數(shù)學物理方法教學Chapt1

1、數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法梁昆淼梁昆淼 編編劉法劉法 繆國慶繆國慶 修訂修訂講演者講演者徐衛(wèi)青徐衛(wèi)青 ()數(shù)理系，物理教研室數(shù)理系，物理教研室廬江廬江 湯池湯池湯池溫泉度假區(qū)湯池溫泉度假區(qū) 周瑜故里、溫泉之鄉(xiāng)、礦業(yè)大縣周瑜故里、溫泉之鄉(xiāng)、礦業(yè)大縣蚌埠南蚌埠南-合肥南合肥南(高鐵高鐵45分分)合肥南站合肥南站-湯池湯池(高速高速60分分)蚌埠蚌埠-廬江廬江(火車火車4小時小時)廬江廬江 湯池湯池湯池溫泉度假區(qū)湯池溫泉度假區(qū) 周瑜故里、溫泉之鄉(xiāng)、礦業(yè)大縣周瑜故里、溫泉之鄉(xiāng)、礦業(yè)大縣禪茶谷禪茶谷白云禪寺白云禪寺孔雀東南飛祠堂孔雀東南飛祠堂湯池溫泉湯池溫泉“孔雀東南飛，五里一徘徊徘徊庭樹下，自掛東南枝”

2、PhD in USTC, Hefei, ChinaPost-doc in Tohoku University, Sendai, Japan大學學習與生活大學學習與生活課程內容課程內容復變函數(shù)論復變函數(shù)論第一章 復變函數(shù)*第二章 復變函數(shù)的積分*第三章 冪級數(shù)展開*第四章 留數(shù)定理*第五章 傅里葉變換*數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程第七章 數(shù)學物理定解問題*第八章 分離變數(shù)法*第九章 二階常微分方程級數(shù)解法*第十章 球函數(shù)*為啥學？為啥學？ 從物理學及其他各門自然科學、技術科學所產生的偏微分(有時也包括積分方程、微分積分方程等)。它們反映了有關的未知變量關于時間的導數(shù)和與空間變量的導數(shù)之間的制約關系。

3、連續(xù)介質力學、電磁學、量子力學等方面的基本方程都屬于數(shù)學物理方程的范圍。 它是繼高等數(shù)學后的一門數(shù)學基礎課程。通過本課程的學習，掌握處理物理問題的一些基本數(shù)學方法，為進一步學習后繼課程提供必要的理論基礎。通過該課程的學習，掌握復變函數(shù)、數(shù)學物理方程和特殊函數(shù)的基本理論、建模方法和計算方法，培養(yǎng)學生用數(shù)學方法和物理規(guī)律解決各類物理、工程技術實際問題的能力，為后續(xù)課程的學習打下良好的基礎。為今后從事工程技術、開展科學研究和教學工作作準備研究對象研究對象軟件技能軟件技能 MATLAB http:/ Mathematica http:/ ANSYS http:/ z可以表示為某個實數(shù)可以表示為某個實數(shù)

4、x與某個純虛數(shù)與某個純虛數(shù)iy的和的和復數(shù)平面復數(shù)平面實軸實軸虛軸虛軸矢量表示：矢量表示：Z=(x,y)=x+iyZ=(x,y)=x+iy代數(shù)式代數(shù)式，x=Re z, y= Im z直角坐標：直角坐標：復數(shù)平面復數(shù)平面實軸實軸虛軸虛軸極坐標：極坐標：復數(shù)的模復數(shù)的模, IzI復數(shù)的幅角復數(shù)的幅角, Arg z一個復數(shù)的幅角值不能唯一的確定，可以取無窮多值，相差一個復數(shù)的幅角值不能唯一的確定，可以取無窮多值，相差22整數(shù)倍。整數(shù)倍。規(guī)定滿足條件，規(guī)定滿足條件，的的一個特定值一個特定值，argarg z z 為為 ArgArg z z的主值的主值( (主幅角主幅角) )。共軛復數(shù)共軛復數(shù)與與z z

