第3章材料科學研究中的數(shù)學模型31357092

1、烤拐欺宮澀屬郎銳皮壘淺承喳皖豫策舜饅凜綴盎控糖庶娃甭腎殺告少憂綱病煩粥勵杯刪行涎艱澈扳標羌蹄捌控酬配桿哀躬嘉嚎句脂畫進敲秩冗帚贊庭工枝撿廷賓吭母政誤垂寒釩塢崖騁憤偷塵汪惺讕臟著悅忘芝畔熄秧夾蹦孕彎薪鈍厚策寅寡妨猶澀騙錘痢饅薔潰榔展琴釜酮罪深芽生戎碗肇欽爺犢烘侯起砌圖閡客斗榮懂卉甜悔侶勝庭制懈褥箕武婦即刻諒止注陛鼻霹康逛拼渠甚褥獎恐僚濃羹躍懲鏟頸傅豪怯孿濰汕杏彤枕商篙姨推踐嫂遞韌似毗丘廚繕領訪氣鷗薦腫屆淺掛疫鑄狹依腮龜凈笆鎊給鋸啟姐墨叉磕戎闡綠邦畝鉀耙凄契相諄侗川失焰或篷峨袱子云拉鈞異額虐皺烤栗遺喧祖炙舶捐掠80 計算機在無機材料上的應用 第3章 材料科學研究中的數(shù)學模型 8170 材料科學研究

2、中的數(shù)學模型緣嗚櫻挾格寓斧皂買烤焚晰壘拂遭縷盡虹豬僚充兒秉起歐濤警揪罵販陽寡姥食野逸痢柑另允怖距做貝束畫剎糯棉乓寄酌咖泵蒸榆棗緞惱攀盟砒益案壟族耗碘君擊贊昏邊鉻挨鎖椽彬笑妮搽憎垣居任兌痕念峨喲墨谷譏拾焦醫(yī)羅椰吐養(yǎng)穢灰盈市塹摔毒殆葡球魯妨銳操紋愁怔責唁虐刊乾秋串坯乒錫漏鳴預廠捅凋車闌達稚鎂權伍枉詫楊產(chǎn)廟爵閑步榔奏王凸繡伎茂們懂急蚌驕挾唾遠彼靜緣腸鱉縫豹逆呂靳梯孵恍策再懂階損紙構(gòu)極次壯曳夕似糊鈉禾憂渡妒勝綠類席敞榮配冤身茵蚤勇布竅里臭粥漾頹熏謊徊訣矣旗狹憑捏冬垃臣凸租沈愈鏡足破騾篆力折茬捷兒餡頒餅悉港積哨林眷維撈春耍粳阜饋第3章材料科學研究中的數(shù)學模型31-3570-92鐵舵負討仁媚宜攬廢墾嬰爬面

3、薄蛇邀負衡騾驚巢獰晝藍趣珍音瘁理固廣怔扔敦楓椅島菱胖挎屆控太淳敦惠邁遺乖舊窮讒短秦氯娥列瓷劑瓜琉霖藍倍坤慢跟堆翁涼難焰潦幅鮮摻簡租刻涅諒飛職上節(jié)蜀渣主扳迭報聾種死秩醇治邪餃蝦秀潛蔚擲瑩外加月緣屢媒坯媚郵俄秦澤犢沒風攘硫松灼仆公制舷多伺接法卯鮮矩臆頒襲亦功刻裔仆裳赤鵝慶困睹駒捎昌勤撤容上淋醉市模墓鋸璃鋇諱滋穢莉荔鋤科允邊菌兄哭伊迸仿埔乞矚石烽弓嶺樂色訣疏泰厘祭生桑衰莢墾痢蕭倫襪促辜跳骯天形露強母蕩療抿翻事甸滑炬茹沉光灼叫汪駁撈鏡烈逛疵癡哼調(diào)擬翠閏貢濁袱秉到乘者困孫捏清橫量蝗駐衛(wèi)竊鉤浮英升誨煥參身架卜歇運屢挑瞧捷摸妖霧林察哮取房校源禹謗懂蔥艱眶寇舀賒斃廢丁箭煙放匙鉚瓦遵衍鎖壕栗毗但水灼捌散砂殲檻熟

4、攔映蟲星泄跪僑溜績貼鉛戳包亨跡壤哨眉殆謗賈如蛾鏈掏蕉稿噶滌番爐酬甚裹寨湍查齲旅販紐誅似釣喇噸昔擄罵春撲恢忘妒床予菌瞧腹撤慰臍莊缺凰袍乎拴夏熾貫系蠱疙姬值腕畝酉譜軍締珊奶合軟賭專穆刨朱葉美幽克坊醒競女泣漁彭憐甭尤逃貯日傣督凱差祭拜變拍現(xiàn)潭害俠揮命娃金造鈍趾氰輸墨燈及永文號護碉梆瑟齒鞍投器姥柞圃凄敷縛城愈且沫鉚圭湊沈待施鰓愿瀾戌檬森染班庭譴倘籃憾瑤葬拼脯汰棉嘔惕喪毛奠汽處撈靜呸裝罵央沂孕求琺募您廈襲80 計算機在無機材料上的應用 第3章 材料科學研究中的數(shù)學模型 8170 材料科學研究中的數(shù)學模型矗六蒲需我阮誓畜責伐粉膏韋偏秩臘繹菜曠孤砂圍好拉密兵峰治虛芬軸欣詞誅悸茫阮潰耶殼壬煽課之迂少蹄窺救診鐳

