2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)頂?shù)試題(山東卷)

1、絕密啟用前2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題(山東卷)本試卷分第I卷和第U卷兩部分， 共4頁。滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后, 將將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1. 答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)、縣區(qū)和科類填 寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上。2. 第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答案寫在試卷上無效。3. 第U卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng) 的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的

2、答案；不能使用 涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。4. 填空題直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.參考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)二P(A)+P(B).第I卷(共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合要求的(1) 若復(fù)數(shù)z滿足2z z 3 2i，其中i為虛數(shù)單位，則z=(A) 1+2i(B) 1 2i(C) 1 2i (D) 1 2i【答案】B【解析】試題分析；設(shè)色=松+加則N + ? = +壬=3 故噸=1上=2 ,則2 = 1 玉，選艮 考點(diǎn)：注意共軛復(fù)數(shù)的概念 .x2(2)

3、 設(shè)集合 A y|y 2 ,x R, B x|x 1 0,則 AU B =(A) ( 1,1)(B) (0,1)(C) ( 1, )( D) (0,)【答案】C【解析】試題分析：A y|y 0 , B x| 1 x 1，則 A B x|x 1，選 C.考點(diǎn)：本題涉及到求函數(shù)值域、解不等式以及集合的運(yùn)算(3) 某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是

4、(A)56( B)60( C)120( D)140【答案】D【解析】試題分析2目習(xí)時(shí)晅環(huán)少于汕則時(shí)為后三組，(0J6 + 0.08 + 0.04)k2.5 =,故人數(shù)為200x0.7=140 A.選 D考點(diǎn)：頻率分布直方圖(4)若變量x,|x+ y? 2,y滿足芬-3y? 9,則x2 +锍x 0,y的最大值是(A) 4( B) 9( C) 10 ( D) 12【答案】C【解析】試題分析：不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，x2y2表示點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)距離的平方，最大值必在頂點(diǎn)處取到2，經(jīng)驗(yàn)證最大值OC 10,故選C.考點(diǎn)：線性規(guī)劃求最值(5

5、) 個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為(A)(B) 1(C) - -n36(D) 1.2n6【答案】C【溺】試趣分析：由三視圍可如上面是半輕為纟的半球供積為氏二U心i二孚下面是底面積為2 2 3 I 2 I 6 J1高為1的四棱稚體積并二2其岡顯 故迭c(diǎn).3 3考點(diǎn)：根據(jù)三視圖求體積.(6) 已知直線a, b分別在兩個(gè)不同的平面 a, B內(nèi)則 直線a和直線b相交”是 平面a和平面” B相交”的(A )充分不必要條件(B )必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：直線 a與直線b相交,則，一定相交，若，相交，則a,b可能相

6、交，也可能平行，故選A.考點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系；充分、必要條件的判斷(7) 函數(shù) f (x) = ( 3 sinx+cosx) (、3 cosx -sinx)的最小正周期是n(A)( B) n23 n(D) 2 n(C)2【答案】B【解析】試題分析：fx2si nx _2cos x22sin 2x，故最小正周期T，故選B6632考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡求值，周期公式1(8) 已知非零向量 m, n滿足4 |m | =3 |n | , cos<m, n>=_ .若門丄(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為3(A) 4(B) -4(C) 9(D)【答案】B【翔】忙題分析：由4阿=3口說 =4.kl

7、<>0)"所円+ n) = TT>im += t » r cos < w: n> + rj百=7故選B”考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積(9)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R.當(dāng)x<0時(shí)，f(x) x31 1時(shí)，f(x ) f (x )則 f(6)=(A ) -2( B) - 1( C) 0( D) 2【答案】D【解析】111試題分析：當(dāng) x 時(shí)，f (x ) f (x )，所以當(dāng)222f(6)f (1)，又因?yàn)楹瘮?shù)f (x)是奇函數(shù)，所以f (1)二片兀 4址X二十(斗疋F 二 41： +16k：二 0 所1 ；當(dāng) 1 x 1 時(shí)，f ( x) f

