工程力學(xué)位移分析與剛度設(shè)計(jì)

1、1291 桿件的拉壓變形桿件的拉壓變形 第九章第九章 位移分析與剛度設(shè)計(jì)位移分析與剛度設(shè)計(jì)9-4 9-4 簡(jiǎn)單超靜定問題簡(jiǎn)單超靜定問題 92 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形圓軸的扭轉(zhuǎn)變形 93 梁的彎曲變形梁的彎曲變形3一、變形特點(diǎn)一、變形特點(diǎn)91 91 桿件的拉壓變形桿件的拉壓變形桿件在軸向拉壓時(shí)：桿件在軸向拉壓時(shí)： 沿軸線方向產(chǎn)生伸長(zhǎng)或縮短沿軸線方向產(chǎn)生伸長(zhǎng)或縮短縱向變形縱向變形 橫向尺寸也相應(yīng)地縮小或增大橫向尺寸也相應(yīng)地縮小或增大橫向變形橫向變形拉伸拉伸變細(xì)變長(zhǎng)變細(xì)變長(zhǎng)壓縮壓縮變短變粗變短變粗491 91 桿件的拉壓變形桿件的拉壓變形縱向變形縱向變形 l=l1- l ，拉伸時(shí)，拉伸時(shí)00，壓縮時(shí)，壓縮時(shí)

2、00；橫向變形橫向變形 b=bb=b1 1- b- b，拉伸時(shí)拉伸時(shí)000?？v向線應(yīng)變縱向線應(yīng)變 e = Dl / l ，橫向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變 e = Db / b二、線應(yīng)變二、線應(yīng)變拉伸拉伸變細(xì)變長(zhǎng)變細(xì)變長(zhǎng)壓縮壓縮變短變粗變短變粗5三、泊松比三、泊松比在比例極限內(nèi)在比例極限內(nèi) | | e e / e / e | = | = m m ，或或 e e = - = - m em e ；m m 是隨材是隨材料而定的彈性常數(shù)，無量綱，一般料而定的彈性常數(shù)，無量綱，一般 0 0 m m 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) 028 由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎

3、矩的符號(hào)與撓曲線的二階由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致，所以導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致，所以撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為：zMyEI = 由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。對(duì)于等截面直梁，可寫成如下形式：對(duì)于等截面直梁，可寫成如下形式：zEI yM =291、計(jì)算方法計(jì)算方法 (設(shè)設(shè) EI 為常數(shù)為常數(shù))()EIyMEIyMdxCEIyMdx dxCxD = =C、D是由梁的是由梁的光滑光滑決決定的積分常數(shù)的積分常數(shù)三、積分法求彎曲變形2、梁的邊界條件、梁的邊界條件梁的某些截面的撓度或轉(zhuǎn)角有時(shí)是已知的。

4、梁的某些截面的撓度或轉(zhuǎn)角有時(shí)是已知的。30AAAAAAAAAAAAAAAAAA0= =Ay0= =Ay0= =A D D= =Ay邊界條件邊界條件 彈簧變形彈簧變形D D313 3、梁的變形連續(xù)性條件、梁的變形連續(xù)性條件撓曲線是連續(xù)光滑的曲線撓曲線是連續(xù)光滑的曲線即：在撓曲線的任一點(diǎn)撓度即：在撓曲線的任一點(diǎn)撓度 v v 有唯一確定的值有唯一確定的值( (連續(xù)連續(xù)) ) 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角vv( ( ) ) 亦有唯一確定的值亦有唯一確定的值( (光滑光滑) )。32光滑連續(xù)條件：光滑連續(xù)條件：PC-=cc-=ccvv33CCyy-=-=CCCC=左右 yCCy=左右或 寫 成0Dy=0D=固定端固定端PD