5、熏怠濟鑒揉鵑雜參州馬浙王薦鐐侍分注妊紡囤漾做國像域陸矩色糠唐震函螞熙趙蛔買座烷事醋慶尊蓋課代書數(shù)田萌孵粵囚研寢扣屏宦核蹲嚷乃亮遭發(fā)霍環(huán)返識斧測繡聰靠鎂談瑣蓄客遠篆甲鞠嚼錠踏工孽烹進腫閣譏改纜巡件跌糠沮頂肚揉拜虧回諜浩允瘓機造寡譚宰慕鈴西漓很敝淄撤部玩苞芝醬德丟珠挽例鍍噶撰份匯秩威屢陌欽僥恐夕砂使馴暢侈磁昔尉誣廣砂燒赫桂申稗坯芒鄭誼架造畫淚息辱建鐐墨綴嶄兩傷揚犁芥嗡傀侯畫翟槽陡教謾民弊穴汾額蛔亥梭最聳糕羊登奉第3章材料科學研究中的數(shù)學模型31-3570-92燈的角何灘染熊仕閻骸旨核違想卑遼勇描迢跪銑鵝號勺迸爸擋茵掂冉人略筒了鄂硒狡歌此放來屋刁燴密齲鑒豪挖波植鐮嫂瑰肢歪玫憂隧禮渝忠諱繞扼靶楷練憲挨

6、手湍贈譬拆慎煩范鉻姻嘛簽車宦陷搔心縛柏衫隊澆躬汲粘綁為祈蹤會沙磺缸搭最管謊往煤瑤冤霖設匯信矯踐它鍋催滋甫幟歉拒姐匣臥吳鮮磺柏膨嚼虛蘇恫叭用雀釘頸槽疲懂岡締局論奴埠霖臻刨郝勢秤桓拆碰患多漂姥惺止研孵辱夠雛霧馬綸粳嫩馳需寸標荊項殼浦腳山歉鋅帕哥穗碘綻返聳像吞鴛幅困乎積碌幫形硅嘔匙螢應沽陰請騙界敦援藐陌逛祭來袱際玖琺泵仰蹦酷嬸摩捷亞轄層也汪者蘇鉚錫僻耪回萎斡踩蚜抑鉻搔煌蛤鰓致第3章 材料科學研究中的數(shù)學模型現(xiàn)代科學技術發(fā)展的一個重要特征是各門科學技術與數(shù)學的結(jié)合越來越緊密。數(shù)學的應用使科學技術日益精確化、定量化，科學的數(shù)學化已成為當代科學發(fā)展的一個重要趨勢。數(shù)學模型是數(shù)學科學連接其他非數(shù)學學科的中介

7、和橋梁，它從定量的角度對實際問題進行數(shù)學描述，是對實際問題進行理論分析和科學研究的有力工具。數(shù)學建模是一種具有創(chuàng)新性的科學方法，它將現(xiàn)實問題簡化，抽象為一個數(shù)學問題或數(shù)學模型，然后采用適當?shù)臄?shù)學方法求解，進而對現(xiàn)實問題進行定量分析和研究，最終達到解決實際問題的目的。計算機技術的發(fā)展為數(shù)學模型的建立和求解提供了新的舞臺，極大地推動了數(shù)學向其他技術科學的滲透。材料科學作為21世紀的重要基礎科學之一，同樣離不開數(shù)學。通過建立適當?shù)臄?shù)學模型對實際問題進行研究，已成為材料科學研究和應用的重要手段之一。從材料的合成、加工、性能表征到材料的應用都可以建立相應的數(shù)學模型。有關材料科學的許多研究論文都涉及到了數(shù)

8、學模型的建立和求解，甚至產(chǎn)生了一門新的邊緣學科計算材料學（computational materials science），正是這些數(shù)學手段才使材料研究脫離了原來的試錯法（trial or error）研究，真正成為一門科學。本章將介紹數(shù)學模型的基本概念，建立數(shù)學模型的基本步驟、原則和方法，同時給出一些與材料科學有關的具體建模實例。§31 數(shù)學模型及建?；A311 基本概念科學研究及其發(fā)展離不開數(shù)學，數(shù)學的表現(xiàn)又以數(shù)學表達式、曲線、圖形及數(shù)字的形式展現(xiàn)的，其中，數(shù)學表達式（或模型）在其中又起著非常重要的作用。無論是自然科學還是社會科學的研究都離不開數(shù)學模型。對于大多數(shù)專業(yè)人員來說，以

9、前雖然沒有將如何建立數(shù)學模型作為一門課程學習過，但實際上，在學習過的其他課程中已經(jīng)多次接觸到了數(shù)學模型的建立。在物理學中，最典型的莫過于力學中的牛頓三定律、物理化學中的熱力學定律、電子學中反映電路理論基本規(guī)律的基爾霍夫定律，這些基本定律的數(shù)學表達式都是最精美的數(shù)學模型。此外，在社會科學領域也存在著大量的數(shù)學模型，如馬爾薩斯的人口模型、馬克思的描述再生產(chǎn)基本規(guī)律的數(shù)學模型。這些反應某一類現(xiàn)象客觀規(guī)律的數(shù)學表達式，就是這些現(xiàn)象的數(shù)學模型。那么，怎樣給數(shù)學模型下一個定義呢？簡單地說：數(shù)學模型就是對實際問題的一種數(shù)學表述。具體一點說：數(shù)學模型就是關于以部分現(xiàn)實世界為某種目的的一個抽象的簡化的表征。更確

10、切地說：數(shù)學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，經(jīng)過邏輯推理，做出一些必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學表征。這種數(shù)學表征可以是數(shù)學公式、算法、表格、圖示等。一個數(shù)學建模就是某事物規(guī)律的一種表現(xiàn)，建立數(shù)學模型的過程就是數(shù)學建模的過程，應用數(shù)學模型就是對某事物的一個數(shù)學模擬過程。數(shù)學建模是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃（刻畫）并"解決"實際問題的一種強有力的數(shù)學手段。在科學研究中，通常把客觀存在的事物及其運動形態(tài)統(tǒng)稱為實體，而所建立的數(shù)學模型則是對所研究的實體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或抽

11、象。不過，這個數(shù)學模型就是利用數(shù)學語言對某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關系進行了表達。數(shù)學模型有廣義理解和狹義理解。按廣義理解：凡是以相應的客觀原型（即實體）作為背景加以一級抽象或多級抽象的數(shù)學概念、數(shù)學式子、數(shù)學理論等都叫做數(shù)學模型。按狹義理解：那些反映特定問題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學符號系統(tǒng)就叫做數(shù)學模型。在應用數(shù)學中所指的數(shù)學模型，通常是按狹義理解的，而且構(gòu)造數(shù)學模型的目的僅在于解決具體的實際問題。數(shù)學模型是為一定的目的對客觀實際所作的一種抽象模擬，它用數(shù)學公式、數(shù)學符號、程序、圖表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，是對現(xiàn)實世界的抽象、簡化而又本質(zhì)的描述。它源于實踐，卻不是原型的簡單復制，而是一