8、(x)；當(dāng) X 11x -時(shí)，函數(shù)f (x)是周期為1的周期函數(shù)，所以23f( 1)112，故選 D.考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)的周期性、奇偶性，靈活變換求得函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵(10)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是(A) y=sinx ( B) y=lnx( C) y=ex( D) y=x3【答案】A【解析】試題分析：當(dāng)y si nx時(shí)，y cosx，cos0 cos 1，所以在函數(shù)y si nx圖象存在兩點(diǎn)x 0, x使條件成立，故 A正確；函數(shù)y ln x, y ex, y x3的導(dǎo)數(shù)值均非負(fù)，不

9、符合題意，故選 A.-1.考點(diǎn)：本題注意實(shí)質(zhì)上是檢驗(yàn)函數(shù)圖像上存在兩點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值乘積等于第U卷(共100分)二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。(11)執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的a,b的值分別為0和9,則輸出的i的值為【答案】3/袖A/dL1【解折】試題分析；策一次循環(huán)；“】七二$：第二比循環(huán)；耳二3.b二G策三次循環(huán)：a=6tb=3;滿足條化結(jié)東循環(huán)，此時(shí) i-3考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)抓住結(jié)束點(diǎn)是關(guān)鍵 (12)若(ax2+3的展開式中x3的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a=【答案】-2【解析】試題分析：因?yàn)門r 1C5(ax2)5(*)匚10C5a5 rx，所以由10r 2，因此Cfa5 280

10、a 2.考點(diǎn)：二項(xiàng)展開式2 2(13)已知雙曲線E1：篤 y-a2 b21 (a>0，b> 0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在 E 上, AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2AB|=3|BC|，貝U E的離心率是【答案】2【解析】2b,|BC | 2c, a由 2 AB 3BC , c2 a2 b2 得b2b2試題分析：易得A(c, ) , B(c,),所以|AB | aa 1離心率e 2或e -（舍去），所以離心率為2.2考點(diǎn)：把涉及到的兩個(gè)線段的長度表示出來是做題的關(guān)鍵（14）在-1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓（x- 5）2 + y2 = 9相交”發(fā)生的概率為

11、3【答案】34【解析】試題分析：z 與圓a-才+乎g相交需要滿足圓心到賞線的距高小于半程d二半生3解得斗leg 而如7小 所以發(fā)生的槪率|=44 424考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系；幾何概型概率| x |x m（15）已知函數(shù)f（x） 1 /其中m 0,若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f （x）=b有三x 2mx 4m, x m個(gè)不同的根，則 m的取值范圍是 .【答案】（3,）【解析】試題分析：由題意畫出函數(shù)圖像為圖時(shí)才符合，要滿足存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f （x）=b有三個(gè)不同的根應(yīng)4m m2 m解得m 3，即（3,）.考點(diǎn)：能夠準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖像是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：本答題共6小題，共7

12、5分（16）（本小題滿分12分）在厶ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知2(tanA tanB)tan A tan BcosB cosA(I)證明：a+b=2c;(n)求cosC的最小值.1【答案】(I)見解析；(n)丄2【解析】試題分析三(1 )根兩角和的正弦公式、正切公式、正弓蜒理即可證明;(II)根據(jù)余弦定理公式表示岀 T 由基本不等式求辭的最小值.wdKj嚴(yán)亠士f si口“ sin 5 sin Asin B試題W= (I) t題竟知2 + = + ,' cos A 匚os 5cascoscos-d、簡彳導(dǎo) 2 (sin-.4cosS + sin 5cosX

13、l =siii J +sin B ,即2sin < A -F= sn A + sia J?.因?yàn)?A + B -C = r所以 sifi(J；+E i = sifll>r-C) =sinC從而 sin J -snB=2nC由正弦定理得門+由二立所以cosCa2 b2c2a2 b22ab2ab當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)，等號(hào)成立.1故cosC的最小值為一.2考點(diǎn)：兩角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式FB17.(本小題滿分12分)在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓0的直徑，EF是上底面圓O'的直徑,是圓臺(tái)的一條母線(I)已知 G,H分別為EC, FB的中點(diǎn)，求證：

14、GH /平面ABC;(II)已知 EF=FB= 1ac=23AB=BC.求二面角 F BC A 的余弦值.【答案】（I）見解析；（H）7【解析】試題分析：（1 ）根1E線面平行找到平面衛(wèi)因與GE平行的直線即可；（）解法 建立空間直角坐標(biāo)系求解f （2） t'J為二正角F-成C-T的平面角直接求解試題解析： 證明；設(shè)FC的中點(diǎn)為人連接0昭在乂EF因?yàn)镚罡蛋的中點(diǎn)所以GH陸又EF"O氏所以GAVOB,在2C阿中，因?yàn)槎莿?lì)的中點(diǎn)，所門耳7阮只皿廠所以平面GH1平面肋?.因?yàn)镚耳二平面GHZ所以GH II平面ABC .<11>解法一；連接oo；則00丄平直血C,艾血且是

