時間序列分析(電子科大)第七章-1

1、7.1 時序理論的拓展時序理論的拓展 研究的時間序列研究的時間序列1.對固定指標集元素對固定指標集元素 ， 是一維是一維 隨隨 機變量機變量; Zt tX,ZtXt 2.指標集元素是一元變量指標集元素是一元變量(單指標時間序列單指標時間序列);3.在一定條件下的線性模型或非線性模型在一定條件下的線性模型或非線性模型1）噪聲方差是常數(shù)）噪聲方差是常數(shù);2）均值函數(shù)是常數(shù)或確定函數(shù)）均值函數(shù)是常數(shù)或確定函數(shù); 實際時間序列的復(fù)雜多變，促使序列分析實際時間序列的復(fù)雜多變，促使序列分析理論產(chǎn)生新的研究方向理論產(chǎn)生新的研究方向.一、多指標一、多指標ARMA模型模型(Random Filed Spatia

2、l Series) 定量描述和分析圖象信息處理中的信息定量描述和分析圖象信息處理中的信息, 要要用雙指標過程；用雙指標過程； 在信息壓縮、地球資源衛(wèi)星照片的識別、生在信息壓縮、地球資源衛(wèi)星照片的識別、生物醫(yī)學(xué)成像、石油勘探數(shù)據(jù)處理物醫(yī)學(xué)成像、石油勘探數(shù)據(jù)處理 眾多應(yīng)用領(lǐng)域都需要由單參數(shù)的時間序眾多應(yīng)用領(lǐng)域都需要由單參數(shù)的時間序列向多參數(shù)的隨機場進行推廣列向多參數(shù)的隨機場進行推廣. 多指標時序分析方法已成為以上應(yīng)用領(lǐng)域多指標時序分析方法已成為以上應(yīng)用領(lǐng)域成為研究的重要數(shù)學(xué)工具成為研究的重要數(shù)學(xué)工具. 建立多指標平穩(wěn)序列的統(tǒng)計數(shù)學(xué)模型、模建立多指標平穩(wěn)序列的統(tǒng)計數(shù)學(xué)模型、模型的參數(shù)估計、譜估計、模

3、型階數(shù)的選定等型的參數(shù)估計、譜估計、模型階數(shù)的選定等問題在理論和應(yīng)用上都是極具意義的問題在理論和應(yīng)用上都是極具意義的. 理論研究滯后，近理論研究滯后，近30多年沒有本質(zhì)的突多年沒有本質(zhì)的突破進展破進展. 雙指標雙指標AR模型模型 定義定義 雙指標序列雙指標序列 稱為稱為雙指標雙指標AR序列序列, 若滿足下列線性隨機差若滿足下列線性隨機差分方程分方程 ),(t ,221tZttX 2kt),t ()kt ()k() t (ZXXS (7.1)其中其中 是雙指標不相關(guān)序列，即是雙指標不相關(guān)序列，即t),t (2Z 0,)u() t (tu2 E1,;0,tututu 對任意對任意2ut,Z S 是

4、是 Z 2 中某個不含中某個不含0 = (0, 0)的子集，稱為的子集，稱為t =(t1, t2) 的的近鄰集近鄰集.近鄰集近鄰集 S 的取法不惟一，如的取法不惟一，如 )0 , 0(0 ,0: ),(p, 02121 pkpkkkS(t1 , t2+2)(t1+1 , t2+2)(t1+2 , t2)(t1 , t2)(t1+2 , t2+2)在模型在模型(7.1)中中1）近鄰集）近鄰集S 確定與確定與X值有依賴關(guān)系的近鄰點；值有依賴關(guān)系的近鄰點；2）參數(shù)集）參數(shù)集 刻劃依賴的程度大小刻劃依賴的程度大小.k),k(S 建模難點：建模難點： 如何理解如何理解 ？)k(t X),(),(kt21

5、21kktt ？ 平面上的點之間不存在全序，定義合理的平面上的點之間不存在全序，定義合理的平面上的半序關(guān)系是研究多指標隨機過程的平面上的半序關(guān)系是研究多指標隨機過程的難點難點與與關(guān)鍵關(guān)鍵.二、多維時間序列二、多維時間序列(Multivariate Time Series) 實際問題中，對固定指標集元素，測量結(jié)實際問題中，對固定指標集元素，測量結(jié)果是多維動態(tài)數(shù)據(jù)果是多維動態(tài)數(shù)據(jù). 例例7.1 對某地區(qū)的月平均氣溫進行預(yù)報，僅對某地區(qū)的月平均氣溫進行預(yù)報，僅根據(jù)氣溫歷史數(shù)據(jù)作出預(yù)報，往往得不到理根據(jù)氣溫歷史數(shù)據(jù)作出預(yù)報，往往得不到理想結(jié)果想結(jié)果. 氣溫還與其它一些動態(tài)數(shù)據(jù)，如氣壓、雨氣溫還與其它一