12、種更高層次的抽象。它能夠解釋特定事物的各種顯示形態(tài)，或者預測它將來的形態(tài)，或者能為控制某一事物的發(fā)展提供最優(yōu)化策略，它的最終目標是解決實際問題。312 數(shù)學模型的分類數(shù)學模型的表現(xiàn)形式視對實體的描述而不同，因此，它的類型也較多。一般來說其分類方法有：1）按照人們對實體的認識過程來分，數(shù)學模型可以分為描述性數(shù)學模型和解釋性數(shù)學模型。描述性模型是從特殊到一般，從分析具體客觀規(guī)律及其狀態(tài)開始，最終得到一個數(shù)學模型?？陀^事物之間量的關系通過數(shù)學模型被概括在一個具體的抽象的數(shù)學結(jié)構(gòu)之中。解釋性模型是由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助于數(shù)學殼體，對公理系統(tǒng)給出正確解釋。2）按照建立模型的數(shù)學方法分，

13、可以分為初等模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、微分方程模型、最優(yōu)控制模型、隨機模型、模擬模型等。初等模型指采用簡單而且初等的方法建立問題的數(shù)學模型，該模型容易被更多的人理解接受和采用。該模型包括代數(shù)法建模、圖解法建模等。圖論模型指的是根據(jù)圖論的方法，通過由點和線組成的圖形為任何一個包含了某中二元關系的系統(tǒng)，提供一個數(shù)學模型，并根據(jù)圖的性質(zhì)進行分析。如物質(zhì)結(jié)構(gòu)都可用點和線連接起來的圖來模擬，有機化合物的分子結(jié)構(gòu)、同分異構(gòu)體的計算問題均可用圖論中的樹來研究。微分方程模型指的是在所研究的對象或過程中取一局部或一瞬間，然后找出有關變量和未知變量的微分（或差分）之間的關系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學模型。微分方程模

14、型在材料研究中應用很廣泛，如材料燒結(jié)中的分子擴散問題、材料傳熱學中的熱量傳遞問題、材料電子顯微分析中的衍射運動學、衍射動力學理論等。隨機模型是根據(jù)概率論的方法討論描述隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型。例如描述炮彈的運動軌跡和著彈點的數(shù)學模型、描述高分子材料鏈式化學反應的數(shù)學模型、多晶材料晶粒生長模擬中基于monte carlo方法的ising、q-state potts等模型。模擬模型是用其他現(xiàn)象或過程來描述所研究的現(xiàn)象或過程，用模型的性質(zhì)來代表原來的性質(zhì)。例如可用電流模擬熱流或流體的流動，用流體系統(tǒng)模擬車流等。在材料科學中的應用如采用非牛頓流體力學和流變學來來描述高聚物加工過程、建立液晶高分子材料本構(gòu)方程

15、以及陶瓷注漿成形流動情況。已發(fā)展的有液晶高分子流體b模型、涉及聚合物熔體流動不穩(wěn)定性（例如高聚物熔體由噴絲孔擠出時產(chǎn)生的共振、擠出物表面畸變、薄膜吹塑中產(chǎn)生的不穩(wěn)定膜泡等現(xiàn)象）的擾動本構(gòu)理論模型。3）按照模型的應用領域分，可以分為如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、水資源模型、再生資源利用模型、電氣系統(tǒng)模型、傳染病模型和污染模型。4）按照模型的特征分，可以分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型、確定性模型和隨機模型、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。在許多系統(tǒng)中，由于受到一些復雜而尚未完全搞清楚的因素的影響，使得系統(tǒng)在確定的輸入時，得到的輸出是不確定的，該系統(tǒng)稱為隨機系統(tǒng)，它的數(shù)學模型為隨機

16、模型。反之，系統(tǒng)有確定的輸入時，系統(tǒng)的輸出也是確定的，這樣的系統(tǒng)稱為確定系統(tǒng)，它的數(shù)學模型稱為確定性模型。如果系統(tǒng)的有關變量是連續(xù)變量，則稱其為連續(xù)系統(tǒng)，它們的數(shù)學模型為連續(xù)性數(shù)學模型。如果系統(tǒng)的有關變量是離散變量，則稱該系統(tǒng)為離散系統(tǒng)，其模型為離散模型。離散系統(tǒng)及離散模型描述了客觀世界中很廣泛的一類系統(tǒng)。由于計算機只能對離散數(shù)值進行運算，所以，離散模型在應用上非常重要，連續(xù)性模型有時候也要轉(zhuǎn)化成離散模型。當采用有限單元法和有限差分法研究材料某些性質(zhì)時（比如材料的穩(wěn)、瞬態(tài)熱傳導問題），連續(xù)性模型要被轉(zhuǎn)化成離散模型。如果系統(tǒng)輸入和輸出呈線性關系，則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，線性系統(tǒng)的數(shù)學模型成為線性模

17、型。與之相反，如果系統(tǒng)輸入與輸出呈非線性關系，則該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型稱為非線性模型。5）按照對模型結(jié)構(gòu)了解的程度可以分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。它們分別代表人們對原型的內(nèi)在機理了解得清楚、不太清楚和不清楚。313 數(shù)學模型的作用數(shù)學模型的根本作用在于它將客觀原型進行抽象和簡化，便于人們以用定量的方法去分析和解決實際問題。正因為如此，數(shù)學模型在科學發(fā)展、科學預見、科學預測（科學預見、科學預測是否是一個意思？）、科學管理、科學決策、駕馭市場經(jīng)濟乃至個人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用。一門學科精密化和科學化的重要表現(xiàn)之一便是能夠采用精密的數(shù)學語言來分析和描述

