近世代數(shù)初步習(xí)題解答(抽象代數(shù))

1、近世代數(shù)初步習(xí)題答案與解答引 論 章一、知識(shí)摘要1.A是非空集合,集合積的一個(gè)映射就稱為A的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算(二元運(yùn)算或運(yùn)算).2. 設(shè)G非空集合,在G上有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,稱作乘法,即對(duì)G 中任意兩個(gè)元素a,b,有唯一確定的元素c與之對(duì)應(yīng),c稱為a與b的積,記為c=ab.若這個(gè)運(yùn)算還滿足：(1)(2)(3)存在單位元e滿足(4)存在使得稱為的一個(gè)逆元素.則稱G為一個(gè)交換群.(i)若G只滿足上述第2、3和4條,則稱G為一個(gè)群.(ii) 若G只滿足上述第2和3條,則稱G為一個(gè)幺半群.(iii) 若G只滿足上述第2條,則稱G為一個(gè)半群.3.設(shè)F是至少包含兩個(gè)元素的集合,在F上有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,稱作加法,即對(duì)

2、F 中任意兩個(gè)元素a,b,有唯一確定的元素c與之對(duì)應(yīng),c稱為a與b的和,記為c=a+b.在F上有另一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,稱作乘法,即對(duì)F 中任意兩個(gè)元素a,b,有唯一確定的元素d與之對(duì)應(yīng),d稱為a與b的積,記為d=ab.若這兩個(gè)運(yùn)算還滿足：I. F對(duì)加法構(gòu)成交換群.II. F*=F0對(duì)乘法構(gòu)成交換群. III.就稱F為一個(gè)域.4.設(shè)R是至少包含兩個(gè)元素的集合,在R上有加法和乘法運(yùn)算且滿足：I. R對(duì)加法構(gòu)成交換群(加法單位元稱為零元,記為0;加法單位逆元稱為負(fù)元).II. R*=R0對(duì)乘法構(gòu)成幺半群(乘法單位元常記為1).III. 就稱R為一個(gè)環(huán).5.群G中滿足消去律：6.R是環(huán),則稱是R中的一個(gè)左(

3、右)零因子.7.廣義結(jié)合律:半群S中任意n個(gè)元a1,a2,an的乘積a1a2an在次序不變的情況下可以將它們?nèi)我饨Y(jié)合.8.群G中的任意元素a及任意正整數(shù)n,定義：,. 則由廣義結(jié)合律知有(在加法群中可寫出相應(yīng)的形式.)9.關(guān)于數(shù)域上的行列式理論、多項(xiàng)式理論(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等)、線性方程組理論、矩陣運(yùn)算及理論、線性空間及線性變換理論在一般域F上都成立.二、習(xí)題解答1、（1）否，（2）否，（3）是，（4）是。注：因?yàn)榧仙系囊粋€(gè)代數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)了集合×到的一個(gè)映射。此類題由此直接判斷。2、證明由于在F2上的任一和式中，只要有一項(xiàng)是1，其結(jié)果永遠(yuǎn)是1。而a

4、+b 與b+a；a+(b+c)與(a+b)+c中1，0出現(xiàn)的次數(shù)分別相同，它們的和就分別相等，故F2中加法交換律和結(jié)合律成立。由于ab和ba；a（bc）和（ab）c中如有0出現(xiàn)，其積為零，否則其積為1，故這兩對(duì)積分別相等，于是F2中乘法交換律和結(jié)合律成立。對(duì)a（b+c）和ab+ac，若a=0，這兩式子都為零；若a=1，這兩式子都為b+c，對(duì)這兩種情形兩式子都相等，故F2中乘法對(duì)加法的分配律成立。注：此類題根據(jù)所定義的運(yùn)算法則直接驗(yàn)證。3、（1）對(duì)a+b=a=a+0用加法消去律，得b=0。（2）由于（-a）-b+a+b=（-a）+-b+（a+b）=（-a）+a=0,由負(fù)元的定義知（-a）-b=-

5、（a+b）.（3）在（2）中將 b換為-b，就得-（a-b）=（-a）+b。（4）對(duì)a-b=c兩邊加上b，左邊=（a-b）+b=a，右邊=c+b，故a=c+b。（5）a·0+a=a·0+a·1=a（0+1）=a,用加法消去律得a·0=0。（6），故，將上式互換就得。（7）注：此題直接根據(jù)環(huán)上的兩個(gè)運(yùn)算的性質(zhì)和關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。4 =。注：此題直接根據(jù)環(huán)上“乘法對(duì)加法的分配律”來(lái)證明。5.分幾種情形（i），但m，n不為零，不妨設(shè)m為正整數(shù)。為m個(gè)a及m個(gè)的乘積，由廣義結(jié)合律知。（ii）若m，n中有零，不妨設(shè)m=0，則左邊。（iii）m，n皆為正整數(shù)，

6、則am+n與aman皆為m+n個(gè)a的積，由廣義結(jié)合律知它們相等。若m，n皆為負(fù)整數(shù)，則am+n與aman皆為-（m+n）個(gè)a-1的乘積，由廣義結(jié)合律知它們相等。（iv）m，n中有正有負(fù)，且，不妨設(shè)m與m+n為異號(hào)。則由（iii），兩邊再乘上(參看(i),則.以上已證明了再由 又這就證明了若a,b交換,當(dāng)m=0時(shí),顯示有當(dāng)m為正整數(shù)時(shí),都是m個(gè)a,m個(gè)b的乘積,由廣義結(jié)合律知它們相等,當(dāng)m為負(fù)整數(shù)時(shí),即.左邊又是,故.注：此題根據(jù)廣義結(jié)合律和群中元素的方冪的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證6. 參照中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)二項(xiàng)定理的證明,根據(jù)環(huán)上的運(yùn)算性質(zhì)及的交換性直接證明7.由,故.對(duì)第2個(gè)問題,上面一段正是證明了它的充分性

7、,再證必要性.設(shè),則任意,故每個(gè)有逆元素.注：直接根據(jù)逆元的定義和廣義結(jié)合律證明.8.即1-ba在R內(nèi)也可逆又由.故.注：直接根據(jù)結(jié)合律和環(huán)中乘法對(duì)加法的分配律驗(yàn)證.9.當(dāng)n2時(shí),取 B= 則,但AB=0.A,B皆為零因子.注：根據(jù)環(huán)中零因子的定義直接構(gòu)造.第一章 群第一節(jié) 群的例子一、知識(shí)摘要1.數(shù)1的n次單位根關(guān)于復(fù)數(shù)乘法構(gòu)成群.2.域F上的全體n階可逆矩陣關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成群,稱為n階一般線性群,記為3.中全體行列式為1的矩陣關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成群,稱為n階特殊線性群,記為4.實(shí)數(shù)域R上的全體n階正交矩陣關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成群,稱為n階正交群,記為5.非空集合M上的可逆變換全體關(guān)于變換乘法構(gòu)成群,