6、些動態(tài)數(shù)據(jù)，如氣壓、雨量等動態(tài)數(shù)據(jù)密切相關(guān)量等動態(tài)數(shù)據(jù)密切相關(guān). 若將氣溫、氣壓和雨若將氣溫、氣壓和雨量等多種指標綜合考慮，能提高預(yù)報的準確性量等多種指標綜合考慮，能提高預(yù)報的準確性. 例例7.1 分析一個比較復(fù)雜的系統(tǒng)，在分析一個比較復(fù)雜的系統(tǒng)，在t 時刻時刻有有 r 個輸入，個輸入，l 個輸出個輸出系系 統(tǒng)統(tǒng))()2()1(rYYYttt)() 2() 1 (lXXXttt 為對此系統(tǒng)進行較好的控制，需要對多為對此系統(tǒng)進行較好的控制，需要對多維隨機過程維隨機過程),(,),1 (),(,),2(),1 (TtrYYlXXXZtttttt 進行模型識別和建模進行模型識別和建模.稱為多維時間序

7、列稱為多維時間序列.:),(21ZtXXXXmtttt 多維時間序列的分布特性多維時間序列的分布特性miXit, 2 , 1, 1）與每個分量序列分別有關(guān)）與每個分量序列分別有關(guān)2）與不同分量序列之間的相依性有關(guān)）與不同分量序列之間的相依性有關(guān).更重要更重要 關(guān)于一維時間序列的大部分基本理論可以關(guān)于一維時間序列的大部分基本理論可以推廣到多維時間序列的情形，也有一些需特推廣到多維時間序列的情形，也有一些需特別注意的地方別注意的地方. 多維多維ARMA模型的擬合對象是多維零均值模型的擬合對象是多維零均值平穩(wěn)序列平穩(wěn)序列. 若包含季節(jié)性和趨勢性，也要進行季節(jié)性若包含季節(jié)性和趨勢性，也要進行季節(jié)性差分

8、，或分離出確定性成分差分，或分離出確定性成分.定義定義 稱隨機向量稱隨機向量),(,),2 (),1 (ZtmXXXZtttt 是是m 維維ARMA(p, q) 序列，若滿足差分方程序列，若滿足差分方程qtqttptpttXXX 1111的平穩(wěn)解的平穩(wěn)解. 其中其中(7.2) 是是 階實矩陣階實矩陣.qp ,11mm ,)()(ttBXB t ), o( WN(7.3)其中其中ppzzIz 1)(qqzzIz 1)(是矩陣多項式是矩陣多項式.若行列式若行列式 的根在單位圓外，稱模的根在單位圓外，稱模型型(7.3)具有平穩(wěn)性具有平穩(wěn)性; 0)(det B(7.2)可寫為可寫為若若 的根在單位圓外

9、則稱模型具的根在單位圓外則稱模型具有可逆性有可逆性.0)(det B 研究一維時間序列的著眼點是自相關(guān)函數(shù)，研究一維時間序列的著眼點是自相關(guān)函數(shù)，而多維序列則是協(xié)方差矩陣函數(shù)而多維序列則是協(xié)方差矩陣函數(shù)),()(21mtXE mmijththXXEh )()()( 其中其中 是分量序列之間的互相關(guān)函數(shù)，是分量序列之間的互相關(guān)函數(shù)，表征兩個分量序列之間的相依關(guān)系表征兩個分量序列之間的相依關(guān)系.)(hij 三、基于三、基于01序列的時間序列分析序列的時間序列分析 (Binary Time Series）1. 0 1時間序列的實際背景時間序列的實際背景 通過研究兩種狀態(tài)變化的規(guī)律，來研究動態(tài)通過研究

10、兩種狀態(tài)變化的規(guī)律，來研究動態(tài)數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律.許多事物呈現(xiàn)兩種狀態(tài)：許多事物呈現(xiàn)兩種狀態(tài)：“下雨下雨”與與“不下雨不下雨”;拋硬幣出現(xiàn)拋硬幣出現(xiàn)“正面正面”和和“反面反面”;某種股票的某種股票的“上漲上漲”和和“下跌下跌”.可以用可以用“0” 和和“ 1”來標志兩種狀態(tài)來標志兩種狀態(tài). 在地震研究中，設(shè)在地震研究中，設(shè)“1”表示震級大于表示震級大于5，“0”表示震級不大于表示震級不大于5. 例例7.3 生物學(xué)問題生物學(xué)問題 研究神經(jīng)系統(tǒng)考慮幾個研究神經(jīng)系統(tǒng)考慮幾個神經(jīng)元在神經(jīng)元在t 時刻的興奮程度對附近另一個神時刻的興奮程度對附近另一個神經(jīng)元的興奮敏感程度的影響經(jīng)元的興奮敏感程度

11、的影響. 被考察的神經(jīng)元敏感度為被考察的神經(jīng)元敏感度為 ,其周圍的神其周圍的神經(jīng)元敏感度為經(jīng)元敏感度為)(tu),(,),(),(21tututun 若周圍神經(jīng)元興奮敏感程度之和大于若周圍神經(jīng)元興奮敏感程度之和大于 ,則則被考察的神經(jīng)元處于興奮狀態(tài)，稱處于狀態(tài)被考察的神經(jīng)元處于興奮狀態(tài)，稱處于狀態(tài)“1”，否則稱處于狀態(tài)，否則稱處于狀態(tài)“0”，有，有 njjnjjtututu11;)(, 0;)(, 1)(當當 tZ 變化時，得到變化時，得到 01序列序列. 可以從一個平穩(wěn)序列可以從一個平穩(wěn)序列 Xt 出發(fā)產(chǎn)生相應(yīng)的出發(fā)產(chǎn)生相應(yīng)的0 -1序列，設(shè)序列，設(shè) , 對對 Xt 做硬判決做硬判決 )(t

