慣性矩計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式

1、慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式截面圖形的幾何性質(zhì)一 . 重點(diǎn)及難點(diǎn)：（ 一 ）. 截面靜矩和形心1.靜矩的定義式如圖 1 所示任意有限平面圖形，取其單元如面積 dA ，定義它對(duì)任意軸的一次矩為它對(duì)該軸的靜矩，即dSy xdAdSx ydA整個(gè)圖形對(duì) y、 z 軸的靜矩分別為SyxdAyASx ydAAI-1)2.形心與靜矩關(guān)系圖 I-1設(shè)平面圖形形心 C 的坐標(biāo)為 yC ,zC 則 0SxSyxAI-2)推論 1 如果 y軸通過形心（即 x 0），則靜矩 Sy 0 ；同理，如果 x 軸通過形心（即 y 0），則靜矩 Sx 0 ；反之也成立。推論 2 如果 x、y 軸均為圖形的對(duì)稱軸，

2、則其交點(diǎn)即為圖形形心；如果y 軸為圖形對(duì)稱軸，則圖形形心必在此軸上。3.組合圖形的靜矩和形心設(shè)截面圖形由幾個(gè)面積分別為 A1,A2,A3An的簡單圖形組成， 且一直各族圖形的形心坐標(biāo)分別為 x1,y1；x2,y2；x3,y3，則圖形對(duì) y 軸和 x 軸的靜矩分別為SySyii1Aixii1nnI-3)SxSxii1Aiyii1截面圖形的形心坐標(biāo)為nAixii1nAii1Aiyii1Aii1I-4)4.靜矩的特征（1）界面圖形的靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸所定義的， 故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)。（2）靜矩有的單位為 m3（3）靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可為零。圖形對(duì)任意形心軸的靜矩必定 為零，反之，若圖形對(duì)某一軸的靜

3、矩為零， 則該軸必通過圖形的形心。（4）若已知圖形的形心坐標(biāo)。 則可由式 （ I-1）求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。 若已知圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩，則可由式（ I-2）求圖形的形心坐標(biāo)。組 合圖形的形心位置，通常是先由式（ I-3）求出圖形對(duì)某一坐標(biāo)系的靜 矩，然后由式（ I-4）求出其形心坐標(biāo)。二） .慣性矩 慣性積 慣性半徑1. 慣性矩定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為 A（圖 I-3），則圖形對(duì) O 點(diǎn)的極 慣性矩定義為I p A 2dA（I-5 ）圖形對(duì) y 軸和 x 軸的光性矩分別定義為Iy Ax2dA ，Ix A y2dA（I-6）慣性矩的特征（1）界面圖形的極慣性矩是對(duì)某一極點(diǎn)定義的； 軸慣

4、性矩是對(duì)某一坐 標(biāo)軸定義的。2）極慣性矩和軸慣性矩的單位為 m43）極慣性矩和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值。4）圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩的數(shù)值， 恒等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為坐標(biāo)原I-7)點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即2 2 2I p A 2dA A(x2 y2)dA I y Ix5）組合圖形（圖 I-2）對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩，分別等于各族紛紛圖形對(duì)同一點(diǎn)的極慣性矩或同一軸慣性矩之和，nnI xiI-8)i1IyIii1I yi ， Ixi12. 慣性積定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為 A（圖 I-3），則圖形對(duì) y 軸和x 軸的慣性積定義為I xy A xydA（I-9）

5、慣性積的特征（1）界面圖形的慣性積是對(duì)相互垂直的某一對(duì)坐標(biāo)軸定義的。（2）慣性積的單位為 m4 。（3）慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能等于零。若一對(duì)坐標(biāo)周中有 一軸為圖形的對(duì)稱軸， 則圖形對(duì)這一對(duì)稱軸的慣性積必等于 零。但圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，這一對(duì)坐標(biāo)軸重 且不一定有圖形的對(duì)稱軸。（4）組合圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積， 等于各組分圖形對(duì)同一 坐標(biāo)軸的慣性積之和，即nI xyI xyi（ I-10）i13. 慣性半徑定義： 任意形狀的截面圖形的面積為 A （圖 I-3 ）,則圖形對(duì) y 軸 和x 軸的慣性半徑分別定義為ixI-11)慣性半徑的特征（1）慣性半徑是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的（2）

6、慣性半徑的單位為 m。（3）慣性半徑的數(shù)值恒取證之。 三） .慣性矩和慣性積的平行移軸公式I-12)平行移軸公式I xy I xCyC abA（I-13）I xI xCI yI yCa2Ab2A平行移軸公式的特征（1）意形狀界面光圖形的面積為 A （圖（ I-4 ）； xC，yC 軸為圖形的形心軸；x，y軸為分別與 xC， yC形心軸相距為 a和 b的平行軸。（2）兩對(duì)平行軸之間的距離 a和 b的正負(fù)，可任意選取坐標(biāo)軸 x，y 或 形心 xC ， yC 為參考軸加以確定。（3）在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小，但 圖形對(duì)形心軸的慣性積不一定是最小。x（ 四 ） 、慣性矩和慣

7、性積的轉(zhuǎn)軸公式 轉(zhuǎn)軸公式. 主慣性軸主慣性矩x1I x I y cos22I xy sin2I y1Ix2I y cos2I xy sin2I x1y1Ix I y sin22I xy cos2轉(zhuǎn)軸公式的特征(1)角度 的正負(fù)號(hào)，從原坐標(biāo)軸 x,y 轉(zhuǎn)至新坐標(biāo)軸 x1,y1 ，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向者為正（圖 5）。(2)原點(diǎn) O為截面圖形平面內(nèi)的任意點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸公式與圖形的形心無關(guān)。圖形對(duì)通過同一坐標(biāo)原點(diǎn)任意一對(duì)相互垂直坐標(biāo)軸的兩個(gè)軸慣 性矩之和為常量，等于圖形對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩，即I x I y I x1 I y1 I P主慣性軸、主慣性矩 任意形狀截面圖形對(duì)以某一點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐 標(biāo)軸 x0、 y0