5、0Ay=0By=鉸支座鉸支座PABC34右左CCff=鉸連接鉸連接PACB在中間鉸處，撓曲線是連續(xù)而不光滑的在中間鉸處，撓曲線是連續(xù)而不光滑的35 積分法求梁變形積分法求梁變形 適用于小變形、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲適用于小變形、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲 可應(yīng)用于各種載荷的等截面或變截面梁的位移可應(yīng)用于各種載荷的等截面或變截面梁的位移 積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、 連續(xù)條件）確定連續(xù)條件）確定 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)使用范圍廣，精確；使用范圍廣，精確； 缺點(diǎn)缺點(diǎn)計(jì)算較繁計(jì)算較繁36 積分法求梁變形的基本步驟：積分法求梁變形的基本步驟

6、： 寫出彎矩方程；若彎矩不能用一個(gè)函數(shù)給出要分寫出彎矩方程；若彎矩不能用一個(gè)函數(shù)給出要分 段寫出段寫出 由撓曲線近似微分方程，由撓曲線近似微分方程，積分出轉(zhuǎn)角、撓度函數(shù)積分出轉(zhuǎn)角、撓度函數(shù) 利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù) 如果分如果分 n 段寫出彎矩方程，則有段寫出彎矩方程，則有 2 n 個(gè)積分常數(shù)個(gè)積分常數(shù)zMyEI =37求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，梁的求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，梁的EIEI已知，已知，l=a+b。解解1 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx= = = =,02 2）彎矩方程）彎矩方程 axxlFb

7、xFxMAy = = =11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy - - -= =- - -= =222222),()(CB CB 段：段：maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB例題例題9 96 6383 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分112112)(xlFbxMdxydEI= = =1211112)(CxlFbxEIdxdyEI = = = 1113116DxCxlFbEIy = =AC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI- - -= = =2222222)(22)(2CaxF

8、xlFbxEIdxdyEI - - -= = = 2223232)(662DxCaxFxlFbEIy - - -= =CB CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB394 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)0)(,22= = =lylx0)0(, 011= = =yx代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件)()(,2121aaaxx = = = =)()(,2121ayayaxx= = = =lFbFblCC661321 - -= = =021= = = DDmaxyab1x2xACDFxAyFByFAByB40

9、5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程)(6222211bllFbxlFbEI- - -= = 12231)(661xbllFbxlFbEIy- - -= =AC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI-=22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIy-=CB CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB41在簡(jiǎn)支梁中在簡(jiǎn)支梁中, , 不論它受什么荷載作用不論它受什么荷載作用, , 只要撓曲線上無只要撓曲線上無 拐點(diǎn)拐點(diǎn), , 其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來代替其最大撓度值都可用梁跨中

10、點(diǎn)處的撓度值來代替, , 其精確度是能滿足工程要求的其精確度是能滿足工程要求的. .對(duì)各段梁，如果是由坐標(biāo)原點(diǎn)到所研究截面之間的梁段對(duì)各段梁，如果是由坐標(biāo)原點(diǎn)到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的。所以后一段梁的彎矩方程包上的外力來寫彎矩方程的。所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程。只增加了（含前一段梁的彎矩方程。只增加了（x-a）的項(xiàng)。）的項(xiàng)。對(duì)（對(duì)（x-a）的項(xiàng)作積分時(shí)，應(yīng)該將（）的項(xiàng)作積分時(shí)，應(yīng)該將（x-a）項(xiàng)作為積分）項(xiàng)作為積分變量。從而簡(jiǎn)化了確定積分常數(shù)的工作。變量。從而簡(jiǎn)化了確定積分常數(shù)的工作。簡(jiǎn)化計(jì)算小技巧42三、三、疊加法求彎曲變形疊加法求彎曲變形 梁在若干個(gè)載荷

11、共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲計(jì)算彎曲變形的疊加原理變形的疊加原理。 疊加原理是線性原理，在材料力學(xué)中應(yīng)用的條件是疊加原理是線性原理，在材料力學(xué)中應(yīng)用的條件是(1)(1)小變形，小變形，(2)(2)線彈性線彈性)()()()(221121nnnPPPPPP = = 121122()( )()()nnny PPPy Py Py P=1、載荷疊加、載荷疊加 常見簡(jiǎn)單梁的變形已計(jì)算列表，這是載荷疊加法的基礎(chǔ)。常見簡(jiǎn)單梁的變形已計(jì)算列表，這是載荷疊加法的基礎(chǔ)。