12、XE ;, 0;, 1tttXXW稱稱 Wt 是是 Xt 的水平為均值的水平為均值(也可以是其他也可以是其他水平水平) 的的 01序列序列.(7.4)實際應(yīng)用實際應(yīng)用對對 Xt 的長度為的長度為N的樣本的樣本NXXX,21經(jīng)硬判決經(jīng)硬判決 XXXXWttt,0;, 1 NjjXNX11產(chǎn)生長度為產(chǎn)生長度為 N 的的 0 -1序列序列W1, W2,WN.也可選擇異于平均值的特定值也可選擇異于平均值的特定值a 做硬判決做硬判決:(7.5)如將如將50毫米的雨量定為暴雨毫米的雨量定為暴雨;將六級以上地震定為強烈地震將六級以上地震定為強烈地震;需對兩種不同狀態(tài)進行分析需對兩種不同狀態(tài)進行分析.2. 0

13、 -1時間序列研究方法時間序列研究方法 對正態(tài)平穩(wěn)序列經(jīng)硬判決后得對正態(tài)平穩(wěn)序列經(jīng)硬判決后得0 1序列，序列，已建立了已建立了0 1序列和原序列的關(guān)系理論序列和原序列的關(guān)系理論. 基于基于0 1序列分析，可對原序列建立各序列分析，可對原序列建立各類線性時序模型，并實現(xiàn)有效的遞推預(yù)報類線性時序模型，并實現(xiàn)有效的遞推預(yù)報.1) 計算估計原序列的自相關(guān)函數(shù)以及計算估計原序列的自相關(guān)函數(shù)以及0 1 序列原序列的互相關(guān)函數(shù)序列原序列的互相關(guān)函數(shù); 通過考察分析通過考察分析0 1序列的游程及計算部分序列的游程及計算部分條件概率，可以條件概率，可以2）求原序列模型參數(shù)的極大似然估計；）求原序列模型參數(shù)的極大

14、似然估計；3）原序列模型階的確定；）原序列模型階的確定；3. 0 -1時間序列研究方法的優(yōu)點時間序列研究方法的優(yōu)點 在一定條件下，此種分析方法不僅具有在一定條件下，此種分析方法不僅具有快速簡便的明顯優(yōu)點，而且有細致可靠的快速簡便的明顯優(yōu)點，而且有細致可靠的理論依據(jù)理論依據(jù).另外另外1）某些實際問題不能得到原序列的樣本）某些實際問題不能得到原序列的樣本 列，只可得到以某數(shù)值為判決水平的兩列，只可得到以某數(shù)值為判決水平的兩 狀態(tài)變化序列狀態(tài)變化序列(01序列樣本列序列樣本列). 根據(jù)兩個序列的相關(guān)函數(shù)關(guān)系，可建立根據(jù)兩個序列的相關(guān)函數(shù)關(guān)系，可建立原序列的時序模型；原序列的時序模型；2）基于）基于0

15、1序列對原序列建立時序模型，序列對原序列建立時序模型， 可避免數(shù)據(jù)測不準的技術(shù)性誤差，增強可避免數(shù)據(jù)測不準的技術(shù)性誤差，增強 模型的穩(wěn)健性模型的穩(wěn)健性.3）若將）若將01序列的樣本長度取為序列的樣本長度取為2N，就，就 能與長度能與長度N的原序列所建模型精度一致的原序列所建模型精度一致.4. clipping隨機場隨機場四四.門限自回歸模型門限自回歸模型 湯家豪湯家豪(H.Tong) 1978年提出，研究不斷深年提出，研究不斷深入和日益完善，應(yīng)用有成效入和日益完善，應(yīng)用有成效. 門限自回歸模型可視為分段線性模型，門限自回歸模型可視為分段線性模型，用于描述一類有突變性規(guī)律的非線性序列用于描述一類

16、有突變性規(guī)律的非線性序列.基本思想基本思想 利用門限值把非線性序列按狀態(tài)空利用門限值把非線性序列按狀態(tài)空 間取值，用逐段線性化手段處理非間取值，用逐段線性化手段處理非 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng). 將實數(shù)軸劃分為將實數(shù)軸劃分為r段，當段，當Xtd落入第落入第j段時采段時采用階為用階為pj的自回歸模型描述的自回歸模型描述. 由于門限的控制作用，保證了模型的穩(wěn)定由于門限的控制作用，保證了模型的穩(wěn)定性，能有效地描述有周期性的系統(tǒng)性，能有效地描述有周期性的系統(tǒng).例例7.2 加拿大山貓序列門限自回歸模型加拿大山貓序列門限自回歸模型1821年年1934年捕捉的加拿大山貓數(shù)量如下年捕捉的加拿大山貓數(shù)量如下 將時間序列