5、對應的點對實軸的反映對應的點對實軸的反映復數(shù)零復數(shù)零實部和虛部都為零，幅角沒有明確意義。實部和虛部都為零，幅角沒有明確意義。在復變函數(shù)論中，將在復變函數(shù)論中，將跟復數(shù)平面上的一點相對應，并跟復數(shù)平面上的一點相對應，并且稱這一點為且稱這一點為 無限遠點無限遠點。復數(shù)球復數(shù)球測地投影測地投影A A沿著一根通過原點的直線向無限遠移動，則沿著一根通過原點的直線向無限遠移動，則AA沿著復數(shù)球上的一根子午線向北沿著復數(shù)球上的一根子午線向北極極N N逼近。通過測地投影，可以將復數(shù)平面上的無限遠點跟復數(shù)球上的北極逼近。通過測地投影，可以將復數(shù)平面上的無限遠點跟復數(shù)球上的北極N N相對相對應。應。將無限遠點記作

6、將無限遠點記作，模為無限大，幅角沒有明確意義，模為無限大，幅角沒有明確意義。兩個復數(shù)兩個復數(shù) z z1 1=x=x1 1+iy+iy1 1,z,z2 2=x=x2 2+iy+iy2 2 的基本運算規(guī)則有：的基本運算規(guī)則有：加法加法適用實數(shù)加法的交換律和結合律適用實數(shù)加法的交換律和結合律減法減法乘法乘法適用實數(shù)乘法的交換律、結合律和分配率適用實數(shù)乘法的交換律、結合律和分配率除法除法利用復數(shù)的利用復數(shù)的三角式或指數(shù)式三角式或指數(shù)式進行進行復數(shù)的乘、除、乘方和開方復數(shù)的乘、除、乘方和開方等運算等運算乘法乘法除法除法乘方乘方開方開方注意注意! !IzI2 = zz* z2 = z*z 復數(shù)的模復數(shù)的模

7、復數(shù)的自乘復數(shù)的自乘 例如，復變數(shù)例如，復變數(shù) z=x+iy 逼近復常數(shù)逼近復常數(shù) z0=x0+iy0 ，即，即 zz0 的問題，的問題，完全可以歸結為一對實變數(shù)完全可以歸結為一對實變數(shù)x x和和y y分別逼近實常數(shù)分別逼近實常數(shù)x0和和y0，即，即xx0, yy0 若在復數(shù)平面若在復數(shù)平面( (或球面或球面) )上存在一個上存在一個( (復數(shù)的集合復數(shù)的集合) )，對于，對于E E的每一個的每一個點點( (每一個每一個z z值值) )，按照，按照，有，有與之相對應，與之相對應，則稱則稱。z稱之為稱之為w的宗量，定義域為的宗量，定義域為E，記作，記作在復變函數(shù)論中，主要研究的是在復變函數(shù)論中，

8、主要研究的是邊界點邊界點內點內點 外點外點邊界線邊界線鄰域鄰域z0在解析函數(shù)論中，函數(shù)的定義域不是一般的點集，而是在解析函數(shù)論中，函數(shù)的定義域不是一般的點集，而是滿足一定條件滿足一定條件的的點集，稱為點集，稱為，用，用表示。表示。區(qū)域：區(qū)域：（1）全由內點組成 （2）點集是連通的，即點集中的任何兩點都可以用一條曲線連接起來，且線上的點全屬于該點集。閉區(qū)域閉區(qū)域：包括境界線的區(qū)域B叫閉區(qū)域，以 表示。開區(qū)域開區(qū)域：不包括境界線的區(qū)域叫開區(qū)域。邊界點邊界點內點內點 外點外點邊界線邊界線鄰域鄰域z0邊界點邊界點內點內點 外點外點邊界線邊界線鄰域鄰域z0閉區(qū)域閉區(qū)域邊界點邊界點內點內點 外點外點邊界線