8、稱為集合M上的全變換群,記為.特別,當(dāng)M是有限集1,2,n時(shí),M上的可逆變換稱為1,2,n的一個(gè)置換(或一個(gè)n元置換).此時(shí),全體n元置換在置換乘法下所成的群稱為n元對(duì)稱群,記為.6. 域F上n維線性空間V上的全體可逆線性變換在變換乘法下構(gòu)成群,記為7.實(shí)數(shù)域上n維歐氏空間V上的全體正交變換在變換乘法下構(gòu)成群,記為8.平面上全體正交變換(保持點(diǎn)之間的距離和直線夾角的變換)在變換變換乘法下構(gòu)成群,稱為平面的正交變換群.二、習(xí)題解答1.寫仿射點(diǎn)變換(這兒T是矩陣的轉(zhuǎn)置)為矩陣形式,其中.設(shè)另一仿射點(diǎn)變換:,其中,則經(jīng)變成由于仍是仿射點(diǎn)變換.易證:仿射點(diǎn)變換是恒等變換，它是乘法單位元. 仿射點(diǎn)變換正

9、是的逆變換.又變換的乘法自然有結(jié)合律，故平面上全體仿射點(diǎn)變換對(duì)變換的乘法成為一個(gè)群.注：此類題按照群的定義驗(yàn)證,對(duì)逆元和單位元的存在性證明是關(guān)鍵.2.平面上正交點(diǎn)變換可寫成矩陣形成:,其中A為2×2正交矩陣，即滿足（單位矩陣）.正交矩陣的乘積是正交矩陣，正交矩陣的逆也是正交陣。利用這兩個(gè)性質(zhì)。完全類似于習(xí)題1中的論證，能證明本習(xí)題的結(jié)論.注：此題證明方法與上題一致,關(guān)鍵是掌握正交矩陣的基本性質(zhì).3.由題設(shè)有在仿射點(diǎn)變換：的變換下故由于，A可逆.于是將不同的三點(diǎn)變成不同的三點(diǎn)，.上面一串等式的最前端與最后端相等即表示這三點(diǎn)也共線。注：關(guān)鍵是在下，驗(yàn)證4.與第三題類似有其中A滿足于是.注

10、：直接驗(yàn)證5.設(shè)，,其中a,b,c,d都是復(fù)數(shù),a0且c0,則也和A,B具有相同的形式.顯然, 是單位元且是A的逆矩陣.又矩陣乘法滿足結(jié)合律,故結(jié)論得證.注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證,需要說明AB也和A,B具有相同的形式.6.只需要證明逆元存在性且滿足結(jié)合律即可.顯然,是(a,b)的逆元.又(a,b)(c,d)(e,f)=(ac,ad+b)(e,f)=(ace,acf+ad+b)=(a(ce),a(cf+d)+b)=(a,b)(ce,cf+d)=(a,b)(c,d)(e,f),即結(jié)合律成立,故G是一個(gè)群.注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證.7.對(duì)a有右逆b.b又有右逆，這時(shí)a為b的左逆.由，得到，可知.這樣

11、，即b是a的逆.8.由題設(shè)，對(duì)后一等號(hào)兩邊左乘，右乘，就得到注：只需要由驗(yàn)證即可.9.，有，故，又，a對(duì)后一個(gè)等號(hào)兩邊左乘a，右乘b，就得.注：關(guān)鍵在于由得到對(duì)都成立.10.易驗(yàn)證,G對(duì)復(fù)數(shù)的乘法是封閉的且結(jié)合律成立. 顯然,1是G的單位元.又,有,從而且.即z1是z的逆元.注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證.11. ,由不同時(shí)為0且不同時(shí)為0易知,和不同時(shí)為0,故顯然,是K的單位元且容易驗(yàn)證是A在K中的逆元.由矩陣乘法滿足結(jié)合律知,K關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成群.注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證.12.設(shè).由性質(zhì)（2），,且是s個(gè)不同的元，故.同樣由性質(zhì)（3）可得，。設(shè)其中于是 。即gi是G的右單位元，gj是G的左單位

12、元,分別記為e及，即G有單位元e.類似于上面作法，由，有b使ab=e，由，而有使即有逆元。又題設(shè)G有結(jié)合律，故是一個(gè)群。注：證明的關(guān)鍵在于“由G是非空有限集,得到”.由此去證明單位元和逆元的存在性. 此題給出了非空有限集關(guān)于其上定義的乘法作成群的一個(gè)條件：“此乘法滿足左、右消去律和結(jié)合律?！?3.只證（2）。用反證法.設(shè)取互為逆元素，若是四個(gè)不同的元素.設(shè)上面的步驟進(jìn)行k-1步，得到2（k-1）個(gè)元素.同樣論證除了上述2（k-1）個(gè)元素外要么沒有元素了，要么同時(shí)有要么等于，要么有2k個(gè)元素.因只有有限個(gè)元素，必然在某個(gè)第k步停止，即.故G有2k+1個(gè)，即奇數(shù)個(gè)元素，矛盾.因此G中必有元素.注：

13、主要根據(jù)“群中元和其逆元的階相同，且不同元的逆元不同”,得到“群中階大于二的元素個(gè)數(shù)必為偶數(shù)個(gè)”.又“群中有且只有單位元的階是1”,從而由G是偶數(shù)階群可得,G中必有2階元.14.設(shè)G1.由.同樣可取,同理，就得到矛盾.故不能有不等于G的兩個(gè)子群注：此題的證明主要是基于“對(duì)于群G中的兩個(gè)互不包含的子群G1和G2,分別取自G1G2和G2 G1中的兩元素的乘積必定不屬于”這一事實(shí).15.由于數(shù)的加法都滿足結(jié)合律且,其中p是素?cái)?shù).顯然0是單位元且是的逆元.故結(jié)論成立. 注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證.16. 由于數(shù)的加法都滿足結(jié)合律且,其中p是素?cái)?shù).顯然0是單位元且是的逆元.故結(jié)論成立. 注：根據(jù)群的定義直