17、取以將時間序列取以10 為底的對數(shù)，建立為底的對數(shù)，建立模型如下模型如下 .05. 3,237. 0091. 0080. 1425. 1296. 205. 3,174. 0033. 0224. 0453. 0171. 0207. 0068. 1802. 023212654321ttttttttttttttXXXXXXXXXXXX當當，當當 對山貓數(shù)量的預(yù)測效果很好對山貓數(shù)量的預(yù)測效果很好. .),()()()(;),2 () 2 () 2 () 2 (;),1 () 1 () 1 () 1 (11101211011102211dtrtptptdttptptdttptpttXwrXrXrrwXw

18、XXwXXXXrr當當當當當當門限自回歸模型的門限自回歸模型的一般形式為一般形式為, 1 , 0, 2 , 1),(jipirjj 其中其中為模型參數(shù)，每個為模型參數(shù)，每個 都是白噪聲序列，都是白噪聲序列，)(jt (7.6)121, rwww稱為稱為門限值門限值，d 稱為稱為門限延遲步數(shù)門限延遲步數(shù).記為記為SETAR（d, r, p1, pr）五五. 回歸回歸自回歸混合模型自回歸混合模型 混合模型彌補了混合模型彌補了單純回歸單純回歸模型或模型或純自回純自回歸歸模型的局限性模型的局限性. 如考察某地的逐月降雨量，不僅與相應(yīng)如考察某地的逐月降雨量，不僅與相應(yīng)的日照量、氣壓量和濕度等有關(guān)，還與這

19、的日照量、氣壓量和濕度等有關(guān)，還與這些量的當前值及雨量過去歷史值有關(guān)些量的當前值及雨量過去歷史值有關(guān). 用混合模型做預(yù)報能提高精度用混合模型做預(yù)報能提高精度.1. 回歸回歸自回歸混合串聯(lián)模型自回歸混合串聯(lián)模型ttqftftfptpttqaaaXXX )()(2)(11121其中其中p ,21qaaa,21)(,),(),(21tftftfqt 自回歸參數(shù)自回歸參數(shù); 回歸參數(shù)回歸參數(shù); t 時刻自變量值時刻自變量值;白噪聲序列白噪聲序列.(7.7)自回歸部分自回歸部分回歸部分回歸部分2. 回歸回歸自回歸混合并聯(lián)模型自回歸混合并聯(lián)模型 tptptttqqtXXXXtgtgY1111)()(7.7

20、)其中其中q ,21)(,),(),(21tgtgtgq 回歸參數(shù)；回歸參數(shù)；t 時刻自變量值；時刻自變量值；t 白噪聲序列白噪聲序列.自回歸部分自回歸部分回歸回歸殘量殘量更一般時序回歸模型更一般時序回歸模型 qtqttptptttqqtXXXXtgtgY111111)()(六、長記憶過程六、長記憶過程 ARMA模型常稱為短記憶過程，因為其模型常稱為短記憶過程，因為其相關(guān)函數(shù)具有拖尾性，即滿足相關(guān)函數(shù)具有拖尾性，即滿足, 2 , 1, kCrkk . 10 , 0 rC其中其中稱自相關(guān)系數(shù)滿足稱自相關(guān)系數(shù)滿足 kCrdk,12 . 5 . 0, 0 dC其中其中的平穩(wěn)過程是長記憶過程，的平穩(wěn)過

21、程是長記憶過程， 長記憶過程的自相關(guān)系數(shù)非常緩慢地收長記憶過程的自相關(guān)系數(shù)非常緩慢地收斂與零，大量水文學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中觀察的序斂與零，大量水文學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中觀察的序列是這類過程列是這類過程.七、無限方差線性過程七、無限方差線性過程八、金融時間序列模型簡介八、金融時間序列模型簡介 傳統(tǒng)時間序列分析理論中需假定各類線性傳統(tǒng)時間序列分析理論中需假定各類線性或非線性模型的殘差序列是白噪聲或非線性模型的殘差序列是白噪聲.白噪聲序列的方差是一個固定的常數(shù)白噪聲序列的方差是一個固定的常數(shù). 金融時間序列建模往往不能滿足相應(yīng)條件金融時間序列建模往往不能滿足相應(yīng)條件. 如收益率如收益率,匯率匯率, 其殘差序列的方差往

22、往是隨其殘差序列的方差往往是隨時間變化的時間變化的. 金融時間序列體現(xiàn)出方差的時變性和波動金融時間序列體現(xiàn)出方差的時變性和波動的長記憶性的長記憶性(ARCH效應(yīng)效應(yīng)). 時變方差的研究是金融時間序列建模工作時變方差的研究是金融時間序列建模工作的重要出發(fā)點的重要出發(fā)點.基于序列的時變二階矩有兩種不同的假定：基于序列的時變二階矩有兩種不同的假定：*1.序列的時變方差是可觀察的序列的時變方差是可觀察的, 進而可用一進而可用一 個確定的函數(shù)形式來表示；個確定的函數(shù)形式來表示； *2 序列的時變方差是一種不可觀測的隨機過序列的時變方差是一種不可觀測的隨機過程；程； 由此出發(fā)產(chǎn)生針對波動性的兩類建模方法由