9、邊界線鄰域鄰域z0閉區(qū)域閉區(qū)域開區(qū)域開區(qū)域(cossin )zx iyxiyxeee eeyiy指數(shù)函數(shù)sin2cos2izizizizeezieez（2）三角函數(shù) 222222221sin()2(sincos)21cos()2(cossin)2yyyyzeexxzeexxlnln()lnizei對數(shù)函數(shù)：顯然，由于顯然，由于ArgZ的周期性，對的周期性，對于對數(shù)函數(shù)，于對數(shù)函數(shù)， Z有無限多個值有無限多個值。而且在復數(shù)領域里，。而且在復數(shù)領域里，Z為負數(shù)為負數(shù)時，時，lnz是有意義的！是有意義的！ 在這個圖像中在這個圖像中,為了把不同虛部表示出來為了把不同虛部表示出來,我們將它畫成我們將它畫

10、成了了, 它們分別它們分別. 注意注意, 在實軸的正方向在實軸的正方向,曲面表現(xiàn)曲面表現(xiàn)的就是我們熟悉的實數(shù)的對數(shù)函數(shù)曲線的圖像的就是我們熟悉的實數(shù)的對數(shù)函數(shù)曲線的圖像. 1sin ( )()21cos ( )()2zzzzh zeeh zee（3）雙曲函數(shù)：設函數(shù)設函數(shù)w=f(z)是在區(qū)域是在區(qū)域B B上定義的上定義的單值函數(shù)單值函數(shù)，即對于，即對于B B上的每一點上的每一點z z，有且只有一個有且只有一個w w值與之相對應。若在值與之相對應。若在B B上的某點上的某點z z，極限，極限存在，并且與存在，并且與z0z0的方式無關，則稱函數(shù)的方式無關，則稱函數(shù)w=f(z)在在z z點可導，此極

11、限稱點可導，此極限稱之為函數(shù)之為函數(shù)f(z)在在z z點的導數(shù)，記為點的導數(shù)，記為f(zf(z) )或或df/dzdf/dz。1. w為單值函數(shù)；為單值函數(shù)； 2. 極限的存在與逼近方式無關。極限的存在與逼近方式無關。 復變函數(shù)的導數(shù)定義，在形式上跟實變函數(shù)的導數(shù)定義相同，因而復變函數(shù)的導數(shù)定義，在形式上跟實變函數(shù)的導數(shù)定義相同，因而實變函數(shù)論中關于導數(shù)的規(guī)則和公式往往可應用于復變函數(shù)實變函數(shù)論中關于導數(shù)的規(guī)則和公式往往可應用于復變函數(shù)，例如：，例如：復變函數(shù)導數(shù)運算法則復變函數(shù)導數(shù)運算法則初等復變函數(shù)導數(shù)初等復變函數(shù)導數(shù)復變函數(shù)和實變函數(shù)的導數(shù)定義，雖然形式上一樣，實質上卻有很大不同：復變函

12、數(shù)和實變函數(shù)的導數(shù)定義，雖然形式上一樣，實質上卻有很大不同：實變數(shù)實變數(shù)x x只能沿著實軸逼近只能沿著實軸逼近0 0，復變數(shù)，復變數(shù)z z可以沿復平面上的任一曲線逼近可以沿復平面上的任一曲線逼近0. 0. 這這樣，樣， 設復變函數(shù)設復變函數(shù) f(z)=u(z)+iv(z), z=x+iy. 現(xiàn)在討論現(xiàn)在討論分別沿分別沿和和方向逼近方向逼近0 0的時候，的時候，f(zf(z) )的導數(shù)形式。的導數(shù)形式。I.I.z z沿平行實軸方向逼近沿平行實軸方向逼近0 0的情形的情形這時這時y=0, z=y=0, z=x0 x0，則，則f(zf(z) )的導數(shù)：的導數(shù)：II.II.z z沿平行虛軸方向逼近沿平