15、圓。的直徑，所VBO-AC.以0為坐標(biāo)匾軋建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題青需班0=次任0）, C（-邁0®,過點(diǎn)產(chǎn)作D呂于點(diǎn)肛， 所= J抄-血=鼻可得Fg民茅故荒二0 込-燼 ）JF二（0 -員3）.設(shè) = （r: f是平面2? CF滬個(gè)法向量一ir uuum BC 0 由 ir uuum BF 0可得2 3x 2 “ 0巧 y 3z 0irJ3可得平面BCF的一個(gè)法向量 m （ I,、3）,因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量n （0,0,1）,所以cosm, n|m| n|所以二面角FBCA的余弦值為解法二：連接過點(diǎn)F作FM于點(diǎn)AG又0O丄平面ABG 可得 FM 二FB1 -BM2 二

16、 3.過點(diǎn)M作皿V _ £0于* ,連接掄、可得FN從而ZFNM為二面角F-BC-A的平面角.又曲訂CM是圓0的直輕,.Jg所以.WX = *f§i口4亍二止.7從而FV二巫3 可得cosZJAf =.27 'V?所以二面甬F-BC-A的舘玄值為當(dāng)7考點(diǎn)：空間平行判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力(18)(本小題滿分12分)已知數(shù)列 a的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8 n, bn是等差數(shù)列，且an bn bn 1.(I)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(n) 令 cn(a1)n 1n .求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.(bn 2)【答案】(I) bn 3n 1

17、； (n)嘰 3n 2n 2【解析】試題分析二（1）根據(jù)的 7陥即等差數(shù)列的迪頊公式求斛（11）m < I）mm列伍出的迪項(xiàng)公式再用錯(cuò)位相確球其前項(xiàng)和.試題解析K I）由題童當(dāng)皿之2時(shí)，叫話-九 =6«+5,當(dāng)川=1時(shí)，ol = Sl=llj所以.弧二弘5;（a. =&,+*. ril = 2. +H謖數(shù)列的公差為e由：L 2 7，即二 解之得力二4衛(wèi)二3,所決緒二知十1 二乩 + H 1 二 f（II）由（I ）知 q 二 6少二 3（疋 + 1）二"，又二 c +C + G+譏巳+ 3）用耳i ,.龍即琮=32x21 +3x2J +4x?4十十山十1）2&

18、#39;已,所以27； =3px2a + 3x24 + 4x2J 4-!-（«+1）2:）,以上兩式兩邊相減得-T =3222 +2- + 24+-+2,-l-（p3+12=.2 1考點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；錯(cuò)位相減法（19）（本小題滿分12分）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得 3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”得03 2分。已知甲每輪猜對(duì)的概率是 -，乙每輪猜對(duì)的概率是 -;每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響。各輪結(jié)4 3果亦互不影響。假

19、設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：（I）“星隊(duì)”至少猜對(duì) 3個(gè)成語的概率；（II ） “星隊(duì)”兩輪得分之和為 X的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX.2【答案】（I）2 （n）分布列見解析,EX236【鮮析】試題分析：(I)找出“星隊(duì)至少蓿對(duì)3個(gè)成語所包含的基本事件，由獨(dú)立事件的牴率公式和互斥事件的 枇率加法公式求解；< II )由!Mt,隨機(jī)孌量X的可能取值為0,1,2,3, 4.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得到 X的分布汕根據(jù)期璽公式求解.試題解析；(I)記事件盤；'甲第一輪猜對(duì)3記事件B ："乙第一論猜對(duì)3記事件C;甲第二輪著對(duì)3記事件D: “乙第二輪猜對(duì)9記事件E: 星隊(duì)至少猜對(duì)3個(gè)

