邊界的影響全部傳入到該列的各節(jié)點上，即一輪迭代使左、上、下邊界影響傳入全區(qū)域，但右邊界影響仍僅傳入一個網(wǎng)格。ADI：一輪迭代包括一次逐行、一次逐列的掃描；所以在每一輪迭代后所有邊界的影響均傳入計算區(qū)域內(nèi)部，從而加快了收斂速度。收斂速度的比較，正方形區(qū)域，1B、C，Laplace方程

6、五點格式，均勻網(wǎng)格步長為h。迭代方法點迭代線迭代Jacobih2/2h2Gouss-Seidelh22h2SOR2h2h（2）與邊界條件的性質(zhì)有關(guān)1B、C規(guī)定了邊界節(jié)點的溫度，影響直接傳入計算區(qū)域內(nèi)部；3B、C規(guī)定了環(huán)境溫度及定向點位置，對邊界溫度的限定程度比1B、C時弱，所以對內(nèi)部的影響也較弱；或?qū)⒁暈橥獠繙囟龋鋵τ嬎銋^(qū)域內(nèi)部的影響被外部換熱熱阻削弱，而1B、C可視為或外部熱阻的極限情況，故3B、C的影響比1B、C時弱。2B、C僅規(guī)定了壁面的鈄率，壁溫完全不確定，對內(nèi)部節(jié)點溫度值的改進提供的信息最少，收斂最慢?？梢?，為了提高代數(shù)方程迭代解法的收斂速度，應(yīng)力求使邊界條件的影響迅速傳入計算區(qū)域

7、內(nèi)部，措施：增加迭代解法中直接解法的成分，從點迭代線迭代ADI；適當(dāng)選擇掃描的始邊，多以1B、C或3B、C的邊界為始邊，少以2B、C（尤其是絕熱邊界）為掃描始邊。5-4 不規(guī)則區(qū)域的處理網(wǎng)格生成技術(shù)如何對不規(guī)則區(qū)域進行有效的處理，以便于進行傳熱與流動過程的數(shù)值模擬，是近年來計算傳熱研究中的一個重要課題。以上討論的傳熱過程大都發(fā)生在規(guī)則而簡單的區(qū)域中，但許多實際的熱傳遞現(xiàn)象是在不規(guī)則的區(qū)域中進行的，例如：套片管中肋片的傳熱 漸擴通道中的流動與換熱環(huán)形空間中的自然對流 流體外掠管束以上四種情形中的流動與換熱不是直角坐標(biāo)、圓柱軸對稱坐標(biāo)或極坐標(biāo)所能方便地予以描述。雖然有限元法在處理不規(guī)則邊界方面顯示

8、了極大的優(yōu)越性，但就流動與傳熱而言，在計算技巧與方法方面，有限差分法都比有限元法成熟。用有限差分法處理這類問題的方法可以歸納為以下幾種。1、采用階梯形邊界（網(wǎng)格）用階梯形邊界近似代替四分之一圓弧邊界。階梯形邊界（網(wǎng)格）是采用有限差分法計算不規(guī)則區(qū)域的最普通的方法。缺點：程序缺少通用性；曲面邊界上網(wǎng)格必須劃得比較細(xì)密（否則會引起較大誤差）。2、采用區(qū)域擴充法當(dāng)計算區(qū)域的邊界不規(guī)則程度不很嚴(yán)重時，可以采用區(qū)域擴充法，把計算區(qū)域擴充為直角坐標(biāo)，圓柱坐標(biāo)等常規(guī)正交坐標(biāo)系中易于描述的形狀。條件：保證原計算區(qū)域的情況不變！流動：把計算區(qū)域擴充到圖中虛線所示的整個圓形通道，從而可以應(yīng)用圓柱軸對稱坐標(biāo)系中的控

9、制方程加以描述。如何保證原來的情況不變？孔板區(qū)視為粘性無限大的“流體”，而其余區(qū)域的流體粘性值就等于真實值，邊界上流速賦為零，計算中零邊值將迅速傳到孔板區(qū)域內(nèi)，有效地模擬了孔板的存在。傳熱：對三種不同的邊界條件，具體的處理方式不同（1）均勻壁溫邊界條件令擴充區(qū)域中的導(dǎo)熱系數(shù)為無限大，而擴充后的區(qū)域邊界溫度則等于已知值。（2）絕熱的邊界條件令擴充區(qū)域中的材料導(dǎo)熱系數(shù)為零即可實現(xiàn)此條件（3）均勻熱流邊界條件可應(yīng)用附加源項法來實現(xiàn)，真實邊界上均勻熱流可以附加源項的形式置于與真實邊界相鄰的控制容積中去，而擴充區(qū)域則處于絕熱狀態(tài)。周期性二維漸擴、漸縮通道中的換熱，傾斜的邊界上作用有均勻的熱流。采用左下所

