函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)問(wèn)題

1、第二章 第11煉 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì) 函數(shù)及其性質(zhì)第11煉 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、函數(shù)零點(diǎn)，方程，圖像交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化：有關(guān)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及性質(zhì)的問(wèn)題會(huì)用到這三者的轉(zhuǎn)化，且這三者各具特點(diǎn)：（1）函數(shù)的零點(diǎn)：有“零點(diǎn)存在性定理”作為理論基礎(chǔ)，可通過(guò)區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)和函數(shù)的單調(diào)性確定是否存在零點(diǎn)（2）方程：方程的特點(diǎn)在于能夠進(jìn)行靈活的變形，從而可將等號(hào)兩邊的表達(dá)式分別構(gòu)造為兩個(gè)可分析的函數(shù)，為作圖做好鋪墊（3）圖像的交點(diǎn)：通過(guò)作圖可直觀的觀察到交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并能初步判斷交點(diǎn)所在區(qū)間。三者轉(zhuǎn)化：函數(shù)的零點(diǎn)方程的根方程的根函數(shù)與的交點(diǎn)2、此類(lèi)問(wèn)題的處理步驟：（1）作圖：可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造

2、函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，并作出函數(shù)圖像（2）確定變量范圍：通過(guò)圖像與交點(diǎn)位置確定參數(shù)和零點(diǎn)的取值范圍（3）觀察交點(diǎn)的特點(diǎn)（比如對(duì)稱性等）并選擇合適的方法處理表達(dá)式的值，3、常見(jiàn)處理方法：（1）代換法：將相等的函數(shù)值設(shè)為，從而用可表示出，將關(guān)于的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元表達(dá)式，進(jìn)而可求出范圍或最值（2）利用對(duì)稱性解決對(duì)稱點(diǎn)求和：如果關(guān)于軸對(duì)稱，則；同理，若關(guān)于中心對(duì)稱，則也有。將對(duì)稱的點(diǎn)歸為一組，在求和時(shí)可與對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）找到聯(lián)系二、典型例題：例1：已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：先做出的圖像，通過(guò)圖像可知，如果，則，設(shè)，即，由范圍可得：，從而，

3、所以，而，所以答案：C小煉有話說(shuō)：（1）此類(lèi)問(wèn)題如果圖像易于作出，可先作圖以便于觀察函數(shù)特點(diǎn)（2）本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一個(gè)是引入輔助變量，從而用表示出，達(dá)到消元效果，但是要注意是有范圍的（通過(guò)數(shù)形結(jié)合需與有兩交點(diǎn)）；一個(gè)是通過(guò)圖像判斷出的范圍，從而去掉絕對(duì)值。例2：已知函數(shù) ，若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得 ，則的取值范圍是_思路：的圖像可作，所以考慮作出的圖像，不妨設(shè)，由圖像可得： ，且關(guān)于軸對(duì)稱，所以有，再觀察，且，所以，從而 答案： 小煉有話說(shuō)：本題抓住關(guān)于對(duì)稱是關(guān)鍵，從而可由對(duì)稱求得，使得所求式子只需考慮的范圍即可例3：定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（ ） A. B. C

4、. D. 思路：為奇函數(shù)，所以考慮先做出正半軸的圖像，再利用對(duì)稱作出負(fù)半軸圖像，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象由兩部分構(gòu)成，分別作出各部分圖像。的零點(diǎn)，即為方程的根，即圖像與直線的交點(diǎn)。觀察圖像可得有5個(gè)交點(diǎn)：關(guān)于對(duì)稱，且滿足方程即，解得：，關(guān)于軸對(duì)稱，答案：B例4：已知，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 思路：從解析式中發(fā)現(xiàn)可看做與的交點(diǎn)，可看做與的交點(diǎn)，且，從而均可由進(jìn)行表示，所以可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再求最小值即可解：由圖像可得： 答案：B例5：已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 思路：可將零點(diǎn)化為方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)，作出圖像可得

5、，進(jìn)而可將中的絕對(duì)值去掉得： ，觀察選項(xiàng)涉及，故將可得：，而為減函數(shù)，且，從而，即答案：D例6：已知函數(shù)，存在，則的最大值為 思路：先作出的圖像，觀察可得：，所求可先減少變量個(gè)數(shù)，利用可得：，從而只需求出在的最小值即可：，所以函數(shù)在單增，在單減。從而 答案： 例7：已知定義在上的函數(shù)滿足： ，且，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（ ）A. B. C. D. 思路：先做圖觀察實(shí)根的特點(diǎn)，在中，通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)在關(guān)于中心對(duì)稱，由可得是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個(gè)周期中，關(guān)于中心對(duì)稱，以此類(lèi)推。從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點(diǎn)值在何處取到），再看圖像，可視為將的圖像向左平移2個(gè)單位后再向上平移2個(gè)單