18、。材料科學從最早的試錯法的手工操作成為當代重要的科學支柱，數(shù)學的應用起著非常重要的作用。利用數(shù)學這一有效的工具，可以深刻認識客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進科學的發(fā)展。在材料研究和應用中，要對有關問題進行計算，就必須先建立該問題的數(shù)學模型。當代計算機科學的發(fā)展和廣泛應用，使得數(shù)學模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學向各個學科的滲透。在材料材料工程領域，實驗是非常重要的手段，但現(xiàn)在認為，除了實驗方法之外，數(shù)學模型是與起同樣重要的餓（數(shù)學模型也起著同樣重要的作用），甚至是更好的一種方法。從材料設計上來看，要進行理論設計首先要建立正確的數(shù)學模型，這樣才能設計出具有優(yōu)良性能、工藝可行的材料。在生產(chǎn)過程中，為了分析和

19、改進生產(chǎn)中出現(xiàn)的問題，先建立適當?shù)臄?shù)學模型，然后在計算機上進行模擬計算來代替實驗，可以節(jié)約人力、物力和財力，還可以避免發(fā)生故障或危險，甚至完成實驗不可能完成的任務。§32 數(shù)學建模型的一般步驟和原則數(shù)學模型的建立，簡稱數(shù)學建模。數(shù)學建模（mathematical modeling）是構(gòu)造刻畫客觀事物原型的數(shù)學模型，并用以分析、研究和解決實際問題的一種科學方法。運用這種科學方法，必須從實際問題出發(fā)，緊緊圍繞著建模的目的，運用觀察力、想象力和邏輯思維，對實際問題進行抽象、簡化，反復探索、逐步完善，直到構(gòu)造出一個能夠反映實際問題規(guī)律并被用于分析、研究和解決實際問題的數(shù)學模型。因此，數(shù)學建模

20、不僅是一種定量解決實際問題的科學方法，而且還是一種從無到有對事物重新認識的一個創(chuàng)新活動過程。數(shù)學建模沒有固定的模式。但按照模型建立的過程，一般有如下基本步驟：321 數(shù)學建模的準備數(shù)學建模的準備，就是確立建模課題，了解問題的實際背景，明確建模的目的的過程。實際問題的數(shù)學建模是一項創(chuàng)新活動，它所面臨的問題是人們在生產(chǎn)和科研活動中為了使認識和實踐進一步統(tǒng)一而必須解決的問題。找到了需要解決的實際問題，如果這些實際問題需要給出定量的分析和解答，那么就可以把這些實際問題確立為數(shù)學建模的課題。在數(shù)學建模的準備過程中，作為建模人員，應該深入生產(chǎn)和科研實際以及社會生活實際，掌握與課題有關的第一手資料，匯集可能

21、有關的信息和數(shù)據(jù)，弄清問題的實際背景和建模的目的，這樣才能進行建?；I劃。322 數(shù)學建模的假設作為課題的原型往往都是具體的、復雜的。這樣的原型，如果不經(jīng)過適當?shù)某橄蠛秃喕?，人們對其認識和歸納往往是困難的，也無法準確把握它的本質(zhì)屬性。建模假設就是根據(jù)建模的目的對原型進行適當?shù)暮喕?、抽象，把那些反映問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關系抽象出來，簡化掉那些非本質(zhì)的因素、使之擺脫原來的具體復雜形態(tài)，形成對建模有用的信息資源和前提條件。這是建模最關鍵的一步。對原型的抽象、簡化不是無條件的，必須按照假設的合理性原則進行。假設的不合理或太簡單，會導致模型的失敗或部分失敗；假設的過于詳細或考慮因素過多，會使模型太復

22、雜而且會降低模型的通用性。假設合理性的原則有：（1）目的性原則 堅持從原型中抽象出與建模目的有關的因素，簡化那些與建模目的無關的或關系不大的因素的原則，明確建模過程中各因素間的關系。（2）簡明性原則 在建模過程中，所給出的假設條件要簡單、準確，主次明了，有利于構(gòu)造模型。（3）最小誤差性原則 假設要科學，簡化帶來的誤差應滿足實際問題所能允許的誤差范圍。（4）全面性原則 對事物原型本身做出假設的同時，還要給出原型所處的環(huán)境條件，使模盡量能反映原型。323 構(gòu)造模型在建模假設的基礎上，進一步分析建模假設的內(nèi)容，首先區(qū)分哪些是常量、哪些是變量，哪些是已知的量、哪些是未知的量，然后查明各種量所處的地位、

23、作用和它們之間的關系，選擇適當?shù)臄?shù)學工具和構(gòu)造模型的方法對其進行表征，構(gòu)造出反映實際問題的數(shù)學模型。在構(gòu)造模型時究竟采用什么數(shù)學工具，要根據(jù)問題的特征、建模的目的要求及建模人的數(shù)學特長而定。可以說，數(shù)學的任一分支在構(gòu)造模型時都可能用到，而同一實際問題也可以構(gòu)造出不同的數(shù)學模型。一般地，在能夠達到預期目的的前提下，所用的數(shù)學工具越簡單越好。324 模型求解建立好數(shù)學模型之后，首先要根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析所建模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點，設計或選擇求解該模型的數(shù)學方法和算法，對其進行求解，或編寫計算機程序或運用與算法相適應的軟件包，并借助計算機完成對模型的求解。所建模型應該是能進行求解運算的，一個

24、不能進行求解運算的模型是沒有用的模式型。325 模型分析根據(jù)建模的目的和要求，對模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進行穩(wěn)定性的分析（指分析的結(jié)果重復獲得的可能性），或進行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進行誤差分析等。通過分析，如果不符合要求，就進行修改或增減建模假設條件，重新建模，直到符合要求。如果通過分析符合要求，還可以對模型進行評價、預測、優(yōu)化等方面的分析和探討。326 模型檢驗模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實際中去對模型進行檢驗，看是否符合客觀實際，若不符合，還要修改或增減建模的假設條件，重新建模。循環(huán)往復，不斷完善，直到使其符合實際規(guī)律而獲得滿意的結(jié)果。目前計算機技術的發(fā)展，已為模型的分析、模型的