10、示階梯形網(wǎng)格，并把計算區(qū)域擴充到一個長方形，以便利用直角坐標(biāo)系求解?？匆粋€網(wǎng)格單元的放大后的情形，P控制容積的附加源項為Lef實際邊界與控制容積P的兩條邊界相交部分的長度；控制容積P的體積擴充區(qū)域，則控容P中的附加源項不會向擴充區(qū)域傳遞，從而實現(xiàn)了實附邊界上的均勻熱流加熱條件。（4）外部對流換熱邊界條件，根據(jù)附加源項法，此時P控制容積的兩個附加源項為網(wǎng)格節(jié)點P到實際邊界的距離區(qū)域擴充法的優(yōu)點：可以用按規(guī)則區(qū)域編制的通用程序來計算非規(guī)則區(qū)域的問題；易于實施。缺點：浪費一些計算機內(nèi)存及計算時間。3、采用三角形網(wǎng)格外節(jié)點法對于不規(guī)則區(qū)域中的導(dǎo)熱問題，采用三角形網(wǎng)格可以得到比較滿意的結(jié)果。從不規(guī)則區(qū)域

11、的三角形網(wǎng)格中劃出圍繞節(jié)點P的多邊形來分析。確定節(jié)點P所代表的控制容積：三角形外心作為控容的頂點，要求：三角形為銳角三角形，以保證外心一定在三角形內(nèi)；以三角形重心作為控容的頂點，對三角形形狀無限制；外心為控制容積頂點，P控制容積如圖所示，各部分平均導(dǎo)熱系數(shù)分別為，用控制容積能量平衡法建立離散方程。P-1之間的熱導(dǎo)所以常物性時，其它各節(jié)點（2-6）與P節(jié)點之間的熱導(dǎo)亦按上式計算，而只需把改換成相應(yīng)頂角即可，P控制容積的熱容：變物性時，圖示各部陰影部分的熱容量之和由控制容積P的熱平衡可得常物性時，上式變?yōu)橐陨隙接叶藴囟戎档臅r層未標(biāo)出，它取決于所采用的格式。邊界條件的處理：第一類邊界條件，無需專門

12、處理；第二、三類B、C邊界上的節(jié)點，需要仿上述方法建立補充方程和圖第二、三類邊界上的節(jié)點P的控制容積邊界加入熱量則計入到P控制容積的源項中，對第三類邊界條件，傳入熱量，其中的時層取決于所采用的格式。Winslow指出，當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)時，三角形網(wǎng)格所建立的離散方程的系數(shù)矩陣具有正定性，可用SOR求解；導(dǎo)熱系數(shù)與溫度有關(guān)時，為求迭代收斂，不宜采用SOR，且兩次迭代之間的可用欠松弛。根據(jù)實際問題的需要，可以采用三角形網(wǎng)格與矩形網(wǎng)格的組合結(jié)構(gòu)，例如二維縱向肋片管。三角形網(wǎng)格的缺點：節(jié)點位置的確定、編號，節(jié)點間距的計算比較費時程序比較復(fù)雜。內(nèi)節(jié)點法：以每個三角形的外心為節(jié)點，其余同上。4、組合坐標(biāo)法二

13、維平直一彎曲段組成的通道，可采用坐標(biāo)系組合的方法，例如直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的組合，把該計算系統(tǒng)分成三個區(qū)域，在區(qū)域I、III中采用直角坐標(biāo)系，在區(qū)域II中采用極坐標(biāo)系。三個區(qū)域中垂直于主流方向的坐標(biāo)增量是一致的，但在主流方向上的坐標(biāo)不一致，為求得一致，在I、III區(qū)域中定義，則I、III區(qū)域中的也是弧度，與II區(qū)中一致，從而可以從入口截面開始就統(tǒng)一地連續(xù)計量坐標(biāo)。在各區(qū)域中分別按相應(yīng)的控制方程建立其離散方程，然后在整個區(qū)域內(nèi)統(tǒng)一地求解代數(shù)方程。三個區(qū)域的兩個分界線作為主控制容積的界面線，所以當(dāng)采用交錯網(wǎng)格時，主流方向速度的控制容積將跨越兩個區(qū)域，如圖所示。該速控制容積的分別按級坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系計算