23、此出發(fā)產(chǎn)生針對波動性的兩類建模方法. 1.時變條件方差模型時變條件方差模型(ARCH模型）模型） Engle于于1982年提出的一種時變條件方差年提出的一種時變條件方差模型模型ARCH模型在解決時變方差序列的模型在解決時變方差序列的問題中得到廣泛的應(yīng)用，特別是在經(jīng)濟金融問題中得到廣泛的應(yīng)用，特別是在經(jīng)濟金融領(lǐng)域，因此，領(lǐng)域，因此，Engle也成為也成為2003年年Nobel經(jīng)濟經(jīng)濟獎獲得者之一獎獲得者之一. 假定資產(chǎn)收益序列的殘差序列假定資產(chǎn)收益序列的殘差序列的方差序列為的方差序列為 ， ,Ztt ,Ztht 函數(shù)表示，由過去收益的殘差平方與滯后的函數(shù)表示，由過去收益的殘差平方與滯后的條件方差

24、來決定條件方差來決定. 可用一個確定的可用一個確定的2. 廣義自回歸條件異方差模型廣義自回歸條件異方差模型(GARCH ) 兼顧了金融時間序列體現(xiàn)出的方差時變性兼顧了金融時間序列體現(xiàn)出的方差時變性以及波動的長記憶性，以及波動的長記憶性， GARCH模型在預(yù)測模型在預(yù)測金融收益方差上是比較成功的金融收益方差上是比較成功的. 由于其良好的統(tǒng)計特性和對隨機波動的準由于其良好的統(tǒng)計特性和對隨機波動的準確的描述確的描述, GARCH模型一經(jīng)提出就被廣泛的模型一經(jīng)提出就被廣泛的用在解決收益率用在解決收益率, 利率的波動性利率的波動性, 市場風(fēng)險估市場風(fēng)險估計，價格波動等問題上計，價格波動等問題上. GAR

25、CH模型在應(yīng)用的過程中模型在應(yīng)用的過程中, 得到不斷的得到不斷的修正和擴充修正和擴充, 其理論得到不斷的完善其理論得到不斷的完善, 形成了形成了GARCH模型族模型族, 成為了分析金融時間序列的成為了分析金融時間序列的主流工具主流工具. 異方差的性質(zhì)異方差的性質(zhì) 異方差的定義異方差的定義如果隨機誤差序列的方差會隨著時間的如果隨機誤差序列的方差會隨著時間的變化而變化，這種情況被稱作為異方差變化而變化，這種情況被稱作為異方差 異方差的影響異方差的影響忽視異方差的存在會導(dǎo)致殘差的方差會忽視異方差的存在會導(dǎo)致殘差的方差會被嚴重低估，繼而參數(shù)顯著性檢驗容易被嚴重低估，繼而參數(shù)顯著性檢驗容易犯納偽錯誤，這

26、使得參數(shù)的顯著性檢驗犯納偽錯誤，這使得參數(shù)的顯著性檢驗失去意義，最終導(dǎo)致模型的擬合精度受失去意義，最終導(dǎo)致模型的擬合精度受影響。影響。 ()( )tVarh t 殘差圖殘差圖 方差齊性殘差圖方差齊性殘差圖 遞增型異方差殘差圖遞增型異方差殘差圖異方差直觀診斷異方差直觀診斷殘差平方圖殘差平方圖 原理原理殘差序列的方差實際上就是它平方的期殘差序列的方差實際上就是它平方的期望。望。所以考察殘差序列是否方差齊性，主要所以考察殘差序列是否方差齊性，主要是考察殘差平方序列是否平穩(wěn)是考察殘差平方序列是否平穩(wěn) 2()()ttVarE 異方差直觀診斷異方差直觀診斷 例例7.3 7.3 直觀考察美國直觀考察美國19

27、63年年4月月1971年年7月短期國庫券的月度收益率序列的方差齊性。月短期國庫券的月度收益率序列的方差齊性。 一階差分后殘差圖一階差分后殘差圖一階差分后殘差平方圖一階差分后殘差平方圖異方差處理方法異方差處理方法 假如已知異方差函數(shù)具體形式，進行方差假如已知異方差函數(shù)具體形式，進行方差齊性變化齊性變化 假如不知異方差函數(shù)的具體形式，擬合條假如不知異方差函數(shù)的具體形式，擬合條件異方差模型件異方差模型 方差齊性變換方差齊性變換 使用場合使用場合 序列顯示出顯著的異方差性，且方差與序列顯示出顯著的異方差性，且方差與均值之間具有某種函數(shù)關(guān)系均值之間具有某種函數(shù)關(guān)系 其中：其中： 是某個已知函數(shù)是某個已知

28、函數(shù) 處理思路處理思路嘗試尋找一個轉(zhuǎn)換函數(shù)嘗試尋找一個轉(zhuǎn)換函數(shù) ，使得經(jīng)轉(zhuǎn)，使得經(jīng)轉(zhuǎn)換后的變量滿足方差齊性換后的變量滿足方差齊性2()tth ( )h ( )g 2 ()tVar g x 轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定原理轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定原理 轉(zhuǎn)換函數(shù)轉(zhuǎn)換函數(shù) 在在 附近作一階泰勒展開附近作一階泰勒展開 求轉(zhuǎn)換函數(shù)的方差求轉(zhuǎn)換函數(shù)的方差 轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定()tg xt ()()()()tttttg xgxg 2 () ()()()()()tttttttVar g xVar gxggh 1()()ttgh 常用轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定常用轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定 假定假定 轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定2()tttth 1

