三角形的內(nèi)角和提高知識講解

1、數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙-培根三角形的內(nèi)角和(提高)知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法；2掌握三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)；3能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，證明問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為 180°.要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題： 在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)； 已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)； 求一個三角形中各角之間的關(guān)系.要點(diǎn)二、三角形的外角1定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角如圖，/ACD是厶ABC的

2、一個外角.要點(diǎn)詮釋：(1)外角的特征：頂點(diǎn)在三角形的一個頂點(diǎn)上；一條邊是三角形的一邊；另一條邊是三角形某條邊的延長線.(2 )三角形每個頂點(diǎn)處有兩個外角，它們是對頂角.所以三角形共有六個外角，通常每個 頂點(diǎn)處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角.2. 性質(zhì)：(1) 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.(2) 三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角.要點(diǎn)詮釋：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使 用的理論依據(jù).另外，在證角的不等關(guān)系時也常想到外角的性質(zhì).3. 三角形的外角和：三角形的外角和等于 360° .要點(diǎn)詮釋：因?yàn)槿切蔚拿?/p>

3、個外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180° ,可推出三角形的三個外角和是360°.【典型例題】類型一、三角形的內(nèi)角和1 . (2016春？東平縣期中)適合條件/ A= / B=±/ C的三角形一定是()3A .銳角三角形B.鈍角三角形 C.直角三角形D .任意三角形【思路點(diǎn)撥】 設(shè)/ A=x，則/ B=x，/ C=3x .根據(jù)三角形的內(nèi)角和是 180°列方程求得三個 內(nèi)角的度數(shù)，即可判斷三角形的形狀.【答案與解析】解：設(shè)/ A=x，則/ B=x，/ C=3x.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得x+x+3x=180, x=36 .則/ C=108 &

4、#176; 則該三角形是鈍角三角形，故選B .【總結(jié)升華】本題利用設(shè)未知數(shù)的方法求出三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，解法較為巧妙.舉一反三：【變式1】三角形中至少有一個角不小于 度.【答案】60【高清課堂：與三角形有關(guān)的角練習(xí)(3)】【變式2】如圖，ACL BC,CD丄AB,圖中有對互余的角？有 對相等的銳角？【答案】3,2 .數(shù)學(xué)是最寶貴的研究精神之一-華羅庚2.在厶ABC中，/ ABC =Z C, BD是AC邊上的高，/ ABD = 30°,則/ C的度數(shù)是 多少？【思路點(diǎn)撥】按厶ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論.【答案與解析】解：分兩種情況討論：(1)當(dāng)厶ABC為銳角三角

5、形時，如圖所示，在ABD中，/ BD是AC邊上的高（已知），/ ADB = 90° （垂直定義）.又/ ABD = 30° （已知），/ A = 180° - / ADB - / ABD = 180° -90° -30°= 60°.又/ A+ / ABC+ / C = 180° （三角形內(nèi)角和定理），/ ABC+ / C = 120°,又/ ABC =Z C,./ C = 60°.（2）當(dāng)厶ABC為鈍角三角形時，如圖所示.在直角厶ABD中,/ ABD = 30° （已知），所以/ BA

6、D = 60 ° ./ BAC = 120°.又/ BAC+ / ABC+ / C = 180 ° （三角形內(nèi)角和定理），/ ABC+ / C = 60°./ C = 30°.綜上，/ C的度數(shù)為60°或30°.【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中， 只有正確作出圖形才能解決問題. 這就要求解 答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力； 要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問題也是我們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意的一個重要環(huán)節(jié).類型二、三角形的外角【高清課堂：與三角形有關(guān)的角例4、】3.如圖，在 ABC中，AEL BC于

7、E, AD為/ BAC的平分線，/ B=50o / C=70q 求/ DAE .BDE C【答案與解析】解：/ A= 180°/ B-Z C= 180° - 50° 70°= 60°又AD為/ BAC的平分線所以Z BAD=丄.BAC = 30 °2/ADE=Z B+Z BAD= 50o+ 30°= 80°又AE丄BC于E所以Z DAEf 90°-Z ADE= 90°- 80°= 10°舉一反三：【變式】如圖，在 ABC中，AB> AC AEL BC于E, AD為Z B

8、AC的平分線，則Z DAE與Z C -Z B的數(shù)量關(guān)系.【答案】.DAE = C - B4. 如圖所示，已知CE是厶ABC夕卜角/ ACD的平分線，CE交BA延長線于點(diǎn)E.求證: / BAC > / B.【答案與解析】證明：在厶ACE中，/ BAC > / 1 （三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角）.同理在 BCE中，/ 2 > / B ,因?yàn)? 1 = / 2,所以/ BAC > / B.【總結(jié)升華】涉及角的不等關(guān)系的問題時，經(jīng)常用到三角形外角性質(zhì)：“三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角”舉一反三：【變式】（2015春？高密市期末）一個零件的形狀如圖

9、，按規(guī)定/A應(yīng)等于90° / B、/ C應(yīng)分別是21°和32°現(xiàn)測量得/ BDC=148 °你認(rèn)為這個零件合格嗎？為什么？【答案】 解：延長CD與AB相交于點(diǎn)F./ DFB= / C+ / A=32 °+90°122° °又/ BDC= / DFB+ / B=122 °+21 °=143 °實(shí)際量得的/ BDC=148 °143° 148° ,這個零件不合格.類型三、三角形的內(nèi)角外角綜合 C5. (2015春？東臺市)已知，如圖，在厶ABC中，/ A= /

10、 ABC ,直線EF分別交 ABC 的邊AB，AC和CB的延長線于點(diǎn) D，E, F.(1 )求證：/ F+ / FEC=2 / A;(2)過B點(diǎn)作BM / AC交FD于點(diǎn)M ,試探究/ MBC與/ F+Z FEC的數(shù)量關(guān)系，并證明 你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)， 可得出Z FEC= Z A+ Z ADE , Z F+ Z BDF= Z ABC , 再根據(jù)Z A= Z ABC，即可得出答案；(2)由 BM / AC，得出 Z MBA= Z A , Z A= Z ABC，得出 Z MBC= Z MBA+ Z ABC=2 Z A , 結(jié)合(1)的結(jié)論證得答案即可.【答案與解析】(

11、1) 證明：TZ FEC= Z A+ Z ADE , Z F+ Z BDF= Z ABC ,Z F+ Z FEC= Z F+ Z A+ Z ADE ,vZ ADE= Z BDF , Z F+ Z FEC= Z A+ Z ABC ,vZ A= Z ABC , Z F+ Z FEC= Z A+ Z ABC=2 Z A .(2) Z MBC= Z F+Z FEC.證明：v BM / AC , Z MBA= Z A ,、vZ A= Z ABC , Z MBC= Z MBA+ Z ABC=2 Z A ,又vZ F+ Z FEC=2 Z A , Z MBC= Z F+Z FEC.【總結(jié)升華】主要考察了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是 利用角的和與差與等量代換解決問題.舉一反三：【變式1】如圖所示，五角星 ABCDE中，試說明Z A+ Z B+ Z C+ Z D+ Z E=180° .【答案】解：因?yàn)閆 AGF是厶GCE的外角，所以Z AGF= Z