第九章多元函數(shù)微分學(正式)

1、推廣推廣第九章第九章 多元函數(shù)微分法及其應用多元函數(shù)微分法及其應用 一元函數(shù)微分學一元函數(shù)微分學 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 注意：注意：善于類比善于類比, , 區(qū)別異同區(qū)別異同一元函數(shù)、極限與連續(xù)一元函數(shù)、極限與連續(xù) 一元函數(shù)的導數(shù)一元函數(shù)的導數(shù) 一元函數(shù)的極值一元函數(shù)的極值 本章內容本章內容第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)偏導數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導公式隱函數(shù)的求導公式第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)微分學的幾何應用多元函數(shù)微分學的幾何應用第七節(jié)第七節(jié) 方向導數(shù)與梯度方向導

2、數(shù)與梯度第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法* *第九節(jié)第九節(jié) 二元函數(shù)的泰勒公式二元函數(shù)的泰勒公式* *第十章第十章 最小二乘法最小二乘法教學目的與要求教學目的與要求了解：了解：二元函數(shù)的極限與連續(xù)以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質；二元函數(shù)的極限與連續(xù)以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質；全微分存在的必要條件和充分條件；全微分存在的必要條件和充分條件；曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念。曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念。 理解：理解：多元函數(shù)的概念；多元函數(shù)的概念；偏導數(shù)和全微分的概念偏導數(shù)和全微分的概念,方向導數(shù)和梯度的概念；方向導數(shù)和梯度的概念；多元函

3、數(shù)極值和條件極值的概念；多元函數(shù)極值和條件極值的概念；二元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件。二元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件。 掌握：掌握：方向導數(shù)和梯度的計算方法；方向導數(shù)和梯度的計算方法；復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法；復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法；隱函數(shù)的偏導數(shù)的求法隱函數(shù)的偏導數(shù)的求法曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的方程的求法；曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的方程的求法；多元函數(shù)的極值和條件極值的求法。多元函數(shù)的極值和條件極值的求法。教學重點與難點教學重點與難點教學重點：教學重點：二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；函數(shù)的偏導數(shù)和全微分；函數(shù)的偏導數(shù)和

4、全微分；方向導數(shù)與梯度的概念及其計算；方向導數(shù)與梯度的概念及其計算；多元復合函數(shù)偏導數(shù)；多元復合函數(shù)偏導數(shù)；隱函數(shù)的偏導數(shù)；隱函數(shù)的偏導數(shù)；多元函數(shù)極值和條件極值的求法；多元函數(shù)極值和條件極值的求法；曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的求法。曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的求法。教學難點：教學難點：二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；全微分形式的不變性；全微分形式的不變性；復合函數(shù)偏導數(shù)的求法；復合函數(shù)偏導數(shù)的求法；二元函數(shù)的二階泰勒公式；二元函數(shù)的二階泰勒公式；隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)；隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)；拉格郎日

5、乘數(shù)法，多元函數(shù)的最大值和最小值。拉格郎日乘數(shù)法，多元函數(shù)的最大值和最小值。二、二、多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念一、一、 平面點集平面點集 n元空間元空間三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 一、平面點集一、平面點集 1.平面點集平面點集坐標平面上具有某種性質坐標平面上具有某種性質P的點的集合，稱為的點的集合，稱為平面點平面點集集，記作，記作E=(x,y)|(x,y)具有性質具有性質P例如例如, ,兩面上以原點兩面上以原點O為中心，為中心，r為半徑的圓內所有點為半徑的圓內所有點的集合是的集合是C=(x,y

6、)| x2+y2r2 以一點以一點P0(x0,y0)為圓心，長度為半徑為圓心，長度為半徑的圓形區(qū)域的圓形區(qū)域( (不包括圓周，記做不包括圓周，記做U(x0,y0),）或為）或為U(P0,)( (圓鄰域圓鄰域) )( (球鄰域球鄰域) )| ),()(0zyxPU , 202020)()()(zzyyxx例如，例如，在平面上，在平面上，在空間中，在空間中， ),(),(0yxPU 2020)()(yyxx2、鄰域、鄰域 )(0oPPU 00PP說明：說明：若不需要強調鄰域半徑若不需要強調鄰域半徑 ，也可寫成，也可寫成U(P0)，點點P0的的去心鄰域去心鄰域記為記為在討論實際問題中也常使用方鄰域在

7、討論實際問題中也常使用方鄰域, ,平面上的方鄰域為平面上的方鄰域為 ),() ,U(0yxP。0P因為方鄰域與圓因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含。鄰域可以互相包含。,0 xx0 yy3. 區(qū)域區(qū)域(1)內點、外點、邊界點內點、外點、邊界點設有點集設有點集 E 及一點及一點 P : 若存在點若存在點P的某鄰域的某鄰域U(P) E, 若存在點若存在點P的某鄰域的某鄰域U(P)E=, 若對點若對點P的任一鄰域的任一鄰域U(P)既含既含E中的中的內點內點也含也含E的的外點外點, ,E則稱則稱P為為E的的內點內點；則稱則稱P為為E的的外點外點;則稱則稱P為為E的的邊界點邊界點。顯然顯然, E 的內點必屬于