29、1()()log()()tttttggh 續(xù)例續(xù)例7.3 對美國對美國1963年年4月月1971年年7月短期國庫月短期國庫券的月度收益率序列使用方差齊性變換方券的月度收益率序列使用方差齊性變換方法進行分析法進行分析 假定假定 函數(shù)變換函數(shù)變換ttx log()ttyx 對數(shù)序列時序圖對數(shù)序列時序圖一階差分后序列圖一階差分后序列圖白噪聲檢驗白噪聲檢驗延遲階數(shù)延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量統(tǒng)計量P值值63.580.73371210.820.54411821.710.2452擬合模型口徑及擬合效果圖擬合模型口徑及擬合效果圖ttx )log(條件異方差模型條件異方差模型 ARCH模型模型 GARCH模型模型 GA

30、RCH模型的變體模型的變體 EGARCH模型模型 IGARCH模型模型 GARCH-M模型模型 AR-GARCH模型模型ARCH模型模型 假定假定 原理原理通過構(gòu)造殘差平方通過構(gòu)造殘差平方序列的自回歸模型來序列的自回歸模型來擬合異方差函數(shù)擬合異方差函數(shù) ARCH(q)模型結(jié)構(gòu)模型結(jié)構(gòu)1221( ,)tttttttqtjtjjxf t xxheh (0,1)tthN GARCH 模型結(jié)構(gòu)模型結(jié)構(gòu) 使用場合使用場合 ARCH模型實際上適模型實際上適用于異方差函數(shù)短期用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過程自相關(guān)過程 GARCH模型實際上模型實際上適用于異方差函數(shù)長適用于異方差函數(shù)長期自相關(guān)過程期自相關(guān)過程 模

31、型結(jié)構(gòu)模型結(jié)構(gòu)12211( ,)tttttttpqtit ijtjijxf t xxhehh GARCH模型的約束條件模型的約束條件 參數(shù)非負參數(shù)非負 參數(shù)有界參數(shù)有界 0,0,0ij 111pqijijEGARCH模型1211( ,)ln()ln()()()tttttttpqtit ijtijttttxf t xxh ehhg eg eeeE e IGARCH模型模型1221111( ,)1tttttttpqtit ijtjijpqijijxf t xxh ehh GARCH-M模型模型12211( ,)ttttttttpqtit ijtjijxf t xxhh ehh AR-GARCH模型

32、模型121211( ,)ttttmtkt ktktttpqtit ijtjijxf t xxh ehh GARCH模型擬合步驟模型擬合步驟 回歸擬合回歸擬合 殘差自相關(guān)性檢驗殘差自相關(guān)性檢驗 異方差自相關(guān)性檢驗異方差自相關(guān)性檢驗 ARCH模型定階模型定階 參數(shù)估計參數(shù)估計 正態(tài)性檢驗正態(tài)性檢驗例例7.4使用條件異方差模型擬合某金融時間使用條件異方差模型擬合某金融時間序列序列回歸擬合回歸擬合 擬合模型擬合模型 參數(shù)估計參數(shù)估計 參數(shù)顯著性檢驗參數(shù)顯著性檢驗P P值值0.0001,0.0001,參數(shù)高度顯著參數(shù)高度顯著 11tttxx 11.0053 殘差自相關(guān)性檢驗殘差自相關(guān)性檢驗 殘差序列殘差

33、序列DW檢驗結(jié)果檢驗結(jié)果 Durbin h = -2.6011 擬合殘差自回歸模型擬合殘差自回歸模型 方法：逐步回歸方法：逐步回歸 模型口徑模型口徑Pr(2.6011)0.0046Dh 120.15590.407tttt 異方差自相關(guān)檢驗異方差自相關(guān)檢驗 Portmantea QPortmantea Q檢驗檢驗 拉格朗日乘子（拉格朗日乘子（LMLM）檢驗）檢驗 Portmantea QPortmantea Q檢驗檢驗 假設(shè)條件假設(shè)條件 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 檢驗結(jié)果檢驗結(jié)果 拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè) 接受原假設(shè)接受原假設(shè)012112:0:,qqHH 不不全全為為零零221( )(2)(1)qiiQ

34、 qn nqni 21( )(1)Q qq 21( )(1)Q qq LM檢驗檢驗 假設(shè)條件假設(shè)條件 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 檢驗結(jié)果檢驗結(jié)果 拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè) 接受原假設(shè)接受原假設(shè)012112:0:,qqHH 不不全全為為零零21( )(1)Q qq 21( )(1)Q qq 22212222( ),qLM qW WW 例例7.4 的殘差序列異方差檢驗的殘差序列異方差檢驗ARCH模型擬合模型擬合 定階：定階：GARCH(1,1) 參數(shù)估計：極大似然估計參數(shù)估計：極大似然估計 擬合模型口徑：擬合模型口徑：AR(2)-GARCH(1,1)1122111.00460.15590.4070.095