14、，而可按并聯(lián)處理：先分別按兩區(qū)域中的半控制容積計算，后相加，源項亦仿此。5、采用特殊的正交坐標(biāo)系三維正交曲線坐標(biāo)系中，穩(wěn)態(tài)對流一擴散問題的通用控制方程為=控制方程寫成這種形式時，一切由曲線坐標(biāo)，滯流模型引起的附加項都包括在S中去了，因此，S的表達(dá)式一般比較復(fù)雜。曲面邊界平面通道中層流充分發(fā)展對流換熱，設(shè)x3主為主流方向，且為直線坐標(biāo)，再利用充分發(fā)展條件，可得式中，例于表中Cu3utu/pr在該流道截面的二維正交曲線坐標(biāo)系中取出一個控制容積P來分析，x3方向控制容積厚度為，將上面的控制方程在該控制容積上作積分，等式左端第一項為 =利用度規(guī)系數(shù)的性質(zhì)，上式進一步變?yōu)?=類似地，左端第二項積分為：等

15、號右端的積分為：其中控容體積為：將I、II、III代入積分式，整理得到其中前面導(dǎo)出的三種典型坐標(biāo)系中的二維導(dǎo)熱的離散方程只不過是上式的特殊形式，從上式出發(fā)，可以編制正交坐標(biāo)系中二維導(dǎo)熱的通用程序，不同坐標(biāo)系中只是規(guī)定的不同計算式即可。（對流動問題，采用原始變量法時，亦需應(yīng)用交錯網(wǎng)格）對于擴散（導(dǎo)熱）問題，當(dāng)計算區(qū)域的邊界正好與正交曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)相吻合時，采用相當(dāng)導(dǎo)熱體的概念可以使這類問題的計算得到簡化，無內(nèi)熱源時，能量方程為或如果把及視為一新直角坐標(biāo)系中的三個坐標(biāo)，把作為相當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)，記著，則上式化為這樣，在原直角坐標(biāo)系中的一個曲面物體就被轉(zhuǎn)換成了新直角坐標(biāo)系中的規(guī)則長方體，導(dǎo)熱系數(shù)由變成了

16、各向異性的相當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)，原直角坐標(biāo)系所代表的空間稱為物理空間，而新直角坐標(biāo)系所代表的則稱為計算空間，如圖所示：于是，該導(dǎo)熱問題可先在計算空間中求解，由于它在計算空間中是規(guī)則區(qū)域，數(shù)值計算易于進行，然后把計算空間中的計算結(jié)果傳送到物理空間中去，兩個空間中點的對應(yīng)關(guān)系由曲線坐標(biāo)的定義所規(guī)定。在由物理空間向計算空間轉(zhuǎn)換時，邊界條件亦應(yīng)作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換而成為計算空間長方體的邊界條件。第一類邊界條件：把給定溫度賦給計算空間中相應(yīng)的點即可。對第二、第三類邊界條件，相應(yīng)的模式列于表中類別空間第二類邊界條件第三類邊界條件物理空間計算空間把物理空間中的曲線坐標(biāo)系當(dāng)作計算空間中的直解坐標(biāo)系，從而把物理空間中不規(guī)則形狀

17、的求解區(qū)域變換成計算空間中規(guī)則的長方體（三維問題）或矩形（二維問題），這種做不僅適用于導(dǎo)熱問題，也可用于對流換熱問題，于是，有限差分法的一個主要弱點不易處理不規(guī)則邊界問題，可以說原則上已根本解決了?，F(xiàn)在的問題是，現(xiàn)成的曲線坐標(biāo)系的數(shù)目畢竟是有限的，而不規(guī)則形狀的物體則是千變?nèi)f化的，不可能滿足上述變換的需要。要使上述變換思想付諸實現(xiàn)，必須發(fā)展一套方法，對于那些沒有現(xiàn)成曲線坐標(biāo)系可以利用的復(fù)雜形狀，可以利用這套方法來建立一個與該物體相適應(yīng)的坐標(biāo)系，這就是適體坐標(biāo)系的思想。5-5 適體坐標(biāo)系（Body-Fitted coordinates）一、適體坐標(biāo)系的基本概念如上所述，最理想的坐標(biāo)系是其各坐標(biāo)軸