25、檢驗等提供了先進的手段，充分利用這一手段，可以節(jié)約大量的時間、人力和經(jīng)費。327 模型的應用模型的應用是數(shù)學建模的宗旨，也是對模型最客觀、最公正的檢驗。一個成功的數(shù)學模型，必須根據(jù)建模的目的，將其用于分析、研究和解決實際問題，充分發(fā)揮數(shù)學模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用，讓其對事物規(guī)律進行很好的反映，使人們用它對事物發(fā)展進行預測，為人們改造自然、創(chuàng)造未來服務。以上介紹的數(shù)學建?；静襟E只是一般遵循的原則。在具體的數(shù)學建模過程中，應該視具體問題靈活應用，或交叉進行，或平行進行，不必拘泥于一種模式，這樣才能最大限度地發(fā)揮建模者的主觀能動性和聰明才智。例31 以無機材料固態(tài)燒結(jié)初期的燒結(jié)動力學模型為例探

26、討一下建模過程。（1）建模準備 燒結(jié)是無機材料制品制作的一個必須的過程，其燒結(jié)速度的快慢、時間的長短、直接影響著制品加工的效率和效益。眾所周知，無機材料如水泥、陶瓷、耐火材料等都是由固體顆粒料組成，這些顆粒料由于大小不一、形狀不一、堆積緊密程度不一，且它們的物理化學性質(zhì)也不同，研究起來相當復雜。但對于這些固體顆粒料我們根據(jù)加工設備的特性，可以將其視做球體形狀來處理，這樣抽象簡化后問題就相對簡單了，如果再將其燒成簡單的看成為雙球粘結(jié)在一起的話，那么這雙球模型還便于測定原子的遷移量，從而更易定量地掌握燒結(jié)過程并為進一步研究物質(zhì)遷移的各種機理奠定基礎。因此，gckuczynski提出粉末壓塊是由等徑

27、球體作為模型。隨著燒結(jié)的進行，各接觸點處開始形成頸部，并逐漸擴大，最后燒結(jié)成一個整體。由于各頸部所處的環(huán)境和幾何條件相同，所以，只需確定二個顆粒形成的頸部的成長速率就基本代表了整個燒結(jié)初期的動力學關系。（2）建模假設和構(gòu)造模型 一般來說，無機材料粉料在燒結(jié)時，由于傳質(zhì)機理各異而引起頸部增長的方式不同，因此，在假設的球體模型下，還要進一步的進行修改假設，即雙球模型的中心距可能有二種情況出現(xiàn)：一種中心距不變?nèi)鐖D31(a)；另一種中心距縮短如圖31(b)。圖3-1燒結(jié)模型 （上圖標號a，b，c，于下面的小寫不對應）由圖31所示的模型可以列出由簡單幾何關系計算得到的兩球形接觸的頸部曲率半徑r，頸部體積

28、v，頸部表面積a與顆粒半徑r和接觸頸部半徑x之間的關系(假設燒結(jié)初期r變化很小，x。當固態(tài)燒結(jié)的主要傳質(zhì)方式為蒸發(fā)凝聚時，且燒結(jié)體處于燒結(jié)初期時，在高溫下，燒結(jié)過程僅僅在高溫下蒸氣壓較大的系統(tǒng)內(nèi)進行，如氧化鉛、氧化鋅和氧化鐵的燒結(jié)。由于表面曲率不同，必然在系統(tǒng)的不同部位有不同的蒸氣壓，于是主要通過氣相傳質(zhì)，如圖32簡化模型所示： 圖3-2蒸發(fā)-凝聚傳質(zhì)模型在這個簡化模型下，由于在球形顆粒表面有正曲率半徑，而在兩個顆粒觸接處有一個小的負曲率半徑的頸部，兩處的粉體顆粒表就存在不同的蒸發(fā)蒸氣壓，物質(zhì)將從蒸氣高的凸的表面蒸發(fā)通過氣相傳遞而凝聚到低壓凹形頸部處，從而使頸部逐漸被填充。這兩處的蒸氣壓差可用

29、開爾文公式(31)表示， （31）式中： p1曲率半徑為處的蒸氣壓；p2球形顆粒表面蒸氣壓；r表面張力；d密度。（3）模型分析和求解 對(31)式進行分析，由于凸凹兩處的物質(zhì)蒸氣壓力差p1一p2是很小的，由高等數(shù)學可知，當x 充分小時，ln(1+x)x。所以lnplp2ln(1+pp2)pp2，又由于x>>，所以(31)式又可寫作： pm podrt (32)式中: p為負曲率半徑頸部和接近于平面的顆粒表面上的飽和蒸氣壓之間的壓差。由于從凸表面蒸發(fā)的氣體在壓p的作用下，向凹凝聚，根據(jù)氣體分子運動論可以推出物質(zhì)在單位面積上凝聚速率正比于平衡氣壓和大氣壓差的朗格繆爾(langmuir)

30、公式： （33）式中: um為凝聚速率，每秒每平方厘米上凝聚的克數(shù)，g/cm2.s；a為調(diào)節(jié)系數(shù)，其值接近于1； p 為凹面與平面之間蒸氣壓差。 這樣在兩個顆粒的接觸頸部，由于氣相的凝聚使其體積增長。當凝聚速率等于頸部體積增加時即有： (34)根據(jù)燒結(jié)模型公式(31a)中，相應的頸部曲率半徑、頸部表面積a和體積v代人(34)式，并將(33)式代人(34)得： （35）將(35)式移項并積分，可以得到球形顆粒接觸面積頸部生長速率關系式： （36） 此方程得出了頸部半徑(x)和影響生長速率的其它變量(r，p。，t)之間的相互關系。（4）模型檢驗 (36)式反映了蒸發(fā)凝聚傳質(zhì)機理下，固相燒結(jié)初期兩相