14、接驗(yàn)證.17. .注：直接根據(jù)6元置換的乘法計(jì)算.18.,.注：此題關(guān)鍵在于熟悉n元置換的表示形式.第二節(jié) 對(duì)稱性變換與對(duì)稱性群，晶體對(duì)稱性定律一、知識(shí)摘要1.平面上(或空間中)的一個(gè)圖形M在平面上(或空間中)的一個(gè)正交變換下變?yōu)镸本身,則稱此變換是M的對(duì)稱性變換.圖形M的全體對(duì)稱性變換在變換乘法下構(gòu)成一個(gè)群,稱為M的對(duì)稱性群.2.f(x1,x2,xn)是域F上的n元多項(xiàng)式,若f(x1,x2,xn)的各文字的腳標(biāo)經(jīng)任意n元置換變換后,該多項(xiàng)式完全不變,即則稱它是域F上的一個(gè)n元對(duì)稱多項(xiàng)式.3. f(x1,x2,xn)是域F上的n元多項(xiàng)式(未必對(duì)稱多項(xiàng)式),若 n元置換滿足則稱是f(x1,x2,

15、xn)的一個(gè)對(duì)稱性變換. f(x1,x2,xn)的全體對(duì)稱性變換在變換乘法下構(gòu)成一個(gè)群,稱為f(x1,x2,xn)的對(duì)稱性群.特別,當(dāng)f(x1,x2,xn)是域F上的n元對(duì)稱多項(xiàng)式時(shí), f(x1,x2,xn)的對(duì)稱性群即是.二、習(xí)題解答1、(1)令繞O反時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°，72°，144°，216°，288°的5個(gè)旋轉(zhuǎn)變換為TO，T1，T2，T3，T4，令平面對(duì)直線的反射變換為它們都是對(duì)稱性變換，對(duì)于此正五邊形的任一個(gè)對(duì)稱性變換T，它若將頂點(diǎn)A1，變成，則就將A1變成A1.易知正五邊形的保持A1不動(dòng)的對(duì)稱性變換只有故全部對(duì)稱性變換為，共10個(gè)對(duì)稱性變

16、換，故它們必須相等。(2)令繞O反時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°，180°的旋轉(zhuǎn)變換為T0，T1，令平面對(duì)直線的反射為S1，S2.它們都是該矩形的對(duì)稱性變換.使A1分別變到A1,A2,A3,A4的對(duì)稱性變換都只有一個(gè)，即分別為T0,S1,T1,S2.故它們是全部的對(duì)稱性變換.(3)令繞O反時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角的放置變換為T,令平面對(duì)過中心O的任意直線的反射為.則圓的對(duì)稱性變換群2. 3.能變出6個(gè)單項(xiàng)式,即為: 它們的和是所要求的項(xiàng)數(shù)最少的多項(xiàng)式.注：以作為一項(xiàng)的對(duì)稱多項(xiàng)式,必定含有用S3去變所得到的所有可能的單項(xiàng)式.更一般地,以某個(gè)k元單項(xiàng)式m(x)作為一項(xiàng)的對(duì)稱多項(xiàng)式,必定含有用Sk去變m(x

17、)所得到的所有可能的單項(xiàng)式.4. 其它證明略去（直接按照群的定義驗(yàn)證A3在置換乘法下成為群）.5.直接按照群的定義驗(yàn)證V4在置換乘法下成為群.6.正四面體為ABCD,O為DBC的中心,E,F,G,L分別是CD,AB,AC,AD的中點(diǎn),我們先找出使頂點(diǎn)A不動(dòng)的全體對(duì)稱性變換的集合H.這些變換使BCD變?yōu)樽约?H限制在平面BCD上是BCD的對(duì)稱性群.由此易確定出,其中T1,T2,T3是空間繞軸AO旋轉(zhuǎn)(按某固定方向)轉(zhuǎn)0º,120º,240º的轉(zhuǎn)換變換,S是空間對(duì)面ABE的鏡面反射.再任選三個(gè)對(duì)稱性變換M1,M2,M3它們分別能將點(diǎn)B,C,D與A互變.例可取M1,M2

18、,M3是空間分別對(duì)平面CDF,BGD,CBL的鏡面反射,與第1題(1)中的論證類似,可得正四面體ABCD的對(duì)稱性群.G有24個(gè)元.第三節(jié) 子群,同構(gòu),同態(tài)一、知識(shí)摘要1.群G的非空子集H稱為G的子群,如果H對(duì)G的乘法構(gòu)成群.(1) 群G的非空子集H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)(i)H對(duì)G的乘法封閉, (ii)G的單位元屬于H, (iii)在G中的逆元屬于H.(2) 群G的非空子集H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)(3)H1,H2,是群G的子群,則是G的子群.設(shè)S是群G的非空子集,G的含S的所有子群的交(還是G的子群)稱為G的由S生成的子群,記為<S>.即是G的含S的最小子群.當(dāng)S=a時(shí),記<S>

19、;=<a>.稱<a>為G的由a生成的循環(huán)子群.有結(jié)論:(4)若有則稱G為循環(huán)群.2. 群G到群G1的映射稱為群G到群G1的同態(tài),如果(1)稱為同態(tài)的核,它是G的子群.(2)同態(tài)稱為滿同態(tài)(單同態(tài))如果是滿 (單)射.同態(tài)稱為同構(gòu)如果是雙射.G到自身的同構(gòu)稱為G的自同構(gòu).3.有無(wú)限多個(gè)元素的群稱為無(wú)限群.僅有有限個(gè)元素的群稱為有限群,此時(shí)G中元素個(gè)數(shù)稱為群G的階,記為|G|.集合M上的變換群SM的子群都稱為變換群.4.Cayley定理 任何群G都同構(gòu)與G上(作為集合)的一個(gè)變換群.二、習(xí)題解答1.U4=1,-1,i,-i,易證U4對(duì)數(shù)的乘法和逆運(yùn)算都封閉.注：事實(shí)上,群的

20、有限非空子集是子群只要運(yùn)算封閉.2.(1).因 故(2)對(duì)a,b來(lái)證明，因 (3) 設(shè)又注：H是G的非空子集, 若,則H是G的子群.3.易見eZ(G),故.從而Z(G)是G的子群.注：H是G的非空子集, 若,則H是G的子群.4. (1).易見eCG(S),故.故從而CG(S)是G的子群.(2).易見eNG(S),故.先證.故.故.所以.有 從而NG(S)是G的子群.注：H是G的非空子集, 若,則H是G的子群.5.(1). 故是子群.(2). 從而故是子群.注：H是G的非空子集, 若,則H是G的子群.6.寫V4中的元為a,b,c,e(單位元),則有而U4中個(gè)元為假設(shè)V4到U4有同構(gòu).不妨設(shè).由不

