導(dǎo)體和電介質(zhì)習(xí)題解答

1、第十章 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)一 選擇題1. 半徑為R的導(dǎo)體球原不帶電，今在距球心為a處放一點(diǎn)電荷q ( aR)。設(shè)無限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，則導(dǎo)體球的電勢(shì)為 ( )解：導(dǎo)體球處于靜電平衡，球心處的電勢(shì)即為導(dǎo)體球電勢(shì)，感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球表面上，且，它們?cè)谇蛐奶幍碾妱?shì) 點(diǎn)電荷q在球心處的電勢(shì)為 據(jù)電勢(shì)疊加原理，球心處的電勢(shì)。所以選（A）選擇題2圖ssd2. 已知厚度為d的無限大帶電導(dǎo)體平板，兩表面上電荷均勻分布，電荷面密度均為s ，如圖所示，則板外兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 ( )解：在導(dǎo)體平板兩表面外側(cè)取兩對(duì)稱平面，做側(cè)面垂直平板的高斯面，根據(jù)高斯定理，考慮到兩對(duì)稱平面電場(chǎng)強(qiáng)度相等，且高斯面內(nèi)電荷為，

2、可得 。所以選（C）oRd+q選擇題3圖3. 如圖，一個(gè)未帶電的空腔導(dǎo)體球殼，內(nèi)半徑為R，在腔內(nèi)離球心的距離為 d處(d<R)，固定一電量為+q的點(diǎn)電荷。用導(dǎo)線把球殼接地后，再把地線撤去，選無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則球心o處的電勢(shì)為 ( )解：球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷為-q，球殼外表面上的電荷為零，所以有。所以選（ D ）4. 半徑分別為R和r的兩個(gè)金屬球，相距很遠(yuǎn)，用一根細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)線將兩球連接在一起并使它們帶電，在忽略導(dǎo)線的影響下，兩球表面的電荷面密度之比sR /sr為 ( )A Rr B. R2 / r2 C. r2 / R2 D. r / R解：兩球相連，當(dāng)靜電平衡時(shí)，兩球帶電量分

3、別為Q、q，因兩球相距很遠(yuǎn)，所以電荷在兩球上均勻分布，且兩球電勢(shì)相等，取無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，則 即 所以選（D）5. 一導(dǎo)體球外充滿相對(duì)介質(zhì)電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)，若測(cè)得導(dǎo)體表面附近場(chǎng)強(qiáng)為E，則導(dǎo)體球面上的自由電荷面密度s為 ( )A. 0 E B. 0r E C. r E D. (0r -0) E解：根據(jù)有介質(zhì)情況下的高斯定理，取導(dǎo)體球面為高斯面，則有，即。所以選（B）6. 一空氣平行板電容器，充電后測(cè)得板間電場(chǎng)強(qiáng)度為E0，現(xiàn)斷開電源，注滿相對(duì)介質(zhì)常數(shù)為r的煤油，待穩(wěn)定后，煤油中的極化強(qiáng)度的大小應(yīng)是（ ）解：斷開電源后，不管是否注入電介質(zhì)，極板間的自由電荷q不變，D0=D即 得到 又 所以選（

4、B）7. 兩個(gè)半徑相同的金屬球，一為空心，一為實(shí)心，兩者的電容值相比較 ( )A. 實(shí)心球電容值大 B. 實(shí)心球電容值小C. 兩球電容量值相等 D. 大小關(guān)系無法確定解：孤立導(dǎo)體球電容，與導(dǎo)體球是否為空心或者實(shí)心無關(guān)。所以選（C）8. 金屬球A與同心球殼B組成電容器，球A上帶電荷q，殼B上帶電荷Q，測(cè)得球和殼間的電勢(shì)差為UAB，則該電容器的電容值為（ ）A. q/UAB B. Q/UAB C. (q+Q)/ UAB D. (q+Q)/(2 UAB)解：根據(jù)電容的定義，應(yīng)選（A）。9. 一空氣平行板電容器，極板間距為d ，電容為c。 若在兩板中間平行地插入一塊厚度為d / 3的金屬板，則其電容值