8、的內點必屬于 E , E 的外點必不屬于的外點必不屬于 E , E 的的邊界點可能屬于邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E。(2)聚點聚點若對任意給定的若對任意給定的 , , 點點P 的去心鄰域的去心鄰域),(PUE內總有內總有E中的點中的點, , 則則稱稱P是是E的的聚點聚點。聚點可以屬于聚點可以屬于E , 也可以不屬于也可以不屬于E ( (因為聚點可以為因為聚點可以為 所有聚點所成的點集成為所有聚點所成的點集成為 E 的的導集導集。E的邊界點的邊界點 ) )。 。D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集若點集E的點都是的點都是內點內點，則稱，則稱E為為開集開集； 若點集若

9、點集E E , , 則稱則稱E為為閉集閉集； 若集若集D中任意兩點都可用一完全屬于中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連的折線相連, , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域閉區(qū)域。則稱則稱D是是連通的；連通的； 連通的開集稱為連通的開集稱為開區(qū)域開區(qū)域，簡稱，簡稱區(qū)域區(qū)域； E的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為E的的邊界邊界，記作，記作 E ;例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22 yxyx0),( yxyx41),(22 yxyx開區(qū)域開區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyoxyo21 整個平面整個平面 點集點集 1),( xyx是開集，是開集

10、， 是最大的是最大的開域開域, , 也是最大的也是最大的閉域閉域；但非區(qū)域。但非區(qū)域。11oxy 對區(qū)域對區(qū)域D，若存在正數(shù)若存在正數(shù)K , 使一切點使一切點P D與某定點與某定點 A的距離的距離|AP| K, 則稱則稱D為為有界域有界域, 否則稱為否則稱為無界域無界域。4. n維空間維空間n元有序數(shù)組元有序數(shù)組(x1,x2,xn)的全體稱為的全體稱為n維空間維空間, ,記作記作Rn，即即n維空間中的每一個元素維空間中的每一個元素(x1,x2,xn)，稱為空間中的，稱為空間中的一個點，數(shù)一個點，數(shù)xk稱為該點的第稱為該點的第k個坐標。個坐標。RRRRn ,2,1,R),(21nkxxxxkn

11、當所有坐標當所有坐標xk=0時，時， 稱該元素為稱該元素為Rn中的中的零元零元，記作，記作O。 2222211)()()(),(nnyxyxyxyx Rn中點a的的 鄰域鄰域為為 ),(,R),(axxxaUn ,),(yxyx 或或 規(guī)定為規(guī)定為 22221nxxxx Rn中的點中的點x=(x1,x2,xn)與點與點y=(y1,y2,yn)的距離記作的距離記作Rn中的點中的點x=(x1,x2,xn)與零元與零元O的距離為的距離為當當n=1,2,3時，時，|x|通常記作通常記作|x|。Rn中的變元中的變元x與定元與定元a滿足滿足|x- -a|0，記作，記作 xa。引例：引例： 圓柱體的體積圓柱

12、體的體積 定量理想氣體的壓強定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式,2hrV ,(為常數(shù)）為常數(shù)）RVTRp )2(cbap cba 0, 0),( hrhr 0, 0),(TTVTV cbacbacba , 0, 0, 0),( )()(cpbpappS hr二、多元函數(shù)概念二、多元函數(shù)概念 定義定義1. 設非空點集設非空點集,RnD DPPfu , )(或或點集點集D 稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域； 數(shù)集數(shù)集,)(DP,Pfuu 稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的值域值域。特別地，當特別地，當n=2時，有二元函數(shù)時，有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz 當當n=3時，有三元

13、函數(shù)時，有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu 映射映射R:Df稱為定義稱為定義在在 D 上的上的n元函數(shù)，元函數(shù)，記作記作),(21nxxxfu 定義定義2 設有三個變量設有三個變量x,y,z，若變量，若變量x,y在允許的區(qū)域在允許的區(qū)域內任意取定一對值時，變量內任意取定一對值時，變量z按著一定的規(guī)律總有按著一定的規(guī)律總有唯一確定的值與之對應，則變量唯一確定的值與之對應，則變量z稱為稱為x,y的二元函的二元函數(shù)，記作數(shù)，記作z=f(x,y)其中其中x,y稱為自變量，稱為自變量，z 稱為因變量。稱為因變量。xzy例如例如，二元函數(shù)，二元函數(shù)221yxz 定義域為定義域為1),(22 yx

14、yx圓域圓域說明：說明： 二元函數(shù)二元函數(shù)z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點的圖形為中心在原點的上半球面上半球面。2),( , )sin(Ryxyxz 的圖形一般為的圖形一般為空間曲面空間曲面 。1三元函數(shù)三元函數(shù) )arcsin(222zyxu 定義域為定義域為 1),(222 zyxzyx圖形為圖形為R4空間中的超曲面?？臻g中的超曲面。單位閉球單位閉球xyzo又如又如)arcsin()2(22yxz 1)1(221 yxz例例1 求下列函數(shù)定義域求下列函數(shù)定義域,| ),( yxyxD解：解：(1)函數(shù)函數(shù)z的定義域是整個的定義域是整個xOy平面，是無界開區(qū)平面，

15、是無界開區(qū)域，即域，即10| ),(22 yxyxD(2)函數(shù)函數(shù)z的定義域是整的定義域是整xOy個個平面上，中心在原點，半徑平面上，中心在原點，半徑為為1的圓周及其圓內部各點的全體，它是有界閉區(qū)域，即的圓周及其圓內部各點的全體，它是有界閉區(qū)域，即 xyz1ln1)1( 222242511)2(yxyxz 例例2 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域10, 0| ),( xyxyxD且且解：解：(1)函數(shù)函數(shù)z的定義域是的定義域是無界區(qū)域無界區(qū)域，即，即 0425, 1| ),(2222 yxyxyxD(2)函數(shù)函數(shù)z的定義域是的定義域是 即橢圓即橢圓 x2+4y2=25 內與圓內與圓 x2+