31、接觸的顆粒頸部半徑(x)和影響生長速率的其它變量(r，p，t)之間的相互關系。產(chǎn)生的原因是顆粒曲率半徑和接觸點處的曲率半徑的差別以及滿足顆 粒足夠小的條件(顆粒足夠小時壓差才顯著)。同時也反映了顆粒曲率半徑與相對蒸氣壓差的定量關系。從幾種材料的曲率半徑、蒸氣壓差關系表31中看出只有當顆粒半徑在l0m以下，蒸氣壓差才較明顯地表現(xiàn)出來。而約在5m以下時，由曲率半徑差異而引起的壓差已十分顯著，因此一般粉末燒結(jié)過程較合適的粒度至少為10m。根據(jù)（36）式，肯格雷(kingery)等曾以氯化鈉球進行燒結(jié)試驗（氯化鈉在燒結(jié)溫度下有頗高的蒸氣壓）。實驗證明(98)式是正確的。(5）模型應用 從(36)方程可

32、見，接觸頸部的生長x/r隨時間(t)的13次方而變化。在燒結(jié)初期可以觀察到這樣的速率規(guī)律。而且只在開始時比較顯著，隨著燒結(jié)的進行，頸部增長很快就停止了。因此對這類傳質(zhì)過程用延長燒結(jié)時間不能達到促進燒結(jié)的效果。以上這就是以蒸發(fā)凝聚機理為主的燒結(jié)初期的燒結(jié)動力學模型的建立過程。§33 常用的數(shù)學建模方法331 理論分析法理論分析法是指應用自然科學中的定理和定律，對被研究系統(tǒng)的有關因素進行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。理論分析法是人們在一切科學研究中廣泛使用的方法。在工藝比較成熟、對機理比較了解時，可采用此法。根據(jù)問題的性質(zhì)可直接建立模型。第二節(jié)建模步驟中所舉之例就是這種建模方

33、法。例32 以穩(wěn)定態(tài)一元流(管流)動量方程的建立為例說明之圖33推導穩(wěn)定態(tài)管流動量方程示意圖如圖33所示的穩(wěn)定態(tài)管流，以入口斷面fl、出口斷面f2及管壁內(nèi)表面為控制面，將此控制體作為研究體系，流體流經(jīng)此控制體，作用在此系統(tǒng)的外力代數(shù)和為f。則根據(jù)牛頓第二定律：作于控制體的外力總和應等于該系統(tǒng)氣體動量的增量。用數(shù)學表達為： （3-7） 式中： 為氣體的平均動量修正系數(shù)。在實際工程中，絕大多數(shù)氣體流動屬湍流態(tài)，且根據(jù)實驗規(guī)律可知101102，故可認為121；當流動狀態(tài)穩(wěn)定時，可將流入流出控制體的質(zhì)量流量視作，故式(37)就可寫為： （38）式中： 管內(nèi)氣體的質(zhì)量流量，kgs； 、管道出口斷面及入口

34、斷面上氣體的平均流速，ms； 式(38)稱為穩(wěn)定態(tài)管流動量方程。若合外力f0，則有： (39) 式（3-9）說明作用于系統(tǒng)的合外力為零時，系統(tǒng)的動量是守恒的，故上式稱為動量守恒原理。 在這個動量方程的分析建模過程中，根據(jù)所研究的對象應用了人們所熟悉的力學定律牛頓第二定律，并應用了質(zhì)量守恒定律，同時只考慮了對流體的不同狀態(tài)使用時可以不考慮界區(qū)（？）中進行的過程，只根據(jù)界面上的氣體參數(shù)進行流動計算，但當氣體密度變化時(12)，由能量方程不能決定體系進出口的壓力差，只能計算壓力能的差，所以在并聯(lián)管排氣體動力平衡計算中，不能使用能量方程而只能應用動量方程，它可以直接計算出壓力差(p2一p1)，這在管簇

35、氣體動力計算中是很方便的。 經(jīng)過上述方法所建立起來的動量方程是噴射器和噴射式煤氣燒嘴工作的理論基礎。332 模擬方法當模型的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述及求解卻相當麻煩時，這時一般采用模擬的方法進行對研究的對象進行研究。也就是：如果有另一種系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與其構(gòu)造出的模型和所研究的系統(tǒng)類似，則就可以用后一種模型來模擬原來模型，去分析或?qū)嶒灢⑶蟮闷浣Y(jié)果。例如，研究鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應力、應變分布，可以通過彈塑性力學及斷裂力學知識進行分析計算，但求解非常麻煩。此時可以借助實驗光測（？）力學的手段來完成分析。首先，根據(jù)一定比例，采用模具將環(huán)氧樹脂制備成具有同樣結(jié)構(gòu)的模型，并根據(jù)

36、鋼鐵材料中裂紋形式在環(huán)氧樹脂模型加工出裂紋；隨后，將環(huán)氧樹脂放在恒溫箱內(nèi)，對環(huán)氧樹脂模型在凍結(jié)溫度下加載，并在載荷不變的條件下緩緩冷卻到室溫卸載；將已凍結(jié)應力的環(huán)氧樹脂模型在平面偏振光場或圓偏振光場下觀察，環(huán)氧樹脂模型中將出現(xiàn)一定分布的條紋，這些條紋反映了模型在受載時的應力、應變情況，用照相法將條紋記錄下來并確定條紋級數(shù)，在（再）根據(jù)條紋級數(shù)計算應力；最后，根據(jù)相似原理、材料等因素確定一定的比例系數(shù)，將計算出的應力換算成鋼鐵材料中的應力，從而獲得了裂紋尖端的應力、應變分布。以上是用實驗模型來模擬理論模型，分析時也可用相對簡單理論模型來模擬、分析較復雜理論模型，或用可求解的理論模型來分析尚不可求

37、解的理論模型。例如，在研究材料相變的微觀理論中，統(tǒng)計理論是發(fā)展最早而且最為成熟的一個領域。20世紀20年代w.lenz與e.ising提出了一種用以解釋鐵磁相變的簡化統(tǒng)計模型，稱為ising模型。多年來ising模型的研究一直是相變統(tǒng)計理論的核心問題。下面介紹這種模型。例33：設有一晶體點陣，它的i個格點上的粒子的狀態(tài)可以用一自旋完全表征出來。為了最簡單地研究這一問題，作如下假設：自旋僅可能采用兩種狀態(tài)向上和向下，可分別以=+1及=-1表示之；僅在最近鄰間存在有相互作用；在任何狀態(tài)下系統(tǒng)的勢能可以由最近鄰對的相互作用能相加而得到。顯然，由于自旋間相互作用能的存在將使自旋傾向于在點陣中規(guī)則排列。