21、保持乘法,矛盾.故V4與U4不同構(gòu).7.在第二節(jié)例3中已計(jì)算過正三角形A1A2A3的對(duì)稱性群G有6個(gè)元素.每個(gè)對(duì)稱性變換引起頂點(diǎn)A1,A2,A3的一個(gè)置換.這就引起了G到S3的一個(gè)映射.易檢驗(yàn)這6個(gè)變換引起S3的全部6個(gè)不同的置換.故這映射是雙射.又連續(xù)兩次作對(duì)稱性變換引起連續(xù)兩次頂點(diǎn)的置換.即對(duì)稱性變換的乘積引起對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)置換的乘積,故這映射保持乘法.因此上述映射是對(duì)稱性變換群G到S3的同構(gòu).注：同構(gòu)映射的建立三關(guān)鍵.8.Gayley定理斷言,有限群G同構(gòu)于G上的變換群.設(shè)G的階為n,則G同構(gòu)于Sn的子群.而Sn的子群只有限個(gè),故只有有限個(gè)不同構(gòu)的n階群.注：這是Gayley定理導(dǎo)出的一個(gè)重

22、要結(jié)論.9.(1). .則 (2). 則(3).定義L到M的映射,則可驗(yàn)證f是雙射.且故L同構(gòu)與M.注：H是G的非空子集, 若,則H是G的子群.10.顯然，是G到自身的雙射.設(shè)G是交換群,則反之，設(shè), 則故G是交換群.注：根據(jù)群的自同構(gòu)與交換群的概念直接證明.11.令，則故 .從而注：根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)公式直接驗(yàn)證.12.其中,都屬于S,故 又設(shè)H1是G的包含S的子群,則必含所有形為因而的最小的子群.即注：13.設(shè)H是加法群Z的子群,若,則H中有非零整數(shù)t.若t0,則故H中有正整數(shù).取n為H中最小的正整數(shù).任意又由于矛盾.故又因?yàn)橐虼俗ⅲ赫麛?shù)加法群Z的任一子群H都有,其中若H=0,則n=0,其

23、它情況時(shí)n為H中最小正整數(shù).14.設(shè)是Q的有限生成的加法子群.由第12題易知.取的最小公倍數(shù)為m,則.取 這就證明了是循環(huán)加法群.注：證明一個(gè)子群是循環(huán)子群，通常是先去找該子群的一個(gè)特殊元（如這里的），然后去驗(yàn)證該子群可以由這個(gè)元生成.此生成元的構(gòu)造往往是此類題證明的關(guān)鍵,也是難點(diǎn).15.由于不是整數(shù)矩陣.故全體2×2整數(shù)元素的可逆矩陣不成為群.取正實(shí)數(shù)矩陣即正實(shí)數(shù)可逆矩陣的逆矩陣不是正實(shí)數(shù)矩陣.故全體2×2正實(shí)數(shù)可逆矩陣不成為群.16.從而故注：證明逆運(yùn)算封閉是關(guān)鍵.第四節(jié) 群在集合上的作用,定義與例子一、知識(shí)摘要1.群G到某個(gè)集合M的全變換群SM有一個(gè)同態(tài)T.將G的任意

24、元g對(duì)應(yīng)于M上的變換T(g)，從而對(duì)M進(jìn)行變換.就說g作用于M上.且稱該同態(tài)T是群G在集合M上的一個(gè)群作用.對(duì)記群G在集合M上的一個(gè)群作用確定了一個(gè)映射：2.的映射能確定群G在集合M上的一個(gè)群作用當(dāng)且僅當(dāng) 二、習(xí)題解答1.定義GL(V)的單位元是V上的恒等變換I.由f,g是變換,有從而, 決定了GL(V)在M上的群作用。2.(1)K×H的單位元是(e,e),其中e是G的,也是K和H的單位元:(2)由命題1,上面映射決定了K×H在G上的群作用。3. 定義G×M1到M1的映射.；G×M2到M2的映射.G×M3到M3的映射.易證分別決定了G在M1，M

25、2，M3上的一個(gè)群作用.4.首先證明定義了G×M到M的映射.= 易證這映射決定G在M上的一個(gè)群作用.5.對(duì)的多項(xiàng)式,都是x,y,z的一次多項(xiàng)式,若設(shè)為其中仍是F上x,y,z的多項(xiàng)，故建立了的一個(gè)映射，易證它決定G在M上的一個(gè)群作用.6.記G的單位元是e,也是K，H的單位元。有.從而決定了G在M上的一個(gè)群作用.注：以上各題直接根據(jù)群作用的概念證明.第五節(jié) 群作用的軌道與不變量，集合上的等價(jià)關(guān)系一、知識(shí)摘要1、群G作用于集合M上,對(duì),稱為x在G作用下的軌道,或過x的軌道.M為所有不同軌道的無(wú)交并.2、設(shè)映射能決定一個(gè)群作用.若M上取值于另一集合(域、或復(fù)數(shù)域、或這些域上多項(xiàng)式的集合)的某

26、個(gè)函數(shù)F滿足：則稱F是該群作用下的一個(gè)不變量.(即不變量在任一條軌道上都取常值).3、設(shè)G在集合M上有群作用.M上的一組函數(shù)F1, F2, Fk稱為M在G作用下的不變量的一個(gè)完全組，如果二、習(xí)題解答1.V中可逆線性變換若把某子空間W變成子空間W1，則把W的基變成W1的基，故同一軌道上的子空間具有相同的維數(shù)，又設(shè)V的兩個(gè)子空間W和W1，它們有同樣維數(shù)k>0，分別取W和W1的基為分別補(bǔ)充成，使它們都是V的基.由線性代數(shù)知道必有V上可逆線性變換A,使A就將子空間W變成子空間W1.故W與W1在同一條軌道上故對(duì)V中全體k維子空間的集合Vk構(gòu)成群作用的一條軌道.共有n+1條軌道.子空間的維數(shù)是不變量

27、,并構(gòu)成不變量的完全組.2.對(duì)A,B皆為n×n實(shí)對(duì)稱矩陣,若A,B在同一軌道上,即有n×n正交陣P使B=PAP-1,則它們有相同的特征值集合.反之,設(shè)A,B為具有相同特征值集中的n×n實(shí)對(duì)稱矩陣，它們都可用實(shí)正交矩陣化為對(duì)角陣，即有n×n正交陣P1，P2使于是仍為正交陣，故A，B在同一條軌道上.以上說明,特征值的集合是群作用的不變量的完全組.而全部特征值的和,全部特征值的積,特征多項(xiàng)式都是群作用的不變量.注：以上兩題直接根據(jù)群作用的不變量和不變量的完全組的概念解答.3.實(shí)際上KtH是第4節(jié)習(xí)題2中群作用下的一條軌道(即t所在的軌道),兩條軌道或重合或不相