16、y2=1 外的公共外的公共部分，部分，它是不包括圓周和橢圓上的點的開區(qū)域。它是不包括圓周和橢圓上的點的開區(qū)域。定義定義 函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0的某個鄰域的某個鄰域(但在該點可沒有定義但在該點可沒有定義)內有定義，當自變量內有定義，當自變量x無限接近點無限接近點x0時，函數(shù)值時，函數(shù)值f(x)無限無限接近一個確定的接近一個確定的常數(shù)常數(shù)A，就稱，就稱A為函數(shù)為函數(shù)f(x)當當x趨于趨于x0時時的極限，記為的極限，記為Axfxx )(lim0三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限或或 f(x)A(當當xx0)Ayxfyyxx ),(lim00Ayxf ),(lim0 20200)()(yyxx

17、PP 定義定義2 設二元函數(shù)設二元函數(shù)f(x,y)在點在點P0(x0,y0)的某一鄰域內有的某一鄰域內有定義定義(在在P0處可以無定義處可以無定義)，若，若P(x,y)沿沿任何路徑無限任何路徑無限趨趨于定點于定點P0(x0,y0)時，函數(shù)時，函數(shù)f(x,y)無限趨于一個常數(shù)無限趨于一個常數(shù)A，則，則稱稱A是函數(shù)當是函數(shù)當P(x,y)P0(x0,y0)時的極限，記作時的極限，記作或或其中其中是指是指P與與P0間的距離間的距離。 為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做極限叫做二重極限二重極限。二重極限的二重極限的 定義定義若存在常數(shù)若存在常數(shù)A

18、，, 0, 0 當當 |00PP時，都有時，都有 |),(|)(|AyxfAPf成立，則稱常數(shù)成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)為函數(shù)f(x,y)當當(x,y) (x0,y0)時的時的極限極限，即，即二重極限，二重極限，記作記作AyxfPP ),(lim0對于該定義，應注意以下兩點：對于該定義，應注意以下兩點： 1、即使當點、即使當點P(x,y)沿著許多沿著許多特殊的方式特殊的方式趨近于趨近于P0時，時，對應的函數(shù)值都趨近于同一個常數(shù)，也不能判定對應的函數(shù)值都趨近于同一個常數(shù)，也不能判定),(lim0yxf 的存在。的存在。2 2、當、當P沿著兩條不同的曲線趨近于沿著兩條不同的曲線趨近于P0時，函數(shù)時，函

19、數(shù)f(x,y)趨近趨近于不同的值，可以斷定極限于不同的值，可以斷定極限 不存在。不存在。),(lim0yxf 定義定義3. 設設 n元函數(shù)元函數(shù)f(P)，,RnDP 點點 , ),(0PUDP 則稱則稱A為函數(shù)為函數(shù)(也稱為也稱為n重極限重極限)APfPP )(lim0P0是是D的的聚聚若存在常數(shù)若存在常數(shù)A ,對一對一記作記作都有都有對任意正數(shù)對任意正數(shù) , 總存在正數(shù)總存在正數(shù) ,切切f(P)當當PP0時的極限，時的極限，,|)(| APf解：解：設設 P(x,y) 沿直線沿直線 y = kx 趨于點趨于點 (0,0) ,),(lim0yxfkxyx 則有則有21kk k 值不同極限不同值

20、不同極限不同! !故故f(x,y)在在 (0,0) 點極限不存在。點極限不存在。22),(yxyxyxf 在點在點(0,0)的極限。的極限。例例3 討論函數(shù)討論函數(shù)返回返回22220limxkxxkx 例例4 設設 0, 00,1sin1sin),(yxyxxyyxyxf求證：求證：.0),(lim00 yxfyx證明：證明：0),( yxf故故0),(lim00 yxfyx, 0 20),( 22yxyxf | yx 222 yx ,2 yx 220|1sin1sin|xyyx 總有總有2 222 yx要證要證當當時，時，例例5 求極限求極限yxyyx)sin(lim02解：解：=)sin(

21、lim02yxyyxxyxyxyx)sin(lim02xyxyxyxyx)sin(limlim0202 2=例例6 求求22222200)()cos(1limyxyxyxyx 解解: 因因,)(4122222yxyx 222222)()cos(1yxyxyx 而而620)cos1(4limrrr 此函數(shù)定義域此函數(shù)定義域不包括不包括 x,y 軸軸則則62)cos1(4rr 6402limrrr 2cos1r 22r故故 22222200)()cos(1limyxyxyxyx令令r2=x2+y2 ,僅知其中一個存在僅知其中一個存在, 推不出其它二者存在。推不出其它二者存在。 二重極限二重極限),

22、(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy不同不同。 如果它們都存在，則三者相等。如果它們都存在，則三者相等。例如例如,),(22yxyxyxf 顯然顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0 ,0 但由但由例例3知它在知它在(0,0)點二重極限不存在。點二重極限不存在。及及定義定義1 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某個鄰域內有定義，若當?shù)哪硞€鄰域內有定義，若當自變量自變量x在點在點x0處的增量處的增量x趨于趨于0時，函數(shù)時，函數(shù)y=f(x)相應相應的增量的增量y= f(x0+x)-