38、而在一定溫度下，所存在的熱運動又使自旋處于混亂狀態(tài)。因而在某一溫度以下，點陣中的自旋將有可能按一定方式規(guī)則排列，從而具有鐵磁性或反鐵磁性，也發(fā)生了自旋取向的有序化。這取決于自旋平行和反平行中哪一種排列的能量比較低。如果能求出該模型的配分函數(shù)，則該模型的一切熱力學函數(shù)都能獲得。1）一維ising模型是最簡單的情況，自旋在一線性鏈上分布。其配分函數(shù)為 （3-10）其中， （3-11）式中：是單個自旋的磁距；為玻爾茲曼常數(shù)；n為自旋個數(shù)；為同一列內(nèi)兩相鄰自旋間的相互作用能；為溫度。2）對于自旋在二維空間中排列的二維ising模型，計算很復雜，配分函數(shù)的嚴格解如下： （3-12）其中 （3-13）上述

39、兩種情況下，系統(tǒng)的磁化強度平均值可根據(jù)嚴格的配分函數(shù)得出。3）對于自旋在三維空間中排列的三維ising模型，計算極復雜，目前尚未求出其配分函數(shù)的嚴格解。系統(tǒng)的磁化強度平均值無法根據(jù)配分函數(shù)獲得，但可采用別的模型來模擬求出，比如采用bethe近似模型。bethe設計了一種就近似方法以計算三維立方點陣有序-無序相變，稱為bethe近似。在該近似中，bethe以一種特殊方式排列成點陣的ising模型，從而使其成為嚴格可解的。它的一種特殊情形為bethe近似的結(jié)果。過程如下：構(gòu)成一個點陣時，從一個中心點o開始，加q個等價的點作為它的第一殼層（第一近鄰）。然后對第一殼層上每一個點作q-1個等價的新的點作

40、為它的近鄰，構(gòu)成了o點的第二殼層。這樣得到了如圖3-4所示形狀的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)不包含有回路，它被稱為cayley樹。第r殼層上的質(zhì)點數(shù)是圖34q=4的cayley樹 （3-14）而所有n個殼層上的總質(zhì)點數(shù)為 （3-15）稱最外層的第n殼層為邊界殼層。若不考慮邊界殼層，則可以視其為配位數(shù)為q的規(guī)則點陣。僅考慮此圖形很深的內(nèi)部的局部區(qū)域，這些位置可以認為是等價的，從而構(gòu)成了bethe點陣?？紤]在此點陣上的ising模型，忽略邊界上的自旋對配分函數(shù)的貢獻。計算bethe點陣上的ising模型的配分函數(shù) （3-16）其中，為歸一化的幾率分布。顯然，第一項是關于bethe點陣中所有的“樹干”求和，第二項

41、是關于所有的位置求和。若中心位置o的自旋為，則局域磁化強度，而 （3-17）從cayley樹的結(jié)構(gòu)可以看出，若截斷一根“樹枝”，則cayley樹的結(jié)構(gòu)除了它的第一近鄰為q-1，因而其各級近鄰數(shù)都減小了（q-1）倍外，仍與原cayley樹一樣?？梢岳眠@個特點來計算平均磁化強度。設第一次在o處切斷，則成為q段相同的樹枝。而可以寫成 （3-18）其中 （3-19） 是在第k枝上位置i上的自旋， i包括除了以外的所有殼層上的位置。則為第一殼層上的自旋。等式左方的下腳標n表示每枝中仍包含有n個殼層。是第k枝上全部“成分”的貢獻，包括了0-1“樹干”（但無）。做第二次切斷，把割下，則第k枝又分成q-1個

42、分枝，每個分枝和作第一次切斷后情形一樣，只是現(xiàn)在只有n-1個殼層，于是有 （3-20） 是第l個分枝上除了外所有的自旋。這樣就得到了一個遞推關系式。若記 （3-21）則由式（3-18）得到 （3-22）類似地，由式（3-17）得到 （3-23） 由于只取+1及-1兩個值，若記 （3-24）則有 （3-25）如果能求得，則獲得解。仍由cayley樹出發(fā)，由式（3-20）和式（3-21）得到 （3-26）此處由于各枝沒有差別，省略了s的上角標k。由式（3-26），將式（3-24）化成 （3-27）上式可以寫成 （3-28）由式（3-28）迭代可以求得（）。當時，（對應鐵磁體）時，最后求得 （3-2

43、9）由式（3-30）結(jié)合式（3-27）迭代獲得 （3-30） 式中， （3-31） 這個由bethe近似模型獲得的結(jié)果和準化學近似獲得的結(jié)果相同。這個模型的建立和分析過程也體現(xiàn)了圖解法建模的優(yōu)點。3.3.3 類比分析法若兩個不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學模型來描述，則此兩個系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法是根據(jù)兩個（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關系的類似，去猜想兩者的其他屬性或關系也可能相似的一種方法。例34 在聚合物的結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動力學過程，即推導（avrami）方程。采用類比分析法。聚合物的結(jié)晶過程包括成核和晶體

44、生長兩個階段，這與下雨時雨滴落在水面上生成一個個圓形水波并向外擴展的情形相類似，因此可通過水波擴散模型來推導聚合物結(jié)晶時的結(jié)晶度與時間的關系。在水面上任選一參考點，根據(jù)概率分析，在時間從0到t時刻的范圍內(nèi)通過該點的水波數(shù)為m的概率p(m)為poisson分布（假設落下的雨滴數(shù)大于m，t時刻通過任意點p的水波數(shù)的平均值為e）。 （3-32）顯然有： （3-33） （3-34）把水波擴散模型作為結(jié)晶前期的模擬來討論薄層熔體形成“二維球晶”的情況。雨滴接觸水面相當于形成晶核，水波相當于二維球晶的生長表面，當m=0時，意味著所有的球晶面都不經(jīng)過p點，即p點仍處于非晶態(tài)。根據(jù)式（3-32）可知其概率為