28、交,即兩個(gè)(K,H)雙倍集或重合或不相交.作用集G是全體軌道的無(wú)交并也就是全體(K,H)雙陪集的無(wú)交并.注：群在G上有群作用,則在此群作用下的所有軌道構(gòu)成G的一個(gè)劃分.第六節(jié) 陪集,Lagrange定理,穩(wěn)定化子,軌道長(zhǎng)一、知識(shí)摘要1.令H是有限群G的子群. 在H在G上的左(或右)乘作用下過x的軌道稱為H在G中的一個(gè)右(或左)陪集.子群H在G中的右、左陪集數(shù)目相等,稱為子群H在G中的指數(shù),記為G:H.2.(Lagrange定理) H是有限群G的子群,則|G|=G:H|H|.3.設(shè)群G作用于M. 對(duì),稱為群G作用下x的穩(wěn)定化子(是G的子群).當(dāng)G是有限群時(shí),記過x的軌道為,則Ox是有限集且|Ox

29、|=G:StabG(x).4.G的元素x在G的共軛作用下的穩(wěn)定化子稱為x在G中的中心化子.記為CG(x),即G在自身上作共軛作用的軌道叫做G的一個(gè)共軛類. 當(dāng)G是有限群時(shí)有 (1) G中x所在的共軛類的勢(shì)即類長(zhǎng)|Cx|=G:CG(x). (2)設(shè)x1,x2,xn是G的全體共軛類的一組代表元,則5.稱為G的中心(即與G中所有元都交換的元素構(gòu)成的集合).(1)Z(G)是G的子群且Z(G)中的每個(gè)元素組成一個(gè)共軛類.(2)設(shè)y1,y2,ym是G的勢(shì)大于1的全體共軛類的一組代表元,則特別，當(dāng)G是交換群時(shí), 二、習(xí)題解答1.設(shè)反之, 2.(1)設(shè)又(2),由第1題,這等同于g1,g2屬于StabG(x)

30、的同一左陪集.注：根據(jù)習(xí)題1的結(jié)論證明.3.(1)設(shè).這等價(jià)于.故.(2)也即.故GLn(F)在W處的穩(wěn)定化子為.注：根據(jù)穩(wěn)定化子的概念解答.4.(1),(2)中的穩(wěn)定化子相同,都為第2節(jié)第6題的證明中的H.(3)令A(yù)1A2和A3A4的中點(diǎn)分別是F,E,則A1A2的穩(wěn)定化子由恒等變換、繞FE轉(zhuǎn)180º的旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)平面A1A2E以及對(duì)平面A3A4F的反射共四個(gè)變換組成.注：根據(jù)穩(wěn)定化子的概念解答.5.在第2節(jié)第6題中求正四面體A1A2A3A4的對(duì)稱性群的方法與第6節(jié)定理2中公式是一致的.那里求出對(duì)稱性群有24個(gè)元素,全體對(duì)稱性變換對(duì)應(yīng)了頂點(diǎn)A1,A2,A3,A4的24個(gè)置換,正是S4

31、的全部元素.下面列出頂點(diǎn)置換與正交變換的對(duì)應(yīng). 恒等變換. 繞A1O旋轉(zhuǎn)120º. 繞A1O旋轉(zhuǎn)240º. 對(duì)平面A1OA2的鏡面反射. 對(duì)平面A1OA3的鏡面反射. 對(duì)平面A1OA4的鏡面反射. 對(duì)平面FA3A4的鏡面反射. 先繞A1O旋轉(zhuǎn)120º,再對(duì)平面FA3A4反射. 先繞A1O旋轉(zhuǎn)240º,再對(duì)平面FA3A4進(jìn)行反射. 繞FE軸旋轉(zhuǎn)180º. 繞四面體過A3的高繞旋轉(zhuǎn)120º. 繞四面體過A4的高線. 對(duì)平面A2GA4的鏡面反射. 先繞A1O轉(zhuǎn)120º,再對(duì)平面A2GA4作反射. 先繞A1O轉(zhuǎn)240º,再

32、對(duì)平面A2GA4作反射. 繞四面體過A2的高線旋轉(zhuǎn)120º. 繞GH軸旋轉(zhuǎn)180º. 繞四面體過A4的高線旋轉(zhuǎn)240º. 對(duì)平面A2LA3的反射. 先繞A1O轉(zhuǎn)120º再對(duì)平面A2LA3作反射. 先繞A1O轉(zhuǎn)240º再對(duì)平面A2LA作反射. 繞四面體過A2的高線旋轉(zhuǎn)240º. 繞四面體過A3的高線旋轉(zhuǎn)240º. 繞IL軸旋轉(zhuǎn)180º.注：根據(jù)定理2中公式(2)解答.6.過tH的軌道為.而在tH處的穩(wěn)定化子為.注：本題應(yīng)改為“試決定第四節(jié)習(xí)題6中群作用 ”.7. S3中C3的左陪集為C3和(12) C3,右陪集為C3

33、和C3(12).注：S3中C3的左陪集個(gè)數(shù)是2,這是因?yàn)?8.S4中S3的左陪集為9.G是交換群,故H的任意左陪集注：交換群G的子群H的以為代表元的左陪集,恰是H的以為代表元的右陪集,反之亦然.10.Z中3Z的全部左陪集為3Z,1+3Z,2+3Z.注：理論根據(jù)見習(xí)題11.11. 由本節(jié)第1題， 故Z中nZ的全部左(右)陪集為nZ,1+nZ,2+nZ,., (n-1)+nZ.注：(1)本題是第10題的一般化.(2)由于Z是交換群,根據(jù)第9題證明知, Z中nZ的任意左陪集都是右陪集,且全部左(右)陪集為nZ,1+nZ,2+nZ,., (n-1)+nZ.12.的軌道為13設(shè)，對(duì)H為G的非單位元子群，

34、則有的不等于1的因子必將被p整除，故又設(shè)K為G的真子群,故 ，又.注：此題是Lagrange定理的一個(gè)應(yīng)用.14.由改進(jìn)的類方程其中 從而注：此題由改進(jìn)的類方程和習(xí)題13證明.15.令；.注：此題由在中心化子的概念解答.16.含的共軛類為含17.(1)設(shè)H是G的子群,則時(shí)(2)注：根據(jù)Lagrange定理證明.18.設(shè),則即注：本題給出了群作用下同一個(gè)軌道上兩個(gè)元的穩(wěn)定化子(穩(wěn)定子群)之間的關(guān)系.19.注：直接根據(jù)Lagrange定理證明.20.設(shè)，取由，得與題設(shè)矛盾.故G在M上必有不動(dòng)元.注：本題條件p不整除M是必要的.第七節(jié) 循環(huán)群與交換群一、知識(shí)摘要1.G是群,aG.當(dāng)a的任意兩方冪皆不