23、 -f(x0)也趨于也趨于0，即即 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)在點在點x0處處連續(xù)連續(xù)，并稱點，并稱點x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的連續(xù)點連續(xù)點。 定義定義2 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某個鄰域內有定義，的某個鄰域內有定義，當當xx0時函數(shù)時函數(shù)y=f(x)的極限存在，且等于它在點的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)y=f(x)在點在點x0處處連續(xù)連續(xù)。)()(lim00 xfxfxx 由定義可知由定義可知，y=f(x)在點在點x0連續(xù)必須滿足以下三個

24、條件連續(xù)必須滿足以下三個條件：(1)函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點在點x0處有定義處有定義，即即f(x0)是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù)；(2)函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點在點x0處有極限處有極限，即即 存在存在。(3)極限值等于函數(shù)值極限值等于函數(shù)值，即即 )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx 定義定義3 設函數(shù)設函數(shù)z=f(x,y)在點在點P(x0,y0)的某鄰域內有定義，的某鄰域內有定義，若當自變量若當自變量x在點在點x0處的增量處的增量x趨于趨于0, y在點在點y0處的增處的增量量y趨于趨于0時，函數(shù)時，函數(shù)z=f(x,y)相應的增量相應的增量z= f(x0+x, f(y0+y

25、)- -f(x0,y0)也趨于也趨于0，即即 , 0),(),(limlim00000000 yxfyyxxfzyxyx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)z=f(x,y)在點在點P(x0,y0)處處連續(xù)連續(xù)，并稱點，并稱點P(x0,y0)為函數(shù)為函數(shù)f(x,y)的的連續(xù)點連續(xù)點。 定義定義4 設函數(shù)設函數(shù)z=f(x,y)在點在點P0(x0,y0)的某鄰域內有定的某鄰域內有定義，當義，當P(x,y)沿沿任何路徑無限任何路徑無限趨于定點趨于定點P0(x0,y0)時時函數(shù)函數(shù)z=f(x,y)的極限存在，且等于它在點的極限存在，且等于它在點P0(x0,y0)處的函數(shù)值，處的函數(shù)值，即即 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)z=f(x

26、,y)在點在點P0(x0,y0) 連續(xù)連續(xù)。),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx (2),(lim),(),(00yxfyxyx);,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx (3)則稱函數(shù)則稱函數(shù)z=f(x,y)在點在點P0(x0,y0)連續(xù)連續(xù)，否則稱函數(shù)，否則稱函數(shù)z=f(x,y)在點在點P0(x0,y0)處處間斷間斷。定義定義5 設函數(shù)設函數(shù)z=f(x,y)滿足條件滿足條件(1)在點在點P0(x0,y0)及其鄰域內有定義；及其鄰域內有定義；存在；存在；定義定義6 設設n元函數(shù)元函數(shù)f(P)定義在定義在D上，聚點上，聚點P0D,)()(lim00PfP

27、fPP 如果函數(shù)在如果函數(shù)在D上上各點處各點處都都連續(xù)連續(xù), 則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在D上上連續(xù)連續(xù)。如果存在如果存在否則稱為否則稱為不連續(xù)不連續(xù), 此時此時P0稱為稱為間斷點間斷點。則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù)f(P)在在P0連續(xù)連續(xù),定理定理：若若 f (P) 在有界閉域在有界閉域D上連續(xù)，則上連續(xù)，則,0)1( K, ,Mm *(4)f (P)必在必在D上一致連續(xù)。上一致連續(xù)。(2)f(P)在在D上可取得最大值上可取得最大值M及最小值及最小值m；(3)對任意對任意，DQ ;)( Qf使使(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) (一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理) 閉域

28、閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質:使使 |f(P)|K，PD。.11lim00 xyxyyx 例例7 求求xyxyyx11lim00 xyxyxyyx)11(11lim00 解：解：xyxyxyyx)11(lim00 11lim00 xyyx21 定義定義6 設函數(shù)設函數(shù)f(x,y)的定義域為的定義域為D，P0(x0,y0)是是D的聚點。的聚點。如果函數(shù)如果函數(shù)f(x,y)在點在點P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱不連續(xù)，則稱P0(x0,y0)為函為函數(shù)數(shù)f(x,y)的間斷點。的間斷點。解解：(1)由前面的由前面的例例3討論可知，函數(shù)討論可知，函

29、數(shù)z1當當P(x,y)沿直沿直線線y=kx趨于點趨于點(0,0)時極限不存在，故時極限不存在，故z1的間斷點是的間斷點是xOy平面上的孤立點平面上的孤立點(0,0)。 (2)因為函數(shù)因為函數(shù)z2的定義域是的定義域是, 122yx 122 yx故函數(shù)故函數(shù)z2的間斷點是的間斷點是221yxxyz 11222 yxz例例8 求下列函數(shù)的間斷點求下列函數(shù)的間斷點(2)(1)內容小結內容小結1.平面點集平面點集 鄰域鄰域 :, ),(0PU),(0PU 區(qū)域區(qū)域連通的開集連通的開集 2. 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念n元函數(shù)元函數(shù) u=f(P)=f(x1,x2, ,xn)常用常用二元函數(shù)二元函數(shù) (圖形一