6、位，所以對(duì)稱中心移至，剛好與對(duì)稱中心重合，如圖所示：可得共有3個(gè)交點(diǎn)，其中，與 關(guān)于中心對(duì)稱，所以有。所以答案：C例8：函數(shù)，直線與函數(shù)的圖像相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，從小到大，交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次記為，有以下四個(gè)結(jié)論 若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同實(shí)根，則的取值唯一則其中正確的結(jié)論是（ ）A. B. C. D. 思路：本題涉及到的取值，及4個(gè)交點(diǎn)的性質(zhì)，所以先作出的圖像，從而從圖上確定存在個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的范圍是，所以正確。從圖像上可看出在同一曲線， 在同一曲線上，所以在處理時(shí)將放在一組，放在一組。涉及到根的乘積，一方面為方程的兩根，所以由韋達(dá)定理，可得，而為方程的兩根，且，從而，即，所以有，正確 由中的過(guò)程可得：

7、，所以，從而，而， 設(shè)，則為增函數(shù)，所以正確可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)作圖可得的值不唯一綜上所述：正確答案：A 例9：已知函數(shù)，若，且，則的值（ ）A. 恒小于2 B. 恒大于2 C. 恒等于2 D. 與相關(guān)思路：觀察到當(dāng)時(shí)，為單調(diào)函數(shù)，且時(shí)，的圖像相當(dāng)于作時(shí)關(guān)于對(duì)稱的圖像再進(jìn)行上下平移，所以也為單調(diào)函數(shù)。由此可得時(shí)，必在兩段上。設(shè) ，可得，考慮使用代換法設(shè)，從而將均用表示，再判斷與的大小即可。解：設(shè)，不妨設(shè)，則 若，則為減函數(shù)，且 若，則為增函數(shù)，且 的值恒大于2答案：B例10：定義函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間（）內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為（ ） A B C D 思路：從可得：函數(shù)是以區(qū)間為一段，其

8、圖像為將前一段圖像在水平方向上拉伸為原來(lái)的2倍，同時(shí)豎直方向上縮為原來(lái)的，從而先作出時(shí)的圖像，再依以上規(guī)律作出的圖像，的零點(diǎn)無(wú)法直接求出，所以將轉(zhuǎn)化為，即與的交點(diǎn)。通過(guò)作圖可得，其交點(diǎn)剛好位于每一段中的極大值點(diǎn)位置，可歸納出中極大值點(diǎn)為，所以所有零點(diǎn)之和為 答案：D小煉有話說(shuō)：（1）本題考查了合理將軸劃分成一個(gè)個(gè)區(qū)間，其入手點(diǎn)在于的出現(xiàn)，體現(xiàn)了橫坐標(biāo)之間2倍的關(guān)系，從而所劃分的區(qū)間長(zhǎng)度成等比數(shù)列。（2）本題有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，即在作圖的過(guò)程中，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)恰好與相交在極大值點(diǎn)處，這一點(diǎn)需要通過(guò)計(jì)算得到：當(dāng)時(shí)，從而歸納出規(guī)律。所以處理圖像交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，如果在某些細(xì)節(jié)很難通過(guò)作圖直接確定，要通過(guò)函數(shù)值的計(jì)算來(lái)

9、確定兩圖像的位置三、近年模擬題題目精選1、（2016四川高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，若存在，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 2、（2016，蘇州高三調(diào)研）已知函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，設(shè)此三個(gè)零點(diǎn)中的最大值為，則_3、已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的大小關(guān)系是_4、已知函數(shù)的零點(diǎn)為，有使得，則下列結(jié)論不可能成立的是（ ）A. B. C. D. 5、已知，若方程有四個(gè)不同的解，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 6、已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 習(xí)題答案：1、答案：C解析：如圖可知： 2、答案：解析：，即與恰有三個(gè)公共點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得：橫坐標(biāo)最大值為直線與曲線在相切的切點(diǎn)。設(shè)改點(diǎn)，的導(dǎo)數(shù)為，所以，代入到所求表達(dá)式可得：3、答案：解析： ，在同一坐標(biāo)系下作出如圖所示可得。令，解得，所以，從而4、答案：C解析：可判斷出為減函數(shù)，則包含兩種情況，一個(gè)是均小于零?？芍?dāng)時(shí)，。所以的零點(diǎn)必在中，即，A選項(xiàng)可能；另一種情況為，則，