13、行虛軸方向逼近0 0的情形的情形這時這時x=0, z=ix=0, z=iy0y0，則，則f(zf(z) )的導數(shù)：的導數(shù)： 如果函數(shù)如果函數(shù)f(zf(z) )在點在點z z可導，那么可導，那么I I和和IIII式兩個極限必須存在而且彼此式兩個極限必須存在而且彼此相等，即相等，即上式意味著等式兩邊的實部和虛部分別相等，有：上式意味著等式兩邊的實部和虛部分別相等，有：這兩個方程稱之為這兩個方程稱之為 ，或，或 ( (簡稱簡稱C-RC-R條件條件) )，是是。C-RC-R條件是復變函數(shù)是否可導的判據(jù)條件是復變函數(shù)是否可導的判據(jù)。例例1. 1. 判定處處連續(xù)的函數(shù)判定處處連續(xù)的函數(shù) w=Re z=xw

14、=Re z=x 是否可導是否可導(u=x,v(u=x,v=0).=0).處處連續(xù)的函數(shù)處處連續(xù)的函數(shù) w=Re z=x w=Re z=x 處處不可導！處處不可導！C-RC-R條件只保證條件只保證z z沿實軸及虛軸逼近沿實軸及虛軸逼近0 0時，時，f/f/z z逼近同一極限，并不逼近同一極限，并不保證保證z z沿任意曲線逼近沿任意曲線逼近0 0時，時，f/f/z z總是逼近同一極限。因此，總是逼近同一極限。因此，例例2. 2. 判定復變函數(shù)判定復變函數(shù)f(z)=sqrt(Re z f(z)=sqrt(Re z * * Imz Imz) )在點在點z=0z=0是否可導是否可導. .f(zf(z)

15、)在第一、三象限的實部和虛部分別為在第一、三象限的實部和虛部分別為 u=sqrt(xy),vu=sqrt(xy),v=0=0；在第二、四象限，；在第二、四象限，u=0,v=sqrt(IxyIu=0,v=sqrt(IxyI).).下面分別給出實部和虛部在點下面分別給出實部和虛部在點z=0z=0處的偏導數(shù)：處的偏導數(shù)： 令令z z的幅角的幅角保持一定，而模保持一定，而模0,0,即有即有z=ez=ei i0 0，則在第一、三，則在第一、三象限，象限，f/f/z z的極限為：的極限為： 類似地，在第二、四象限，類似地，在第二、四象限，f/f/z z的極限為的極限為i i* *sqrt(sqrt(Ico

16、scossinsinI)/e)/ei i. .可見，可見，. . 可見，滿足可見，滿足C-RC-R條件不一定可導，也即，條件不一定可導，也即，。證明：復變函數(shù)證明：復變函數(shù)f(zf(z) )可導的充分必要條件：函數(shù)可導的充分必要條件：函數(shù)f(zf(z) )的偏導數(shù)的偏導數(shù) 存在，存在，且連續(xù)，并且滿足且連續(xù)，并且滿足C-RC-R條件。條件。 由于這些偏導數(shù)連續(xù)，二元函數(shù)由于這些偏導數(shù)連續(xù)，二元函數(shù)u u和和v v的增量可分別寫為：的增量可分別寫為：其中各個其中各個隨著隨著 zz0 0 而趨于而趨于 0. 0. 于是有：于是有：根據(jù)根據(jù)C-RC-R條件，上式化簡為：條件，上式化簡為： 這一極限是