30、般為空間曲面圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)三元函數(shù)DP nR Rn空間空間APfPP )(lim0,0 ,0 時，時，當當00 PP有有)( APf3. 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)函數(shù)f(P)在在P0連續(xù)連續(xù))()(lim00PfPfPP 2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質:有界定理；有界定理； 最值定理；最值定理； 介值定理介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內連續(xù)。一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內連續(xù)。課外思考題課外思考題P63 習題習題9-19-1 5(2)(4)(6)，6(2)(3)(5)(6)，7思考題思考題1. 設設

31、,),(222yxxyyxf 求求. ),(2yxxyf解法解法1 令令uyx vxy 23vuy 3vuux ),(vuf32)(2uvu32)( vu ,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y 222yxy 1.設設,),(222yxxyyxf 求求. ),(2yxxyf解法解法2 令令uvyx2 vuxy 2vy uvx ),(2xyyxf ),(2vuuvf22)(vuv 即即 ),(2yxxyf222yxy ),(2uvuvfyxyxxx 200lim xxxx320lim )(lim320 xxx,1 2.yxxyxyx )1ln(lim00是否存在？是否存在？解

32、：解：xxy 所以極限不存在。所以極限不存在。3 3 3 ,0, ,)1ln(yxyx yxxyxyx )1ln(lim00利用利用取取 3. 證明證明 ),(yxf)0 , 0(),(,22 yxyxyx)0 , 0(),(,0 yx在全平面連續(xù)。在全平面連續(xù)。證明：證明：f(x,y)為初等函數(shù)為初等函數(shù) , 故連續(xù)。故連續(xù)。又又220yxyx yxyx222 222221yxyx 2221yx 2200limyxyxyx 0 )0 , 0(f 故函數(shù)在全平面連續(xù)。故函數(shù)在全平面連續(xù)。由夾逼準則得由夾逼準則得在在(x,y) (0,0)處處，第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)偏導數(shù)(Partial deri

33、vative)定義定義1 設函數(shù)設函數(shù)z=f(x,y)在點在點(x0,y0)的某一鄰域內有定的某一鄰域內有定義，當義，當y固定在固定在y0而而x在在x0處有增量處有增量x 時，相應的函數(shù)時，相應的函數(shù)有增量有增量f(x0+x,y0)- -f(x0,y0)，稱其為函數(shù)在點稱其為函數(shù)在點(x0,y0)處處對對x的的偏增量偏增量。一、偏導數(shù)的概念及計算一、偏導數(shù)的概念及計算定義定義2 設函數(shù)設函數(shù)z=f(x,y)在點在點(x0,y0)的某鄰域內的某鄰域內xyxfyxxfx),(),(lim00000的偏導數(shù)，記為的偏導數(shù)，記為;),(00yxxf 存在，存在，則稱此則稱此極限極限為函數(shù)為函數(shù)z=f(

34、x,y)在點在點(x0,y0)對對x極限極限)(0 xf)()(00 xfxxfx0limx;),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxyxyxfyxxfx ),(),(lim00000 0),(0 xxyxfxdd ),(00yxfx注意：注意：;),(00yxxz 0),(0yyyxfdyd 同樣可定義對同樣可定義對 y 的偏導數(shù)的偏導數(shù) lim0 y ),(00yxfy若函數(shù)若函數(shù)z= f(x,y)在域在域D內每一點內每一點(x,y)處對處對x或或y),(,yxfzxfxzxx 則該偏導數(shù)稱為則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù)偏導函數(shù)，也簡稱為也簡稱為偏導數(shù)偏導數(shù)，) ,(0 xf),(0

35、xfy 記為記為yy 00y偏導數(shù)存在，偏導數(shù)存在，),(,yxfzyfyzyy ),(zyxfx例如，例如，三元函數(shù)三元函數(shù)u = f (x, y,z)在點在點(x,y,z)處對處對x的的偏導數(shù)的概念可以偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上推廣到二元以上的函數(shù)。的函數(shù)。 lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導數(shù)定義為偏導數(shù)定義為( (請自己寫出請自己寫出) )例例1 求求z=x2+3xy+y2在點在點(1,1)處的偏導數(shù)。處的偏導數(shù)。解法解法1: xz)1, 1(xz 解法解法2:)1, 1(xz )1, 1(yz ,32yx yzyx23 , 51

36、312)1, 1(yz 51213132xx1)32( xx51xz231yy 1)23( yy51yz例例2 2 設設 0002),(2222yxyxyxxyyxf當當當當解解: :xxxx 00)(02lim20 xfxfx )0 , 0()0 ,0(lim0 )0 , 0(xf=0求求),(),(0000yxffyyyy 0)(002lim20 yfyfy )0 , 0()0 , 0(lim0 )0 , 0(yf=0例例3 設設 z=xy ，求求.,yzxz 解：解：把看作把看作y常數(shù)，則常數(shù)，則z=xy是關于是關于x的冪函數(shù)，的冪函數(shù)，由冪函數(shù)的求導公式，得由冪函數(shù)的求導公式，得 1

37、yyxxz把看作把看作x常數(shù)，則常數(shù)，則z=xy是關于是關于y的指數(shù)函數(shù)，的指數(shù)函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的求導公式，得由指數(shù)函數(shù)的求導公式，得 xxyzyln 例例4 4 求求222zyxr 解解: : xr2222zyx x2rx ,ry yrrzzr 的偏導數(shù)。的偏導數(shù)。二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義：00),(00 xxyxfxddxfxxyy 0),(yyyxfz00),(00yyyxfdydyfxxyy 是曲線是曲線 0),(xxyxfz在點在點 M0 處的切線處的切線M0Tx對對 x 軸的斜率。軸的斜率。在點在點M0 處的切線處的切線M0Tx對對y軸的斜率。軸的斜率。是