35、10.89990.1053tttttttttttttxxh ehh 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗 檢驗方法：正態(tài)性檢驗檢驗方法：正態(tài)性檢驗 假設(shè)條件：假設(shè)條件： 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 檢驗結(jié)果檢驗結(jié)果 拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè) 接受原假設(shè)接受原假設(shè)00:(0,1):(0,1)notttHeNHeN22212(3) (2)624nnnTbb 21(2)nT 21(2)nT 例例7.4 的正態(tài)性檢驗結(jié)果的正態(tài)性檢驗結(jié)果 P值值0.5603 AR(2)-GARCH(1,1)模型顯著成立模型顯著成立1.1585nT 例例7.4的擬合效果圖的擬合效果圖3. SV模型模型 SV模型最早由模型最早由Clark于于1973年

36、提出年提出, 后由后由Jacquier及及Harvey等人引入經(jīng)濟計量學(xué)領(lǐng)域等人引入經(jīng)濟計量學(xué)領(lǐng)域. 目前應(yīng)用較為廣泛的是由目前應(yīng)用較為廣泛的是由Taylor于于1986年年提出的提出的SV模型模型, 一種離散時間的一種離散時間的SV模型模型. SV模型假定時變方差是一種不可觀測的隨模型假定時變方差是一種不可觀測的隨機過程機過程. 常見的常見的SV模型模型 SV模型的參數(shù)估計方法模型的參數(shù)估計方法離散離散SV模型模型22122,1,2.,lnln.(0,1),.(0,),| |1.tttttttttSVytTyti iNi iN 基基本本的的離離散散模模型型如如下下： 其其中中 是是消消去去均

37、均值值后后第第 期期的的收收益益，一一般般假假定定且且未未知知。為為常常數(shù)數(shù)， 為為持持續(xù)續(xù)性性參參數(shù)數(shù), ,反反映映當當前前波波動動對對未未來來波波動動的的影影響響，:22121ln,| |1.tttthttttthtttttyehhyehh 如如果果取取h h則則可可以以得得到到 還還有有其其他他不不同同的的S SV V模模型型，如如： ， 式式中中是是比比例例參參數(shù)數(shù)，表表示示平平均均波波動動水水平平，該該模模型型消消除除了了常常數(shù)數(shù)項項離散隨機波動模型的性質(zhì)離散隨機波動模型的性質(zhì)離散隨機波動模型的性質(zhì)離散隨機波動模型的性質(zhì)厚尾厚尾SV模型模型含有外生因素的含有外生因素的SV模型模型21

38、112exp(/ 2),.(0,1)exp(/ 2)ttttttttttttttttyabycdDhhhDyi idhDc 金金融融資資產(chǎn)產(chǎn)收收益益的的均均值值和和波波動動常常會會受受到到一一些些外外生生解解釋釋變變量量的的影影響響，這這些些變變量量包包括括虛虛擬擬變變量量，季季節(jié)節(jié)成成分分，周周末末效效應(yīng)應(yīng)，成成交交量量等等。其其模模型型體體現(xiàn)現(xiàn)為為： 其其中中表表示示測測度度序序列列的的波波動動，表表示示周周末末效效應(yīng)應(yīng)的的虛虛擬擬變變量量，在在周周末末后后得得一一個個交交易易日日取取1 1，其其余余取取0 0。項項是是來來: :1ty 刻刻畫畫風(fēng)風(fēng)險險溢溢價價，而而刻刻畫畫當當期期收收益

39、益與與未未來來收收益益波波動動的的相相關(guān)關(guān)性性。含有前期觀測影響的含有前期觀測影響的SV模型模型2211ln,nthttnttit itittttiSVyehhyh 考考慮慮到到前前期期觀觀測測對對當當前前波波動動的的影影響響，模模型型擴擴展展為為： ，其其中中和和是是互互不不相相關(guān)關(guān)的的白白噪噪聲聲序序列列，且且和和不不相相關(guān)關(guān)。為為常常數(shù)數(shù)。 為為模模型型中中待待定定階階數(shù)數(shù)，可可通通過過AICAIC準準則則或或模模型型均均方方誤誤差差（最最小?。蕼蕜t則來來確確定定?？紤]預(yù)期收益的考慮預(yù)期收益的SV模型模型1*221*,.(0,1).(0,)dttttttttthttttttttttSV

40、SVMyi iNabydehhi iNytth 在在模模型型中中，為為了了研研究究風(fēng)風(fēng)險險與與預(yù)預(yù)期期收收益益的的關(guān)關(guān)系系，提提出出了了模模型型 ， 其其中中為為在在時時刻刻 的的超超額額收收益益，為為時時刻刻 的的預(yù)預(yù)期期收收益益，為為對對數(shù)數(shù)波波動動，是是尺尺度度因因子子為為正正常常數(shù)數(shù)，和和是是互互不不相相關(guān)關(guān)的的白白噪噪聲聲過過程程。 為為波波從從持持續(xù)續(xù)性性參參數(shù)數(shù)， 則則: : :度度量量了了波波動動對對預(yù)預(yù)期期收收益益影影響響的的參參數(shù)數(shù)。長記憶長記憶SV模型模型2exp(/ 2),.(0,1)(1)( )( ),.(0,)( )( )ttttdtttyhi idLL hLi i