5、變?yōu)?( )d /3d選擇題9題A. C B. C C. 3 C D. C解：平行板電容器插入的金屬板中的場(chǎng)強(qiáng)為零，極板上電荷量不變，此時(shí)兩極板間的電勢(shì)差變?yōu)椋?其電容值變?yōu)椋?所以選（C）10. 一平板電容器充電后保持與電源連接，若改變兩極板間的距離，則下述物理量中哪個(gè)保持不變？( )A. 電容器的電容量 B. 兩極板間的場(chǎng)強(qiáng)C. 電容器儲(chǔ)存的能量 D. 兩極板間的電勢(shì)差解：平板電容器充電后保持與電源連接，則兩極板間的電勢(shì)差不變；平行板電容器的電容，改變兩極板間的距離d，則電容C發(fā)生變化；兩極板間的場(chǎng)強(qiáng)，U不變，d變化，則場(chǎng)強(qiáng)發(fā)生變化；電容器儲(chǔ)存的能量，U不變，d變化，導(dǎo)致電容C發(fā)生變化，則

6、電容器儲(chǔ)存的能量也要發(fā)生變化。所以選（D）二 填空題1. 一任意形狀的帶電導(dǎo)體，其電荷面密度分布為s(x、y、z)，則在導(dǎo)體表面外附近任意點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E(x、y、z) = ，其方向 。解：E(x、y、z)= s(x、y、z)/0，其方向與導(dǎo)體表面垂直朝外(s>0)或與導(dǎo)體表面垂直朝里(<0)。s s 1s 2填充題2圖2. 如圖所示，一無限大均勻帶電平面附近設(shè)置一與之平行的無限大平面導(dǎo)體板。已知帶電面的電荷面密度為s ，則導(dǎo)體板兩側(cè)面的感應(yīng)電荷密度分別為s1 和s2 = 。解：由靜電平衡條件和電荷守恒定律可得：；。由此可解得： ；。3. 半徑為R1和R2的兩個(gè)同軸金屬圓筒(

7、R1< R2)，其間充滿著相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻介質(zhì)，設(shè)兩筒上單位長(zhǎng)度帶電量分別為l 和-l ，則介質(zhì)中的電位移矢量的大小D= ，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E= 。 解：根據(jù)有介質(zhì)情況下的高斯定理，選同軸圓柱面為高斯面，則有D= l /（2r），電場(chǎng)強(qiáng)度大小E= D/r0=l /（2r0 r）。4. 平行板電容器的兩極板A、B的面積均為S，相距為d，在兩板中間左右兩半分別插入相對(duì)介電常數(shù)為r1和r2的電介質(zhì)，則電容器的電容為 。解：該電容器相當(dāng)于是兩個(gè)面積為S/2的電容器的并聯(lián)，電容值分別為：，5. 半徑為R的金屬球A，接電源充電后斷開電源，這時(shí)它儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為5×10-5J,今將該球與

8、遠(yuǎn)處一個(gè)半徑是R的導(dǎo)體球B用細(xì)導(dǎo)線連接，則A球儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量變?yōu)?。解：金屬球A原先儲(chǔ)存的能量,當(dāng)它與同樣的金屬球B連接，則金屬球A上的電荷變?yōu)樵瓉淼?/2，則能量6 一空氣平行板電容器，其電容值為C0，充電后將電源斷開，其儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為W0，今在兩極板間充滿相對(duì)介電常數(shù)為r的各向同性均勻電介質(zhì)，則此時(shí)電容值C= ，儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量We = 。解：初始時(shí)電容，充電后將電源斷開，Q0不變，由，當(dāng)兩極板間充滿電介質(zhì)時(shí)，兩極板電勢(shì)差， ， 。7 一平行板電容器，極板面積為S，間距為d，接在電源上并保持電壓恒定為U。若將極板距離拉開一倍，那么電容器中靜電能增加了 ，電源對(duì)電場(chǎng)做功為 ，外力對(duì)極板做功為

9、 。解：初始時(shí)，電容器的靜電能，將極板距離拉開一倍，電容值變?yōu)?，極板間電壓不變，此時(shí)電容器的靜電能電容器中靜電能的增量 電源對(duì)電場(chǎng)做功由能量守恒，電源和外力做功的和等于電容器中靜電能的改變，所以外力做的功 三 計(jì)算題1. 如圖所示，一內(nèi)半徑為a、外半徑為b的金屬球殼，帶有電量Q，在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q，設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，試求：(1)球殼內(nèi)外表面上的電荷；(2)球心處由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢(shì)；(3)球心處的總電勢(shì)。解：（1）由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感應(yīng)電荷-q，外表面上帶電荷q+Q。（2）不論球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷是如何分布的，因?yàn)槿我浑姾稍xO點(diǎn)的距離都是a，所以