38、曲線是曲線yxz0 xyToxT0y0M注意：注意：函數(shù)函數(shù)在某點各在某點各偏導數(shù)偏導數(shù)都都存在存在, ,但在該點但在該點不一定連續(xù)。不一定連續(xù)。顯然顯然例如例如, , 0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,()0, 0( xxfdxdfx0), 0()0, 0( yyfdydfy00在上節(jié)已證在上節(jié)已證f(x,y)在點在點(0,0)并不連續(xù)！并不連續(xù)！二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù) (Partial derivatives of higher order)設設 z = f (x , y)在域在域D內存在連續(xù)的偏導數(shù)內存在連續(xù)的偏導數(shù)),(,),(yxfyzyxfxzyx

39、若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 則稱它們是則稱它們是 z = f (x, y) 的的二階偏導數(shù)二階偏導數(shù)。按求導順序不同，有下列四個二階偏導數(shù)：按求導順序不同，有下列四個二階偏導數(shù)：22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx );,(2yxfxyzxy x 類似可以定義更高階的偏導數(shù)。類似可以定義更高階的偏導數(shù)。例如，例如，z= f (x, y)關于關于x的三階偏導數(shù)為的三階偏導數(shù)為3322)(xzxzx z = f (x, y)關于關于x的的n 1階偏導數(shù)，再關于階偏導數(shù)，再關于 y

40、的一階的一階) (y yxznn 1偏導數(shù)為偏導數(shù)為11 nnxz例例5. .求函數(shù)求函數(shù) z=exsiny 的二階偏導數(shù)。的二階偏導數(shù)。解：解： xz 22xz yz xyz2 yxz2 22 yz注意：注意：此處此處xyzyxz 22但這一結論并不總成立。但這一結論并不總成立。yexsinyexcosyexsinyexcosyexcosyexsin ),(=),(yxfyxfxyyx定理定理2 若二階混合偏導數(shù)若二階混合偏導數(shù) fxy(x,y) 和和 fyx(x,y) 都在區(qū)域都在區(qū)域D內內連續(xù)，則連續(xù)，則例如例如, 對三元函數(shù)對三元函數(shù)u= f (x,y,z) ,),(),(),(zyx

41、fzyxfzyxfyxzxzyzyx 說明說明:本定理對本定理對n元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的, 故求初等函數(shù)的高階導故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序。數(shù)可以選擇方便的求導順序。),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx 因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù)因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù)當三階混合偏導數(shù)在點在點(x,y,z)連續(xù)時，有連續(xù)時，有而初等而初等例例6 證明函數(shù)證明函數(shù)22lnyxz . 02222 yzxz證明：證明： xz 22xz滿足方程滿足方程22yxx

42、 22222)(2)(yxxxyx yz22yxy 22222)(yxxy 22yz22222)(2)(yxyyyx 22222)(yxyx 所以所以02222 yzxz例例7 設設z=cos(2xy)，求，求.,2323xyzyxz 解：解：因為因為 )2sin(2xyyxz )2cos(4)2sin(22xyxyxyyxz 而而z=cos(2xy)是初等函數(shù)，所以它的各階扁導數(shù)也是初等是初等函數(shù)，所以它的各階扁導數(shù)也是初等數(shù)，它們在數(shù)，它們在xOy面上是連續(xù)的，所以面上是連續(xù)的，所以 和和 與求與求導次序無關，則有導次序無關，則有 yxz 2xyz 2)2sin(8)2cos(4)2cos

43、(4223xyyxxyxxyxyxz )2sin(8)2cos(4)2cos(4223xyxyxyyxyyxyz )2sin(8+)2cos(8=2xyyxxyx)2sin(8+)2cos(8=2xyyxxyy例例12 12 證明函數(shù)證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯?jié)M足拉普拉斯0222222 zuyuxu證明：證明： xu 22xu利用對稱性，有利用對稱性，有,3152322ryryu 222222zuyuxu 方程方程xrr 21rxr 2131r xrrx 4352331rxr 5232231rzrzu 52223)(33rzyxr 2r 0 內容小結內容小結1.1.偏導數(shù)的概念

44、及有關結論偏導數(shù)的概念及有關結論 定義；記號；幾何意義定義；記號；幾何意義 函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)函數(shù)在此點連續(xù)混合偏導數(shù)連續(xù)混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關與求導順序無關2.2.偏導數(shù)的計算方法偏導數(shù)的計算方法 求一點處偏導數(shù)的方法求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定義利用定義 求高階偏導數(shù)的方法求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法逐次求導法( (與求導順序無關時與求導順序無關時, , 應選擇方便的求導順序應選擇方便的求導順序) )課外思考題課外思考題P69 習題習題9-29-2 1(4)(6)(8)，3，5，6(3)，7，8，9(2),)(xuuf