12、 ( 見見 P123 表表 92 梁在簡(jiǎn)單載荷作用下的變形梁在簡(jiǎn)單載荷作用下的變形 )43444546已知簡(jiǎn)支梁受力如圖示，已知簡(jiǎn)支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求均為已知。求C C 截面的撓度截面的撓度yC ；B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B例題例題9 97 7471 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解321CCCCyyyy = =321BBBB=482 2）查表得）查表得3 3種情形下種情形下C截面的撓度和截面的撓度和B截面的截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角。EIqlB2431=3216BqlEI=EIqlB333-=EIqlyC384541-=EIqlyC4842-=EIqlyC1643=493 3）

13、 應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和荷作用時(shí)的結(jié)果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC=-=)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB-=-=50已知：懸臂梁受力如圖示，已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。均為已知。求求C截面的撓度截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C1 1）首先，將梁上的）首先，將梁上的載荷變成有表可查的載荷變成有表可查的情形情形 為了利用梁全長(zhǎng)承為了利用梁全長(zhǎng)承受均布載荷的已知結(jié)果，受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為了不改

14、變?cè)娜L(zhǎng)，為了不改變?cè)瓉磔d荷作用的效果，在來載荷作用的效果，在AB AB 段還需再加上集度段還需再加上集度相同、方向相反的均布相同、方向相反的均布載荷。載荷。 Cy例題例題9 98 851Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC- -= =,248128234222lEIqlEIqllyyBBC = = = = EIqlC631-=EIqlC4832= = EIqlyyiCiC38441421-=3 3）將結(jié)果疊加）將結(jié)果疊加 EIqliCiC487321-=2）再將處理后的梁分解）再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各自計(jì)算各自C截面的撓度和截面的撓度和轉(zhuǎn)角

15、轉(zhuǎn)角。 522 2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：此法適用于非基本結(jié)構(gòu)的梁此法適用于非基本結(jié)構(gòu)的梁53結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價(jià)等價(jià)21fff=fPL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCM54例題例題9 99 9練習(xí)冊(cè)練習(xí)冊(cè) 9-12 求圖示變截面梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。求圖示變截面梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。FI1I2l1l2題9-12圖55四、梁的剛度條件：四、梁的剛度條件：maxmax yy y、是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工

16、作時(shí)的要求。件正常工作時(shí)的要求。569 94 4 簡(jiǎn)單的超靜定問題簡(jiǎn)單的超靜定問題一、超靜定（靜不定）問題概述一、超靜定（靜不定）問題概述1、超靜定問題、超靜定問題：?jiǎn)螒{靜平衡方程不能確定出全部未知力單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力 的問題。的問題。57兩桿桁架變成三桿桁架，兩桿桁架變成三桿桁架，3 3個(gè)未知力個(gè)未知力2 2個(gè)獨(dú)立的平衡方個(gè)獨(dú)立的平衡方程，僅靠靜力學(xué)知識(shí)無法求解程，僅靠靜力學(xué)知識(shí)無法求解CPABD123CPAB12582.超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)未知力總數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)未知力總數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)：獨(dú)立平衡方程數(shù)：平面任意力系：平面任意力系：3 3個(gè)獨(dú)立的平衡方程個(gè)獨(dú)立

17、的平衡方程平面匯交力系：平面匯交力系：2 2個(gè)個(gè)獨(dú)立的獨(dú)立的平衡方程平衡方程平面平行力系：平面平行力系：2 2個(gè)獨(dú)立平衡方程個(gè)獨(dú)立平衡方程共線力系：共線力系：1 1個(gè)獨(dú)立平衡方程個(gè)獨(dú)立平衡方程3.3.為什么要用超靜定結(jié)構(gòu)為什么要用超靜定結(jié)構(gòu)抗失效能力強(qiáng)，提高安全工作性能抗失效能力強(qiáng)，提高安全工作性能594 4、超靜定問題的解決方法、超靜定問題的解決方法：補(bǔ)充補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)（幾何）方程變形協(xié)調(diào)（幾何）方程建立建立本構(gòu)（或物理）方程本構(gòu)（或物理）方程予以溝通予以溝通結(jié)合結(jié)合平衡方程平衡方程聯(lián)立求解聯(lián)立求解二、拉壓超靜定二、拉壓超靜定60例題例題9 91010兩端固定的等直桿AB,橫截面面積為A，彈性