10、由這些電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為（3）球心O點(diǎn)處的總電勢(shì)為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和電荷q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和2. 一導(dǎo)體球半徑為R1，其外部是一個(gè)同心的厚導(dǎo)體球殼，球殼內(nèi)、外半徑分別為R2和R3。此系統(tǒng)帶電后內(nèi)球電勢(shì)為U， 外球殼所帶總電量為Q。求此系統(tǒng)各處的電勢(shì)和電場(chǎng)分布。解：設(shè)內(nèi)球帶電q1，則 由此得 ： ， ： ： ， ： 3電荷以相同的面密度s 分布在半徑為r1=10cm和r2=20cm的兩個(gè)同心球面上，設(shè)無限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，球心處的電勢(shì)為V0=300V。（1） 求電荷面密度s ；（2）若要使球心處的電勢(shì)也為零，外球面上應(yīng)放掉多少電荷？解：（1）球心處的電勢(shì)為兩個(gè)同心帶電球面各自在球

11、心處產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加，即 C/m2（2）設(shè)外球面上放電后電荷面密度為s，則應(yīng)有 即 ，所以外球面上應(yīng)變成帶負(fù)電，共應(yīng)放掉電荷：C4. 有兩塊平行板，面積各為100 cm2 板上帶有8.9×10-7C等值異號(hào)電荷，兩板間充以介電物質(zhì)，已知介質(zhì)內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為1.4×106Vm-1,求介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。解：由電介質(zhì)中的高斯定理得=6. 半徑為R的導(dǎo)體球，帶有正電荷Q，球外有一同心均勻電介質(zhì)球殼，球殼的內(nèi)外半徑分別為a和b，相對(duì)介電常數(shù)為r 。求：介質(zhì)內(nèi)外的D和E。 解：（1）由電介質(zhì)中的高斯定理得：， ， 又由，得： ， ， ， ， D和E的方向均沿徑向向外。 6兩同心導(dǎo)體球殼中間

12、充滿相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)，其余為真空，內(nèi)球殼半徑為R1，帶電量為Q1；外球殼半徑為R2，帶電量為Q2，如圖所示。求圖中距球心O分別為r1、r2、r3的a、b、c三點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)。解：分別取半徑為r1、r2、r3的高斯球面，利用高斯定理得： Ea=0沿徑向方向向外 沿徑向方向向外， 7. 一空氣平行板電容器，兩極板面積均為S，板間距離為d，在兩極板間平行地插入一面積也是S，厚度為t的金屬片，試求：(1)電容C等于多少？(2)金屬片在兩極板間放置的位置對(duì)電容值有無影響？解：設(shè)極板上分別帶電量+q和-q；金屬片與A板距離為d1，與B 板距離為d2；金屬片與A板間場(chǎng)強(qiáng)為E1 =q / (0 S

13、 )金屬板與B板間場(chǎng)強(qiáng)為 E2 =q / (0 S )金屬片內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為 則兩極板間的電勢(shì)差為UA-UB=E1d1+E2d2 =( q /0S)(d1+d2) = (q /0S) (d - t)由此得 C=q /(UA -UB) =0S /（d - t）因C值僅與d、t有關(guān)，與d1、d2無關(guān)，故金屬片的安放僅置對(duì)電容值無影響。89. 為了測(cè)量電介質(zhì)材料的相對(duì)電容率，將一塊厚為1.5cm的平板材料慢慢地插進(jìn)一電容器的距離為2.0cm的兩平行板之間。在插入過程中，電容器的電荷保持不變。插入之后，兩板間的電勢(shì)差減小為原來的60%，問電介質(zhì)的相對(duì)電容率為多少？解：加入電介質(zhì)后，電容器極板上的電荷保持不變，則空氣中的場(chǎng)強(qiáng)保持不變，空氣中的場(chǎng)強(qiáng)，而電介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)，兩極板間的電勢(shì)差為 由此得9半徑為2.0厘米的導(dǎo)體球外套有一個(gè)與它同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)外半徑分別為4.0厘米和5.0厘米，球與殼間是真空，殼外也是真空。當(dāng)內(nèi)球帶電荷為3.0×10-8庫(kù)侖時(shí)，試求：（1）這個(gè)系統(tǒng)的靜電能；（2）如果用導(dǎo)線把殼與球連在一起，結(jié)果如何？解：（1）設(shè)內(nèi)球帶電量為Q，球半徑為r1 ,導(dǎo)體球殼內(nèi)外半徑分別r2、r3由高斯定理，球外、殼外場(chǎng)強(qiáng)均為，球內(nèi)、殼內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為0；外球殼的電勢(shì) 內(nèi)球的電