45、 思考題思考題 設設z=f(u)，方程方程 )(uu xytdtp )(確定確定u是是x, y的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中,)(, )(可微可微uuf )(),(utp連續(xù)連續(xù), 且且,1)( u 求求.)()(yzxpxzyp 解解: xzyuufyz )(xuuxu )( )(xp yuuyu )( )(yp xu)(1)(uxp yu)(1)(uyp )(uf yzxpxzyp)()()()(yuxpxuyp 0 近似計算近似計算第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分(Total differential)*二、全微分在數(shù)值計算中的應用二、全微分在數(shù)值計算中的應用 應用應用 一元函數(shù)一元函數(shù)y=f(x)

46、的微分的微分)(xoxAy xxfdy )( 估計誤差估計誤差本節(jié)內容本節(jié)內容:一、全微分的定義一、全微分的定義 設函數(shù)設函數(shù)z=f(x,y) 在點在點(x,y) 的某一鄰域內有定義，的某一鄰域內有定義，給給x以增量以增量x，同時給，同時給y以增量以增量y時，則時，則z=f(x+x,y+y)- -f(x,y)，稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x,y)在點在點(x,y)處的處的全增量。全增量。一、全微分的定義一、全微分的定義 定義定義 若函數(shù)若函數(shù)z=f(x, y)在定義域在定義域D的內點的內點(x, y),)( oyBxAz 其中其中A , B不依賴于不依賴于 x , y，而僅與，而僅與x, y有關，有關

47、，則稱函數(shù)則稱函數(shù)在點在點(x, y)的的全微分全微分，記作，記作BdydxAzd 若函數(shù)在域若函數(shù)在域D內各點都可微，內各點都可微，則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在D內內可微?？晌?。22)()(yx z=f (x, y)在點在點(x, y)可微可微，而，而Ax+By稱為函數(shù)稱為函數(shù)z= f(x,y)處全增量處全增量 z=f(x+x,y+y)- -f(x,y) 可表示成可表示成考慮考慮z=Ax+By+o()，它對一切，它對一切x,y都是成立都是成立的。顯然對的。顯然對y=0也成立，于是也成立，于是)( oxAz 即即xoAxz )( xzx 0lim因此因此Axz 同理同理Byz )(lim0 xoA

48、x A )(x 其中其中定理定理1(可微的可微的必要條件必要條件) ) 若函數(shù)若函數(shù) z=f(x,y) 在點在點(x,y)可可微，則它在點微，則它在點(x.y)處的兩個偏導數(shù)處的兩個偏導數(shù) 必存在，且必存在，且函數(shù)函數(shù)z=f(x,y)在點在點(x,y)的全微分為的全微分為yzxz ,yyzxxzdz 注意注意: 定理定理1 的逆定理不成立。的逆定理不成立。偏導數(shù)存在函數(shù)偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定不一定可微！可微！即即:dyyzdxxzdz 二元函數(shù)的全微分可寫成二元函數(shù)的全微分可寫成反例反例：函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf易知易知,0)0, 0()0, 0( yxf

49、f 但但)0, 0()0, 0(yfxfzyx 因此因此,函數(shù)在點函數(shù)在點(0,0) 不可微。不可微。)( o 22)()(yxyx 22)()(yxyx 22)()(yxyx 0(2)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz )()(lim0 oyBxA 上面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系：上面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系：(1)函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)函數(shù)z= f(x, y)在點在點(x,y)可微可微),(lim00yyxxfyx 由微分定義：由微分定義：得得zyx 00lim0 ),(yxf 函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù)偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 函數(shù)可微函數(shù)可微 而而定理定理2

50、(充分條件充分條件)yzxz ,若函數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)的偏導數(shù)在點在點P(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分可微分。例例1 計算函數(shù)計算函數(shù) z=x2y+y2 的全微分。的全微分。解：解：因為因為 xz yz,2xyyx22 dyyxxydxdz)2+(+2=2所以所以 xxu 推廣推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如例如, 三元函數(shù)三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分為的全微分為 du習慣上把自變量的增量用微分表示習慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作記作udx故有下述疊加原理故有下述疊加原理ududu

51、dduzyx 稱為稱為偏微分偏微分。dyyu dzzu dxxu udyudz yyu zzu 于是于是udududzyx,例例2.計算函數(shù)計算函數(shù)的全微分。的全微分。 zyeyxu 2sin解：解：因為因為 ud dx1ydy) 2cos21( zdeyzy zyezyzzyzyxyeuzeyuu=,+2cos21=, 1=例例3 求函數(shù)求函數(shù) z=exy 在點在點 (2,1) 處的全微分。處的全微分。 解：解：因為因為xyxyxeyzyexz= = ,21221=2=2=|,=|eyzexzy=x=yx 將點將點(2,1)代入上式，得代入上式，得所以所以 dyedxedz222 可知當可知

52、當*二、全微分在數(shù)值計算中的應用二、全微分在數(shù)值計算中的應用1. 近似計算近似計算由全微分定義由全微分定義x y )(),(),( oyyxfxyxfzyx ),(yyxxf yyxfxyxfyx ),(),( 較小時較小時,yyxfxyxfdzzyx ),(),( dz及及有近似等式有近似等式: ),(yxf(可用于近似計算可用于近似計算; 誤差分析誤差分析) (可用于近似計算可用于近似計算) 例例4 計算計算(0.99)2.02的近似值。的近似值。解：解：設設 f(x,y)=xy ，取，取 02. 0, 2,01. 0, 1 yyxx則則 f(1,2)=198. 002. 00)01. 0