35、相等時(shí),<a>=a-m,a-(m-1),a-1,a0=e,a,am-1,am,有無(wú)限多個(gè)元.當(dāng)a有兩個(gè)方冪相等時(shí),必存在正整數(shù)n,使<a>=a,a2,an-1,an=e,且其中任意兩個(gè)冪互不相同.此時(shí),稱a的階為n,記為o(a).當(dāng)G是有限群時(shí),有(1) o(a)即為<a>的階.從而o(a)|G|.(2) o(a)即為使an=e的最小正整數(shù)n.且ak=eo(a)|k.特別a|G|=e. 2.循環(huán)群G=<a>子群是循環(huán)群.(1)無(wú)限循環(huán)群<a>的子群除e之外都是無(wú)限群,且具有形式<as>,sZ+.(2) <a>是

36、n階循環(huán)群.對(duì)n的任意因子q,有且僅有一個(gè)q階子群.其形式為 .進(jìn)而, <a>的子群個(gè)數(shù)等于n的因子個(gè)數(shù).3.無(wú)限循環(huán)群都同構(gòu)與整數(shù)加群.兩個(gè)有限循環(huán)群同構(gòu)的充要條件是階相同.4.G是有限群，使G中所有元a都滿足at=e的最小正整數(shù)t,稱為G的方次數(shù)，記為exp(G). (1)有限交換群G中階最大的元的階即為exp(G). (2) 有限交換群G是循環(huán)群 exp(G)=|G|.5.域的乘法群的有限子群都是循環(huán)群.特別,有限域的乘法群是循環(huán)群.二、習(xí)題解答1. 設(shè)若由當(dāng)且僅當(dāng).注：此題關(guān)鍵是2. 則H是群且從而. 注：根據(jù)證明.3.設(shè)G有n階循環(huán)子群H=<a>, 則|a|=

37、n.反之,設(shè)a是中n階元，則|<a>|=n.(1) 設(shè)|G|=p,p是素?cái)?shù).則G中有非單位元的元g,從而|<g>|>1且|<g>|p=|G|,故|<g>|=p=|G|.即G=<g>.(2)G中元素的階是|G|的因子,故G中的非單位元的階只能為2,p,2p.若G有2p階元a,則G=<a>,與G為非交換群矛盾;若G的元全為2階元,由第1節(jié)習(xí)題9,G為交換群,這不可能.故G中必有p階元,即有p階子群. 注：根據(jù)Lagrange定理和第1節(jié)習(xí)題9證明.4.(1)由引理4,但(2)作,因g,h交換,是同態(tài).易見它是滿同態(tài).又,

38、故是雙射,因而是同構(gòu).設(shè)有故5.(1).故.(2)設(shè)(m,n)=d.則有l(wèi),q使lm+qn=d.于是有.又由注：掌握上兩題的結(jié)論.6.G的元素的階是|G|的因子.它的非單位元a的階是7.令.又注：由于G是交換群,直接驗(yàn)證.8. 因此有.再看設(shè),則即進(jìn)一步,又注：掌握此題結(jié)論.9.(1)由設(shè),即有(2)由又存在就有注：直接驗(yàn)證相互包含.第八節(jié) 正規(guī)子群與商群一、知識(shí)摘要1.K,L是群G的兩個(gè)非空子集.稱集合為K與L的集合乘積.2.N是群G的子群稱為正規(guī)子群,如果3.N是群G的正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)N對(duì)G的陪集的集合關(guān)于集合乘積構(gòu)成群.此時(shí),稱此群為G對(duì)N的商群.4.N是群G的子群,則下列等價(jià)(1) N

39、是群G的正規(guī)子群. (2) (3) (4) (5) (6) 5.群G自身和G的單位元群都是正規(guī)子群.若G除此之外再無(wú)其它正規(guī)子群,則稱G為單群.6.交換群的任意子群都是正規(guī)子群.特別 (1)整數(shù)加群Z對(duì)子群<n>(當(dāng)然是正規(guī)子群)的商群可表示為 (2)Fx是數(shù)域F上的多項(xiàng)式環(huán)的加法群.任取是數(shù)域F上的n次多項(xiàng)式.作Fx的(加法)子群當(dāng)然是正規(guī)子群.則Fx對(duì)子群的商群為二、習(xí)題解答 1.在中只有兩個(gè)左陪集.故皆為H在G中的補(bǔ)集,即知aH=Ha.這樣,.由命題1及正規(guī)子群的定義知H是G的正規(guī)子群.注：此時(shí)H,aH和H,Ha都是G的劃分.2.從而Z(G)是正規(guī)子群.3.取由于故不是正規(guī)子

40、群.H=是子群且在S3中的指數(shù)是2,由第1題,H是正規(guī)子群.注：證明群G的子群H是不是正規(guī)子群,只要證明4.易驗(yàn)證,V4是S4的子群.有故V4是S4的正規(guī)子群.注：群G的子群H是正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)5.令=Q:Q是F上n×n數(shù)量矩陣， 6.先證,2知由g的任意性,用g-1替代g,并用g-1Hig替代Hi,則有.再用g-1左乘兩端,以及用g右乘兩端就得到由Hi是G的正規(guī)子群.g-1Hig=Hi.就得是正規(guī)子群.注：群G的子群H是正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)7.首先對(duì),易知有.再由習(xí)題6證明中的第一部分,可得故是G的正規(guī)子群.8.設(shè)H是6階非交換群,我們可證明H是非交換群,故沒有6階元,它非交換, 由第

41、1節(jié)習(xí)題9,不能全是二階元,故有三階元b.K=<b>是三階群.H:K=2,故K是H的正規(guī)子群,且有陪集分解,這里a不屬于K .于是 可以斷言.否則由(K是正規(guī)子群)再證a2=e.若不然,則a為三階元.若建立雙射易驗(yàn)證此雙射保持乘法,故是同構(gòu).注：關(guān)鍵是說明任意6階非交換群H都有,同構(gòu)映射的建立也是一難點(diǎn).9.取 記由于10.容易驗(yàn)證也是G的子群且.|gHg-1|=|H|=n.由G只有一個(gè)n階子群,得到gHg-1=H.11.參見本節(jié)例2.12. (x2+1)1+(x2+1)x+(x2+1)(1+x)+(x2+1)(x2+1)(x2+1)1+(x2+1)x+(x2+1)(1+x)+(x