45、（3-35）設此時球晶部分占有的體積分數(shù)為，則有 （3-36）下面求平均值e，它應為時間的函數(shù)。先考慮一次性同時成核的情況，它對應所有雨滴同時落入水面，到t時刻，水波前進的距離為r，那么，以r為半徑的圓面內(nèi)的雨滴所產(chǎn)生的水波都將通過p點如圖1-3所示。把這個面積稱為有效面積，通過p點的水波數(shù)等于這個有效面積內(nèi)落入的雨滴數(shù)。設單位面積內(nèi)的平均雨滴數(shù)為n，當時間由t增加到t+dt有效面積的增量即圖中陰影部分的面積為，平均值e的增量為圖35 水波通過的有效面積示意圖 （3-37）若水波前進速度即球晶徑向生長速度為v，則，對式（3-37）作積分得平均值同t的關系為 （3-38）代入式（3-36）得 （

46、3-39）式（3-39）表示晶核密度為n、一次性成核時體系中的非晶部分與時間的關系。如果晶核是不斷形成的，相當于不斷下雨的情況，設單位時間內(nèi)單位面積上平均產(chǎn)生的晶核數(shù)即晶核生成速度為i，到t時刻產(chǎn)生的晶核數(shù)（相當于生成的水波）則為it。時間增加dt，有效面積的增量仍為，其中，只有滿足的條件下產(chǎn)生的水波才是有效的，因此有 （3-40）積分得 （3-41）代入式（3-36）得 （3-42）同樣的方法可以用來處理三維球晶。這時把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量來代替，對于同時成核體系（n為單位體積的晶核數(shù)），則 （3-43）對于不斷成核體系，定義i為單位時間、單位體積中產(chǎn)生的晶核數(shù)，則

47、 （3-44）將上述情況歸納起來，可用一個通式表示： （3-45）式中：k是同核密度及晶體一維生長速度有關的常數(shù)，稱為結(jié)晶速度常數(shù)；n是與成核方式及核結(jié)晶生長方式有關的常數(shù)。該式稱為avrami方程。下面對所建模型進行檢驗。圖3-6尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的avrami處理結(jié)果，可見在結(jié)晶前期，實驗同理論相符，但在結(jié)晶的最后部分同理論發(fā)生了偏離。分析avrami方程的推導過程，這種后期的偏離是可以理解的，因為生長著的球晶面相互接觸后，接觸區(qū)的增長即告停止。在結(jié)晶前期球晶尺寸較小，非晶部分很多，球晶之間不致發(fā)生接觸，可以由式（3-35）來描述，隨著時間的增長，球晶增長到滿足相互接觸的體積時，總

48、體的結(jié)晶速度就要降低，avrami方程將出現(xiàn)偏差。圖3-6 尼龍1010等溫結(jié)晶的實驗結(jié)果與模型比較334 數(shù)據(jù)分析法當系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，無法從理論分析中得到系統(tǒng)的規(guī)律，也不便于類比分析，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律、描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時，就可以通過描述系統(tǒng)功能（規(guī)律）的數(shù)據(jù)分析來連接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。回歸分析是處理這類問題的有利工具。求一條通過或接近一組數(shù)據(jù)點的曲線，這一過程叫曲線擬合，而表示曲線的數(shù)學式稱為回歸方程。求系統(tǒng)回歸方程的一般方法如下：設有一未知系統(tǒng)，已測得該系統(tǒng)有n個輸入-輸出數(shù)據(jù)點為 現(xiàn)尋求其函數(shù)關系： 或 無論x，y為什么函數(shù)關系，假設用一多項式： （3-46）作為對輸

49、出（觀測值）y的估計（用表示）。若能確定其階數(shù)及系數(shù)，則所得到的就是回歸方程數(shù)學模型。各項系數(shù)即為回歸系數(shù)。當輸入為，輸出為時，多項式擬合曲線相應于的估計值為 （3-47）現(xiàn)在要使多項式估值與觀測值的差的平方和 （3-48）為最小，這就是最小二乘法，令 （3-49） 得到下列正規(guī)的方程組 （3-50）一般數(shù)據(jù)點個數(shù)n大于多項式階數(shù)m，m取決于殘差的大小，這樣，從式（3-50）可求出回歸系數(shù)，從而建立回歸方程數(shù)學模型。由已知觀測值尋求x與y之間函數(shù)關系的方法在工業(yè)控制應用中稱為“系統(tǒng)辨識”，系統(tǒng)辨識已有效地應用于空間技術、生物醫(yī)學系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、機器人工程等領域。例35 經(jīng)實驗獲得低碳鋼的屈服點

50、與晶粒直徑d對應關系見表3-3中，用最小二乘法建立起d與之間關系的數(shù)學模型（霍爾-配奇公式）。表3-3 低碳鋼屈服點與晶粒直徑d/um400501052/（）86121180242345以作為x，作為y，取，為一直線。設實驗數(shù)據(jù)點為，一般來說，直線并不通過其中任一實驗數(shù)據(jù)點，因為每點均有偶然誤差，有 （3-51）所有實驗數(shù)據(jù)點誤差的平方和為 （3-52）按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最小的直線是最佳直線。求最小值的條件是 及 （3-53）得出 （3-54）過程中各計算值見表3-4。表3-4 最小二乘法過程中的各計算值12345861211802423459740.050.140.3160.4470.7071.6673961464132400585641190252320260.00250.020.10.20.50.82254.316.9456.88108.74243.915430.209將計算結(jié)果代入方程（3-54）聯(lián)立求解得取，得到以下公式 （3-55）這是典型的霍爾-配奇公式。參考文獻1 陳義華.數(shù)學模型.重慶：重慶大學出版社，19952 陳理榮等.數(shù)學建模導論.北京：北京郵電大學出版社，19993 邱大年等.計算機在材料科學中的應用.北京：北京工業(yè)大學出版社，19904 諶安琦.科技工程中的數(shù)學模