53、(21)99. 0(02. 2 2|)2 , 1(211 yxyxyxf0|ln)2 , 1(211 yxyyxxf從而，得從而，得分別表示分別表示x,y,z的絕對誤差界的絕對誤差界, ,2. 誤差估計誤差估計利用利用yyxfxyxfzyx ),(),( zyx,令令z 的絕對誤差界約為的絕對誤差界約為yyxxzyxfyxf| ),(| ),(| z 的相對誤差界約為的相對誤差界約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),( 則則特別注意特別注意yxzyxz ,)2(時時xyz yxyx類似可以推廣到三元及三元以上的情形類似可以推廣到三元及三元以上的情形. .xzz )(2x

54、y yxy x1 yx乘除后的結果相對誤差變大乘除后的結果相對誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)很小的數(shù)不能做除數(shù)(1)z=xy時時例例5. 利用公式利用公式CbaSsin21 1 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求計算面積時的絕對誤差與相對誤差。求計算面積時的絕對誤差與相對誤差。解：解：aSaS aCbsin21 1800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12 CbaCba13. 0 S故絕對誤差約為故絕對誤差約為又又CbaSsin21 所以所以S的相對誤差約為的相對誤差約為SS 30sin3 . 85 .1221bCasin21 CCabcos21 94.25 9

55、4.2513. 0 %5 . 0 計算三角形面積計算三角形面積. .現(xiàn)測得現(xiàn)測得bbS ccS 內容小結內容小結1.微分定義微分定義:),(yxfz z yyxfxyxfyx ),(),( dzdyyxfdxyxfyx),(),( 22)()(yx 2.重要關系重要關系:)( o 函數(shù)可導函數(shù)可導函數(shù)可微函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)3. 微分應用微分應用 近似計算近似計算 估計誤差估計誤差 z yyxfxyxfyx ),(),( ),(yyxxf yyxfxyxfyx ),(),( 絕對誤差絕對誤差相對誤差相對誤差 ),(yxfyyxxzyxfyxf),(),( yyxxzyx

56、fyxfyxfyxfz),(),(),(),( 課外思考題課外思考題 P75 習題習題9-39-3 1(3)(4)，3，5，8，10函數(shù)函數(shù)z=f(x,y)在在(x0,y0)可微的充分條件是可微的充分條件是( ). ( ). ),(, ),()(yxfyxfByx 在在(x0,y0)的某鄰域內存在；的某鄰域內存在；yyxfxyxfzCyx ),(),()( 0)()(22 yx 當當時是無窮小量時是無窮小量 ; ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx 0)()(22 yx 當當時是無窮小量時是無窮小量 . .D思考與練習思考與練習(A)函數(shù)函數(shù)z=f(x,y)在在(x0,y

57、0)連續(xù)；連續(xù)； 一元復合函數(shù)一元復合函數(shù))(),(xuufy 求導法則求導法則dxdududydxyd 多元復合函數(shù)求導的鏈式法則多元復合函數(shù)求導的鏈式法則第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 xxufduufdyd)()()( 微分法則微分法則xvvz 一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則定理定理3 3 若函數(shù)若函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)，連續(xù)偏導數(shù)，z=f(x,y)在點在點 (u,v) 處有連續(xù)偏導數(shù)，處有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)則復合函數(shù) xz yzyuuz yvvz xuuz zvuyxyx),(),(=yxyxfz對對x及及y的偏導的偏導數(shù)存在且有數(shù)

58、存在且有在點在點(x,y)處有處有),(),(yxvyxu 推廣：推廣：設下面所涉及的函數(shù)都可微。設下面所涉及的函數(shù)都可微。1)1)中間變量是中間變量是一元函數(shù)一元函數(shù)的情形。的情形。例如，例如，)(, )(,),(tvtuvufz dtdzdtduuz dtvdvz zvutt2)2)中間變量中間變量多于兩個的多于兩個的情形。情形。例如，例如，,),(wvufz dtdzzwvutttdtduuz dtvdvz tdwdwz )(, )(, )(twtvtu 3)中間變量是中間變量是多元函數(shù)多元函數(shù)的情形。的情形。例如例如, ,),(, ),(yxvyxu xz1211 ff2221 ff

59、yzzvuyxyxxuuz xvvz yuuz yvvz ),(vufz 又如又如, ,),(, ),(yxvvxfz 當它們都具有可微條件時當它們都具有可微條件時, , 有有xz 121 ffyz 22 ffz xyx注意：注意： 這里這里xz xf xz 表示固定表示固定 y 對對 x 求導，求導，xf 表示固定表示固定 v 對對 x 求導求導口訣：口訣：分段用乘，分叉用加；單路全導，叉路偏導。分段用乘，分叉用加；單路全導，叉路偏導。xf xvvf yvvf 與與不同，不同，v解：解：xz xv 2ln xyxxyx22)ln(2 yz xuuz xvvz yvu yuuz yvvz zv

60、uyxyxyv 2ln yyxxyy22)ln(2 xvu 例例1 設設z=ulnv，u=x2+y2，v=xy，求求.,yzxz 求全導數(shù)求全導數(shù)例例2 設設 .dtdzztyxttdtdz)1(4)23(sec222txyxt dtdxxz dtdyyz tz ,1),23tan(2txyxtz ,ty 解解: :)21()23(sec22tyxt )23(sec322yxt )23(sec)2143(223yxttt 例例3. 設設 z=(1+xy)y ，求，求。yzxz ,解解: :xz 12)1 (yxyyxuuz ,1xyu , yv vuz xvvz )1ln(1)1 (xyxyx