42、2+1)1+(x2+1)1+(x2+1)(x2+1)(1+x)+(x2+1)x+(x2+1)x+(x2+1)x+(x2+1)(1+x)+(x2+1)(x2+1)1+(x2+1)(1+x)+(x2+1)(1+x)+(x2+1)x+(x2+1)1+(x2+1)(x2+1)同法可寫出.13.反之設(shè)故，則.14.由第1節(jié)第6題的證明知.從而K是正規(guī)子群.由于.故.作映射 則是雙射且從而.注：在求得后,同構(gòu)映射的建立很自然.15.(1)任取 .故(2)的映射.對(duì)即，從而是群的同態(tài).(3) (4) 故：是有定義的.仍由(3)知,這是單射.又.注：根據(jù)相關(guān)概念直接證明.16.(1)(2)(3)令由(2)知,

43、與代表元的選擇無(wú)關(guān),即這映射是有定義的.仍由(2)知,它是單射.又是同態(tài). 顯然是滿射,故是同構(gòu).17.第6節(jié)14題知于是G/Z(G)是p階循環(huán)群.令的任何元素可寫成即相互交換,矛盾.故G為交換群.(1)G是p2階循環(huán)群.(2)G中非單位元皆為p階元.事實(shí)上，若G中有p2階元a,則G是p2階循環(huán)群.容易證明p2階循環(huán)群兩兩同構(gòu).下證明p2階非循環(huán)群（即非單位元皆為p階）也兩兩同構(gòu).設(shè)G，H都是p2階非循環(huán)群.由于G中非單位元皆為p階.取 ,而p階群<a>的真子群只有.此時(shí)作映射易知它是同態(tài).設(shè)得由于的象集是G的子群. 的象中有<a>及<b>,多于p個(gè)元.|G

44、|=p2,G只有階子群和G本身,故的象只能是G本身,這樣是滿射.綜上.同理,其中作映射易知它是同態(tài),設(shè)由知,故. 結(jié)論證畢.注：證明p2階非循環(huán)群兩兩同構(gòu)是本題難點(diǎn).18.設(shè) 注：此時(shí)19.由§7定理3,循環(huán)群H中的同階子群只有一個(gè).設(shè)K是H中q階子群,正規(guī),注：K是G的子群,則也是G的子群,且20.令O為正n邊形的中心,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),將它的頂點(diǎn)編號(hào)為A1,A2,，An,令過O，Ai的直線為易見,對(duì)故當(dāng)n為偶數(shù),仍將各頂點(diǎn)編號(hào)為中心記為O.記直線,記平面上繞O反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的變換為Ti,i=0,1,n-1.平面對(duì)則易知 故除了不與任何注：分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論.21.設(shè)反之,有.即

45、有注：證明相互包含.第九節(jié) n元交錯(cuò)群的單性一、知識(shí)摘要1.n元置換稱為k-輪換，如果且記,.1-輪換即為恒等置換,常記為(1)，2-輪換稱為對(duì)換.2.稱Sn中兩個(gè)輪換不相交,如果Sn中任意元都可表示成若干個(gè)互不相交的輪換的乘積.3.任意元置換都可表示為若干對(duì)換的乘積.且的每個(gè)這種表示法中對(duì)換的數(shù)目未必一致,但對(duì)換數(shù)目的奇偶性由唯一確定,與排列的逆序數(shù)的奇偶性一致.排列是奇(偶)排列時(shí)稱為奇(偶)置換. Sn中奇、偶置換的數(shù)目相等,都為是奇(偶)置換當(dāng)且僅當(dāng)能表示成奇(偶)個(gè)輪換的乘積.4.Sn中的所有偶置換組成Sn的一個(gè)正規(guī)子群,稱為n元交錯(cuò)群.記為An. Sn:An=2且An(n3)可由S

46、n中的全部3-輪換生成.5.An(n5)都是單群.二、習(xí)題解答1. .是.2.3.4.對(duì)n作歸納法,當(dāng)n=2時(shí)顯然成立.設(shè)n-1時(shí)已對(duì),即1,2,n-1的任一置換是(1,2),(1,3),(1 n-1)的乘積.對(duì)Sn的任一置換,它是輪換的乘積.我們只要證明任一輪換是(12),(13),(1 n)的乘積就行.對(duì)含文字n的輪換它等于的乘積表出故結(jié)論成立.這就完成了歸納法.即不難驗(yàn)證(1k)=(12)(23)(k-2 k-1)(k-1 k) (k-2 k-1) (23) (12)對(duì)k=3,4,n都成立,從而證畢.注：直接根據(jù)中元素的分解進(jìn)行證明.5.(1)求(12)在S7中的中心化子.設(shè)使=(12)

47、其中S2是文字1,2的置換群,S5是文字3,4,5,6,7的置換群.即(12)的中心化子是S2S5.類似地(3 4 5)的中心化子中的元 其中即(3 4 5)的中心化子是C3S4.(2)先證設(shè)是因而 .即當(dāng)且僅當(dāng),因此由于所在的共軛類中元素的數(shù)目為.（3）(12)(3 4 5)(6)的中心化子是故在S6中(12)(3 4 5)(6) 所在的共軛類中元素的數(shù)目6.H中全為偶置換,對(duì),仍為G中偶置換.故,即H是G的正規(guī)子群.又若G中還有奇置換,則H中皆為奇置換.且對(duì)G中任一奇置換.故中全部奇置換.由此注：當(dāng)G中還有奇置換時(shí),是無(wú)交并.7.考慮G在G上左乘的群作用,由§1的Cayley定理

48、,這是群G到G上置換群的同構(gòu).后者是2k個(gè)元的集合G上對(duì)稱群S2k的子群.因|G|=2k,故有(§1習(xí)題13).考慮g左乘G所對(duì)應(yīng)的置換.對(duì)任在a,ga這對(duì)元素上的作用構(gòu)成二輪換,即對(duì)換,令易知g在上的左乘作用仍封閉,用歸納法可知G的2k個(gè)元可逐個(gè)配對(duì)為并滿足即g在G上的左乘作用是k個(gè)對(duì)換的乘積.k是奇數(shù)，故g對(duì)應(yīng)奇置換.由習(xí)題6,G的左乘作用作成的置換群中有指數(shù)2的正規(guī)子群.注：根據(jù)Cayley定理和習(xí)題6證明.8.設(shè)就得再由, 9.按課文中的證明路線,只要證明A5的非平凡正規(guī)子群H中有三輪換.我們按H中置換的不動(dòng)元數(shù)目來(lái)進(jìn)行分析.H中有非單位元置換.若有四個(gè)不動(dòng)元,則另一個(gè)元也為