8、的慣性積為零（ Ix0y0 0），則坐標(biāo)軸 x0、 y0稱為圖形通過點(diǎn) O的主慣性軸（圖 6） 。截面圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩 I x0 , I y0 ，稱為 主慣性矩。主慣性軸、主慣性矩的確定（1） 對(duì)于某一點(diǎn) O，若能找到通過點(diǎn) O 的圖形的對(duì)稱軸，則以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，并包含對(duì)稱軸的一隊(duì)坐標(biāo)軸，即為圖形通過點(diǎn) O 的一對(duì)主慣性軸。 對(duì)于具有對(duì)稱軸的圖形 （或組合圖形），往往 已知其通過自身形心軸的慣性矩。于是，圖形對(duì)通過點(diǎn) o 的主 慣性軸的主慣性矩，一般即可由平行移軸公式直接計(jì)算。（2） 若通過某一點(diǎn) o 沒有圖形的對(duì)稱軸，則可以點(diǎn) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 任作一坐標(biāo)軸 x ，y 為參考軸，

9、并求出圖形對(duì)參考軸 x，y 的慣性矩 Ix,I y和慣性積 I xy 。于是， 位及主慣性矩分別為2I xytan2 0 xyI x Iy2I x0 I x I yIx I yI2I y0 22xy主慣性軸、主慣性矩的特征圖形通過點(diǎn) o 的一對(duì)主慣性軸方（I-16 ）（I-17）（ 1）圖形通過某一點(diǎn) O至少具有一對(duì)主慣性軸， 而主慣性局勢 圖形對(duì)通過同一點(diǎn) O所有軸的慣性矩中最大和最小。（ 2）主慣性軸的方位角 0 ，從參考軸 x，y 量起，以逆時(shí)針轉(zhuǎn) 向?yàn)檎?）若圖形對(duì)一點(diǎn) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)的兩主慣性矩相等， 則通過點(diǎn)o 的所有軸均為主慣性軸，且所有主慣性矩都相同。（ 4）以截面圖形形心為

10、坐標(biāo)原點(diǎn)的主慣性軸， 稱為形心主慣性軸。圖形對(duì)一對(duì)形心主慣性軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩。x圖 I-5圖 I-6二.典型例題分析例 I-a 試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的 x 軸的靜矩。解：計(jì)算此截面對(duì)于 x 軸的靜矩 Sx時(shí)，可以去平行于 x 軸的狹長條 （見圖）作為面例題 I-a 圖解題指導(dǎo) ：此題為積分法求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。積元素（因其上各點(diǎn)的 y坐標(biāo)相等），即dA b（y）dy 。由相似三角形關(guān)系，可知b(y) bh(hy） ,因此有 dA b（h y）dy。將其代入公式（ I-1）的第二式，即得 hSxA ydA2 h b h b h 2bh20 h(h y)dy b 0

11、ydy h 0 y2dy6例 I-2 試確定圖示 -b 截面形心 C 的位置解：將截面分為 ?、 兩個(gè)矩形。為計(jì)算方便，取x 軸和 y 軸分別與界面的底邊Ai 和形心坐標(biāo)xi,yi ）如下：例 I-3 試求圖 I-c 所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x 軸的慣性矩 I矩形 ?A1012021200 mm10120x5mm，y60mm22矩形 A10702700mm27010x1045mm，y5mm22和左邊緣重合（見圖）先計(jì)算每一個(gè)矩形的面積將其代入公式（ I-4），即得截面形心 C 的坐標(biāo)為A xAx37500x20mmAA1900A yAy75500y40mmAA1900解題指導(dǎo) ： 此題是將不規(guī)則圖形

12、劃分為兩個(gè)規(guī)則圖形利用已有的規(guī)則圖形的面積和形心， 計(jì)算不規(guī)則圖形的形心。y10?120·xy10xx80圖-b解：此截面可以看作有一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓形組成。 設(shè)矩形對(duì)于 x 軸的慣性矩為Ix ，每一個(gè)半圓形對(duì)于 x 軸的慣性矩為 Ix ，則由公式（ I-11）的第一式可知，所給截面的慣性矩：Ix I x 2I x（1）矩形對(duì)于 x 軸的慣性矩為：d(2a)31280 200312445330 104 mm42）半圓形對(duì)于 x 軸的慣性矩可以利用平行移軸公式求得。 為此，先求出每個(gè)半圓形 對(duì)于與 x 軸平行的形心軸 xC（圖 b）的慣性矩 IxC 。已知半圓形對(duì)于其底邊的慣性矩為圓形

13、對(duì)其直徑軸 x （圖 b）的慣性據(jù)之半，即Ixd4。128而半圓形的面積為Ad2其形心到底邊的距離為2d （圖 b）。故由平行移軸公式（ I-10a），3可以求出每個(gè)半圓形對(duì)其自身形心軸 xC 的慣性矩為：42IxC Ix (32d)2 A 1d284 (32d)2 d823）由圖 a可知，半圓形形心到 x 軸距離為2d ，故在由平行移軸公式， 求得每個(gè)半圓形對(duì)于 x 軸的慣性矩為：Ix I xC (a23d)2 A 12d8 (23d)2 d83 128 3 8(a2d 2 d 223d)2 d822dd(4 32a2 2ad)2 3a )將 d=80mm、a=100mm圖 a）代入式4），即得Ix2 2 2(80)2