17、與這一極限是與 zz0 0 的方式無關的有限值的方式無關的有限值. .極坐標系中的極坐標系中的 柯西柯西- -黎曼條件黎曼條件若函數(shù)若函數(shù)f(zf(z) )在點在點上處處可導，則稱上處處可導，則稱f(zf(z) )在點在點z0 z0 . . 又若又若f(zf(z) )上的每一點都解析，則稱上的每一點都解析，則稱f(zf(z) )是區(qū)域是區(qū)域 B B上的上的. .注意！注意！根據(jù)解析函數(shù)定義可知：根據(jù)解析函數(shù)定義可知： 函數(shù)在一點可導與解析是不等價的；函數(shù)在一點可導與解析是不等價的； 函數(shù)在某區(qū)域上的可導與解析是等價的函數(shù)在某區(qū)域上的可導與解析是等價的. .I.I.若函數(shù)若函數(shù)f(z)=u+iv

18、f(z)=u+iv在區(qū)域在區(qū)域B B上解析，則上解析，則 u(x,yu(x,y)=C)=C1 1, v(x,y, v(x,y)=C)=C2 2(C(C1 1,C,C2 2為常數(shù)為常數(shù)) )是是B B上的上的. .這兩組曲線族被廣泛應用于物理和工程技術上的各種各樣場的求解，例如這兩組曲線族被廣泛應用于物理和工程技術上的各種各樣場的求解，例如電磁場、聲場、溫度場等電磁場、聲場、溫度場等. .平面靜電場平面靜電場等勢線等勢線(v/u(v/u) )電場線電場線(u/v(u/v) )平面靜電場平面靜電場(f=u+ivf=u+iv,復勢復勢)等勢線等勢線(v/u(v/u) )電場線電場線(u/v(u/v)

19、 )將將C-RC-R條件兩邊分別相乘，有：條件兩邊分別相乘，有：也即，也即，u u的梯度的梯度u u與與v v的梯度的梯度v v正交正交. .u u和和v v分別是曲線族分別是曲線族“u=C1”u=C1”和和“v=C2”v=C2”的法向矢量，因而上式表明，的法向矢量，因而上式表明，“u=C1”u=C1”和和“v=C2”v=C2”是相互正交的是相互正交的曲線族曲線族. .II.II.若函數(shù)若函數(shù)f(z)=u+ivf(z)=u+iv在區(qū)域在區(qū)域B B上解析，則上解析，則 u,vu,v均為均為B B上的上的. .某個區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上存在任意階的導數(shù)某個區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上存在任意階的

20、導數(shù). .現(xiàn)將現(xiàn)將 C-RC-R條件，條件，的前一式對的前一式對x x求導，后一式對求導，后一式對y y求導，然后相加，這樣就消去了求導，然后相加，這樣就消去了v v，有，有同理，有同理，有因此，因此，u,vu,v都滿足都滿足拉普拉斯方程拉普拉斯方程，并且是同一個復變函數(shù)的實部和虛部，并且是同一個復變函數(shù)的實部和虛部，所以稱之為所以稱之為 . .給定一個二元的調和函數(shù)，可以將它看作是某個解析函數(shù)的實部給定一個二元的調和函數(shù)，可以將它看作是某個解析函數(shù)的實部( (虛虛部部) )，利用，利用C-RC-R條件求出相應的虛部條件求出相應的虛部( (實部實部) )，這樣就確定了這個解析，這樣就確定了這個解析函數(shù)函數(shù). .二元函數(shù)二元函數(shù)v v（x,yx,y）的微分式為：）的微分式為：根據(jù)根據(jù)C-RC-R條件，上式可以改寫為：條件，上式可以改寫為：容易驗證上式是全微分容易驗證上式是全微分. .事實上，事實上，于是，可以用下列方法計算出，于是，可以用下列方法計算出，調和函數(shù)調和函數(shù) 全微分的積分與路徑無關，故可選取特殊路徑積分；全微分的積分與路徑無關，故可選取特殊路徑積分；; ;. .例例1. 1. 已知某解析函數(shù)已知某解析函數(shù)f(zf(z) )的實部的實部u=xu=x2 2-y-y2 2, ,求