49、不動(dòng)元,它就是單位元,不可能.若有三個(gè)不動(dòng)元,則為對(duì)換或單位元.前者是奇置換,它不屬于H,這也不可能.若恰有兩個(gè)不動(dòng)元,它是偶置換,只能是三輪換,故H中有三輪換.現(xiàn)設(shè)最多有一個(gè)不動(dòng)元, 是偶置換,只能是五輪換, 或是兩個(gè)不相交的對(duì)換的乘積,它是,再作注：An的正規(guī)子群H若含有3-輪換,則H=An.10.假設(shè)A4有6階子群N,由|A4|=12知A4:N=2.由第8節(jié)習(xí)題1知, N是A4的正規(guī)子群.取S4中的任意3-循環(huán)(i1i2i3),假設(shè)(i1i2i3)N,則A4有陪集分解N, (i1i2i3)N且(i1i2i3)2(i1i2i3)N.即(i1i2i3)2N.又(1)=(i1i2i3)3得(i

50、1i2i3)-1=(i1i2i3)2N.N是子群知(i1i2i3)N,矛盾.即S4中的任意3-循環(huán)(i1i2i3)都含于N中,從而N= A4矛盾.注：運(yùn)用反證法,若A4有6階子群N,則N中必含所有3-循環(huán).11.在S4中,有著同類型輪換分解的置換組成一個(gè)共軛類.故S4中全部共軛類為:上述集合中只第1,第3,第4個(gè)集合是在A4中.是A4中的一個(gè)類.由于及皆滿足,而這兩個(gè)中必有一個(gè)為偶置換.故在A4中屬同一個(gè)類.又只有的循環(huán)排列,才滿足由于排列有相同奇偶性,因此,當(dāng)是1 2 3 4的偶排列時(shí),是偶置換使在A4中屬同一個(gè)類.同樣可證當(dāng)是1 2 3 4的奇排列時(shí)與(1 3 2)在一個(gè)類.故A4有四個(gè)共

51、軛類: 第十節(jié) 同態(tài)基本定理一、知識(shí)摘要1.G是群,N是G的正規(guī)子群,則映射作成G到商群的滿同態(tài),稱為G到商群的自然同態(tài).2.(同態(tài)基本定理) 設(shè)是群G到的滿同態(tài), 同態(tài)的核為則是G的正規(guī)子群且 3.在同構(gòu)意義下,群G的全部同態(tài)象就是G的全部商群.二、習(xí)題解答1.由§8習(xí)題13的證明可得,其中,.定義映射 .易驗(yàn)證.2.計(jì)算V4在S4中的全部陪集:作映射:易知這是雙射,又顯然是同態(tài),故是同構(gòu).另一法:考慮S4在上的共軛作用.于是S4到3.群G共軛作用于G自身是內(nèi)自同構(gòu),這就將群G映射到AutG之中.設(shè)此映射為,共軛作用決定是同態(tài).又當(dāng)G是非交換群時(shí),若AutG是循環(huán)群,則AutG的子

52、群(同構(gòu)意義下)也是循環(huán)群.由第8節(jié)18題,G是交換群,矛盾. 故AutG非循環(huán)群.注：根據(jù)同態(tài)基本定理證明.4. 5.每個(gè)絕對(duì)值為1的復(fù)數(shù)z可寫成記這種復(fù)數(shù)的乘法群.作映射這是同態(tài): ;若 因此6.(1).(2)令 再證 由于保持包含關(guān)系是明顯的.(3)即又若K是G的正規(guī)子群, 象于是間的滿射.由(2) 引起單射.故這映射也是雙射.(4)設(shè) 由此有(5) 7.(1) (2)第8節(jié)習(xí)題7已證是正規(guī)子群.(3) (4)(5)作映射由(1),由同態(tài)基本定理.其同構(gòu)映射是(6) 是同態(tài)核,當(dāng)然是G的正規(guī)子群,又當(dāng)然含于H中.且故G對(duì)此正規(guī)子群的指數(shù)等于的階，但是Sn的子群,其階是|S|=n!的因子.

53、8.設(shè)G的子群H滿足它需為!的因子,則因此這證明了是正規(guī)子群.注：由上題,只要證.第十一節(jié) 軌道數(shù)的定理及其在計(jì)數(shù)問題中的應(yīng)用一、知識(shí)摘要Burnside定理 設(shè)有限群G作用于有限集M上.對(duì)gG,令M中被g固定的元素(g的不動(dòng)元)的集合為Fix(g),則M在G的作用下的軌道數(shù)是二、習(xí)題解答1.不妨把六個(gè)珠子放在手鐲上的一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)上.把繞O旋轉(zhuǎn)0º,60º,120º,180º,240º,300º的變換記為T0,T1,T2,T3,T4,T5把平面對(duì)直線的反射變換記為它們組成正六角形的對(duì)稱性群G.把六個(gè)珠子所有允許的串法(只許黑、白

54、兩色)組成集合M,手鐲經(jīng)旋轉(zhuǎn)T0,T1,T2,T3,T4,T5把一種串法變成另一種串法,這兩種串法當(dāng)然構(gòu)成同一式樣.而用六種反射之一將一種串法變成另一種串法相當(dāng)于從背面去看手鐲,這仍然構(gòu)成同一式樣.因此集合M中在群G作用下屬同一軌道的串是同一式樣.故手鐲的式樣數(shù)等于M在G作用下的軌道數(shù).下面計(jì)算G的每個(gè)元在M上的不動(dòng)點(diǎn)數(shù).與課文中的例1類似可算出:T0固定M中64種串法,T1.T5固定全黑,全白兩種串法,T3固定的串法中,頂點(diǎn)1,4上,頂點(diǎn)2,5上,頂點(diǎn)3,6上顏色相同.共有8種串法.T2,T4固定的串法中,頂點(diǎn)1,3,5上,頂點(diǎn)2,4,6上顏色相同.共有4種串法S1能固定的串法中頂點(diǎn)2,6上,頂點(diǎn)3,5上有相同顏色,頂點(diǎn)1,4上可任取顏色.共16種串法.同樣地,S2,S3也固定16種串法.R1能固定的串法中,頂點(diǎn)1,2上,頂點(diǎn)3,6上,頂點(diǎn)4,5上有相同顏色.共8種串法.同樣R2,R3也固定8種串法.由Burnside定理,M在群G作用下的軌道數(shù)也即在允許串法下手鐲的式樣數(shù)為.2.正四面體的對(duì)稱性群是頂點(diǎn)上的全體置換的群S4.令正四面體頂點(diǎn)上全體允許的著色法的集合為M.下面計(jì)算S4的各置換在M中的不動(dòng)點(diǎn)數(shù).恒等置換(1)固定M中每種著色法.因每個(gè)頂點(diǎn)