18、與所計算物體的邊界一一相符合的坐標(biāo)系，稱為適體坐標(biāo)系，又稱貼體坐標(biāo)系，附體坐標(biāo)系，無現(xiàn)成的坐標(biāo)系可資利用時，希望通過計算來構(gòu)造這樣的坐標(biāo)系，如圖所示。x-y坐標(biāo)系中的不規(guī)則區(qū)域ABCD，把其相交的兩個邊界作為曲線坐標(biāo)系的兩個軸，記為，且：（1）一條邊界上，只能一個坐標(biāo)單值地發(fā)生為化，另一個坐標(biāo)保持為常數(shù)；（2）在兩條對應(yīng)邊界上，另一組曲線坐標(biāo)的最大值與最小值對應(yīng)相等，以便在計算平面上得出矩形區(qū)域。問題：物理平面上，點（x，y）與計算平面上（）的對應(yīng)關(guān)系？求解結(jié)果的傳送？如果把視為物理平面上的兩個未知函數(shù)，那么上述確定的問題就是物理平面上的一個邊值問題，因此，從物理平面上來說，所謂要生成一個適體

19、坐標(biāo)系，實際上相當(dāng)于要求解物理平面上的一個邊值問題。反之，首先把物理平面上的區(qū)域ABCD按已規(guī)定的邊界上的值，畫成計算平面上的坐標(biāo)系中對應(yīng)的矩形，然后以均勻網(wǎng)格離散化，于是問題變?yōu)椋阂阎嬎銋^(qū)域邊界上各節(jié)點（）相應(yīng)的（），問在計算區(qū)域內(nèi)部任意一點（）對應(yīng)的（）值是多少？這樣，如把x、y視為計算平面的未知函數(shù)，則生成適體坐標(biāo)系的問題即為計算平面中的一個邊值問題。從數(shù)值計算的觀點，對生成的適體坐標(biāo)系有以下幾點要求：（1）物理平面上的點與計算平面上的點一一對應(yīng)，同一簇中的曲線不能相變，不同簇中的兩曲線只能相交一次；（2）在適體坐標(biāo)系中，每一個節(jié)點應(yīng)當(dāng)是一系列曲線坐標(biāo)軸的交點，而不是一群三角形元素的頂

20、點或無序的點群，以便設(shè)計有效，經(jīng)濟的算法及程序，采用矩形網(wǎng)格即可；（3）物理平面求解區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格疏密程度易于控制；（4）在物理平面的適體坐標(biāo)的邊界上，網(wǎng)格線最好與邊界線正交或接近正交，以便于邊界條件的離散化。二、生成適體坐標(biāo)系的方法分類大致可分為三類1、復(fù)變函數(shù)法利用復(fù)變函數(shù)的映射，可以把相當(dāng)一批二維不規(guī)則區(qū)域變換成矩形區(qū)域，而且可以得出解極或部分解析的變換關(guān)系式。相應(yīng)地：=復(fù)變函數(shù)映射所以控制方程的變化：因為，仍然是各向同性！代入原控制方程，得（條件）仍然是各向同性?？梢?，正交坐標(biāo)系法與復(fù)變函數(shù)法并不相同！2、代數(shù)變換法利有一些代數(shù)關(guān)系式來進行區(qū)域變換，具體實施方法頗多，最簡單的是邊界規(guī)范化的

21、方法。3、解微分方程的方法通過求解邊值問題的微分方程建立物理平面與計算平面上各點間的對應(yīng)關(guān)系。對該邊值問題的控制方程的類型，物理問題本身無任何限定，可以比較自由地按照對所生成網(wǎng)格的要求來選擇控制方程。三、計算平面上求解區(qū)域形狀的選擇1、物理平面上的區(qū)域由四條兩兩相交曲線構(gòu)成的單連通域計算平面上取為正方形或矩形；2、物理平面的L型區(qū)域：有兩種選擇3、物理平面上的型區(qū)域：兩種選擇特別注意：節(jié)點間一一對應(yīng)關(guān)系不要受破壞，計算平面中求解節(jié)點方程時，對重迭線上的節(jié)點，每一個變量應(yīng)有兩套數(shù)組，以分別存放從左邊和右邊計算而得之值。注意：計算平面上的尖角點未必對應(yīng)于物理平面上的尖角點，反之亦然，例如物理平面上一條連