41、NLL 為為了了刻刻畫畫波波動動過過程程中中表表現(xiàn)現(xiàn)的的長長記記憶憶特特征征，提提出出了了如如下下模模型型： 其其中中和和為為滯滯后后算算子子多多項項式式，它它們們的的特特征征根根都都在在圓圓外外。且且- -0 0. .5 5 d d 0 0. .5 5。: : :222222222= ln=lnln. . (0,).lnln=-1.27/ 2ttttttttEEi i dE 其其中中，如如果果 服服從從標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布，則則服服從從對對數(shù)數(shù)分分布布，且且，: :2ln,ttzy 令令并并兩兩邊邊取取對對數(shù)數(shù)有有2222ln= lnlnlnttttttttzyEhEhBox-Cox-S

42、V模型模型2212,1,2.,(, ) (, ) (0,1)(, )( , )1,0( , )=ln ,0tttttttttBox VoxSVSVytThhNhh xBox Voxxh xx 模模型型是是一一類類非非線線性性模模型型，其其表表述述如如下下 和和是是兩兩個個不不相相關(guān)關(guān)的的序序列列，是是參參數(shù)數(shù)為為 的的函函數(shù)數(shù)。這這里里取取變變換換： 21/21(, ) (, )=,(, )=(1),0= (, )exp(),0tttttttttttttttthhyg hghhg hgBoxVoxhgg hh 如如果果記記，則則上上述述模模型型可可改改寫寫為為： 式式中中是是變變換換的的逆逆函

43、函數(shù)數(shù)，有有： 杠桿杠桿SV模型模型變截距變截距SV模型模型 金金融融收收益益序序列列的的波波動動性性表表現(xiàn)現(xiàn)出出很很強強的的持持續(xù)續(xù)性性( (即即 的的估估計計值值接接近近1 1) )一一般般認認為為這這種種波波動動持持續(xù)續(xù)性性的的一一個個重重要要原原因因是是波波動動中中存存在在結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)變變化化。這這種種結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)變變化化有有可可能能是是模模型型中中參參數(shù)數(shù)的的改改變變，也也可可能能是是模模型型形形式式的的變變化化，其其基基本本原原因因在在于于經(jīng)經(jīng)濟濟、金金融融政政策策的的出出臺臺，金金融融監(jiān)監(jiān)管管制制度度的的變變化化以以及及金金融融市市場場自自身身的的完完善善。2201,lnln,. .(0

44、,1)10tttttttttSVyrDi i ND 變變截截距距模模型型也也稱稱門門限限自自回回歸歸形形式式： 其其中中為為虛虛擬擬變變量量，在在高高、低低波波動動狀狀態(tài)態(tài)分分別別取取 和和: :SV模型的參數(shù)估計方法模型的參數(shù)估計方法 偽極大似然方法偽極大似然方法 馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法 （MCMC方法、方法、Gibbs、M-H） 非線性濾波極大似然方法非線性濾波極大似然方法 廣義矩方法廣義矩方法 模擬極大似然方法模擬極大似然方法 經(jīng)驗特征函數(shù)方法經(jīng)驗特征函數(shù)方法偽極大似然方法偽極大似然方法222221122=() ,(| )( ,| )TTTTttttttRyyySV

45、Lf yf yd 基基本本S SV V模模型型共共有有三三個個未未知知參參數(shù)數(shù)： , , , ,。令令, , , ,其其中中是是 方方差差，模模型型似似然然函函數(shù)數(shù)為為：其其中中f f( (. .| |. .) )表表示示條條件件密密度度，T T為為觀觀測測樣樣本本容容量量。由由于于似似然然函函數(shù)數(shù)是是一一個個T T重重積積分分，且且該該積積分分不不具具有有解解析析表表達達式式Q QM ML L把把S SV V基基本本模模型型轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換為為線線性性狀狀態(tài)態(tài)空空間間形形式式：12222=ln,=ln.1-1.27/ 2tttttttttttttttxxxyxhx z z 其其中中z z是是不不可可

46、觀觀測測的的變變量量，服服從從自自由由度度為為 的的對對數(shù)數(shù)分分布布， 的的均均值值和和方方差差分分別別為為和和。|12|11|01|0 =1.27/ 2(),ttttt ttt tttfxfPPxxP 和和分分別別為為預(yù)預(yù)測測誤誤差差和和方方差差，且且 z z 為為的的方方差差給給定定初初始始值值和和濾濾波波就就可可以以遞遞推推進進行行。21|01|0211 | |1,11lnln2ln222lntttTTttttttxxPTLff 如如果果則則 的的無無條條件件均均值值和和方方差差分分別別為為 /1-/1-和和/1-/1- ，它它們們通通常常作作為為和和 如如果果誤誤差差項項 和和服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，則則對對數(shù)數(shù)似似然然函函數(shù)數(shù)為為 由由于于觀觀測測誤誤差差項項 是是非非正正態(tài)態(tài)的的，且且均均值值和和方方差差并并非非精精確確值值，因因此此該該方方法法稱稱為為