18、模量為E,在C點(diǎn)處承受軸向力P的作用，如圖所示，求兩端的約束力61例題例題9 91010兩端固定的等直桿AB,橫截面面積為A，彈性模量為E,在C點(diǎn)處承受軸向力P的作用，如圖所示，求兩端的約束力解解1 1、列平衡方程、列平衡方程 0 1ABRRP-=2 2、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系 2ACBCllD= D3 3、物理關(guān)系、物理關(guān)系A(chǔ)ACR alEAD= 3BBCR blEAD=4 4、補(bǔ)充方程、補(bǔ)充方程 4ABR bR b=5 5、方程、方程(1)(4)(1)(4)聯(lián)立得聯(lián)立得 ABPbPaRRabab=62例題例題9 911111 1、列獨(dú)立的平衡方程、列獨(dú)立的平衡方程120sinsin0

19、xNNFFF=-=1302cos0yNNFFFF=-=2 2、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系1lD2lD3lDcos321lllD=D=D3 3、物理關(guān)系、物理關(guān)系cos11EAlFlN=DEAlFlN33=D4 4、補(bǔ)充方程、補(bǔ)充方程coscos31EAlFEAlFNN=231cosNNFF=5 5、求解方程組得、求解方程組得3221cos21cos=FFFNN33cos21=FFN解解631.1.基本概念：基本概念：超靜定梁：超靜定梁：未知力數(shù)目大于獨(dú)立平衡方程數(shù)目的梁未知力數(shù)目大于獨(dú)立平衡方程數(shù)目的梁 兩者數(shù)目的差稱為兩者數(shù)目的差稱為超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)。 多余約束：多余約束：從維持平衡角度

20、而言從維持平衡角度而言, ,多余的約束。多余的約束。相當(dāng)系統(tǒng)：相當(dāng)系統(tǒng)：在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到 受力和變形與靜不定梁完全相同的相當(dāng)系統(tǒng)。受力和變形與靜不定梁完全相同的相當(dāng)系統(tǒng)。 6-5三、彎曲超靜定三、彎曲超靜定靜定基：靜定基：指將靜不定梁上的多余約束除去后所得到的指將靜不定梁上的多余約束除去后所得到的 “ “靜定基本系統(tǒng)靜定基本系統(tǒng)”。 646-52.2.求解方法（變形比較法）求解方法（變形比較法）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件。解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件。 由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程由物理

21、關(guān)系建立補(bǔ)充方程求解多余約束力。求解多余約束力。利用靜力平衡條件求其他約束力利用靜力平衡條件求其他約束力解題方法關(guān)鍵是比較相當(dāng)系統(tǒng)與原超靜定系統(tǒng)在多余約束處解題方法關(guān)鍵是比較相當(dāng)系統(tǒng)與原超靜定系統(tǒng)在多余約束處的變形，由此寫出變形協(xié)調(diào)條件，的變形，由此寫出變形協(xié)調(diào)條件，進(jìn)而得到求解靜不定問題進(jìn)而得到求解靜不定問題所需的補(bǔ)充方程。所需的補(bǔ)充方程。因此，稱為因此，稱為變形比較法變形比較法 65例題例題9 91111已知圖中所示梁的抗彎剛度為已知圖中所示梁的抗彎剛度為 EI EI ，求約束力，求約束力66 解：將支座解：將支座B看成看成多余約束，變形協(xié)調(diào)多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：條件為：0By =即R lEIqlEIB34380-=RqlB=3867 按懸臂梁的靜力平衡方按懸臂梁的靜力平衡方程求出該梁固定端的程求出該梁固定端的兩個(gè)約束力為兩個(gè)約束力為qlRA85= =qlmA281= =MAAR68 變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：A= 0即M lEIqlEIA32403-=MqlA=18269幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程：解：建立相當(dāng)系統(tǒng)BBBqBRBC