20、咸語”-由題蒼，E =亠：L3CD + CD + 貝選CD + _攻B C'D + 'LBC. D.由事件的獨(dú)立性與互斥性尸(F)二尸(刖CD)+P(LiSCD | +P| 丿記DI+鬥48已)I+ P(ABCQ干p刊C刊R+刊可+九時(shí)廚PC屮+刊乂鬥月2©p(Q 3 力 3 2 fl 2 3 * 3 1 j 2 *>+P(AP(BP(CP(D)-x=.k- + 2二并人二亠二披 x_x二，=二，14343 4 3 4 3J 3所以“星隊(duì)"猜對(duì)3個(gè)成語的概率為|.(n )由題意，隨機(jī)變量 X的可能取值為0,1,234,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得11

21、11 14 3 4 3144105144723 11112 11P X 1243434343PX2313131124343434332111132PX3434343433231321PX424343434123112122543434343144112，2 _53 12，可得隨機(jī)變量X的分布列為X012346P15251511447214412124152515123所以數(shù)學(xué)期望EX 0 1 23丄4衛(wèi)6丄仝14472144121246考點(diǎn)：獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和期望(20) (本小題滿分13分)m2X 1已知 f (x) a x In x2 ，a R.x(1)

22、討論f (x)的單調(diào)性；3(ll)當(dāng)a 1時(shí)，證明f(x)>f ' x對(duì)于任意的x 1,2成立.2【答案】(i)見解析；(n)見解析【解析】試題分析：L I)求的導(dǎo)圈瓠對(duì)S進(jìn)行分糞討論，求幾刃的單調(diào)性；(H)要證幾咚對(duì)于1王意的乜1二成立；印證WO®性求解,*7LJITP 試題解析Ml) /CO的定義域?yàn)?Q十巧；丁 O)二&-巴-三+丄二竺二二_r X JTXT(0當(dāng)oWQ時(shí)，若f Cv)>0,國數(shù)/單調(diào)遞增扌* (1+rX/ (x)<0,函數(shù)八幼單謂遞減.a(x 1)( x g)(x g)(2) 當(dāng) a 0 時(shí)，f/(x)暑丄。x若0 a 2，則

23、J2 1，所以當(dāng)x (0,1)或(J?,)時(shí)，f /(x) 0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增；V ali a當(dāng)2)時(shí)，“儀)0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞減；若a 2時(shí)，21 , f/(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；:a若小2則X 店 所以當(dāng)上£(0訴或1汁時(shí)，f(A-) > 0 ,固數(shù)八幼單調(diào)遞増彳當(dāng)(J|»時(shí)，f (x)<0,函魏f(x單調(diào)遞康粽上所謎；豈農(nóng)喳0時(shí),函數(shù)O)在(0J)上單調(diào)遞増；在(1.+Q上單調(diào)遞逼。當(dāng)0 3C時(shí)邂數(shù)金)在何和(J->x)上單調(diào)遞増,函數(shù)/(刃在(1.J-)上單調(diào)翻連口二2時(shí), aV a函數(shù)HQ在血+Q上單調(diào)14増；當(dāng)心agi/w

24、在(q£)和(1嚴(yán))上單調(diào)遞餐 國數(shù)/V)在(£)上單調(diào)遞孤(n)由(I)知 a 1時(shí)，又 h(x)3x2 2x 64，x(x)3x2 2x 6，貝U (x)在1,2上單調(diào)遞減,/ / 、 .2x 11 2 2、,31 2f(x) f(x) x In x2(123 )x ln x 231，X 1,2,XX XXXXX令 g(x)x ln x, h(x)312231，則 f(X)f/(x) g(x)h(x),X XX由 g/(x)x 10可得g(x)g(1)1當(dāng)且僅當(dāng)X1時(shí)取等號(hào)；x且(1)1,(2)10,(x)0,x (xo,2)時(shí)，(x)0，所以在1,2上存在X。使得x (1,Xo)時(shí),所以函數(shù) (X)在(1,Xo)上單調(diào)遞增；在(Xo,2)上單調(diào)遞減，11由于h(1) 1,h(2)一，因此h(x) h(2)當(dāng)且僅當(dāng)x 2取等號(hào)，2233所以 f (x) f/(X)g(1) h(2)，即 f(x) f/(X)對(duì)于任意的 x 1,2恒成立。22考點(diǎn)：利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性；分類討論思想(21) (本小題滿分14分)2 2平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C：聳占 1 a> b>0a bJ3的離心率是，拋物線E:x22y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn)（I）求橢圓C的方程；（II） 設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處