薄壁箱梁畸變理論

1、12 薄壁箱梁的畸變理論n畸變荷載n用靜力平衡法推導(dǎo)直腹板箱梁畸變微分方程n用能量變分法推導(dǎo)斜腹板箱梁的畸變微分方程n畸變微分方程的邊界條件及其求解方法n小結(jié)n本章參考文獻(xiàn) 畸變是伴隨扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的，由于畸變的存在，截面發(fā)生翹曲而在縱向產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力 和翹曲剪應(yīng)力 ，同時(shí)在橫向還產(chǎn)生橫向框架應(yīng)力DD畸變荷載 箱形梁在偏心荷載作用下會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)，能引起這種變形的荷載不外乎是豎直偏心荷載、水平偏心荷載和在自重作用下由于支點(diǎn)傾側(cè)（所謂三條腿）產(chǎn)生的扭矩等三種荷載。這三種荷載都可以通過荷載分解得到剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載。 (1) 直腹板箱梁 如下圖所示的豎向反對(duì)稱荷載為 ，經(jīng)荷載分解所得的剛性扭

2、轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載 vPhbVhbPHPVdvdvd11122hbVhbPHPVdvdvd11122豎向反對(duì)稱荷載的分解 圖所示的水平向偏心荷載 ，設(shè)其與截面扭轉(zhuǎn)中心的距離為 ，則按力學(xué)原理。扭矩 可用角點(diǎn)反對(duì)稱荷載PdPdhdPPH來代替。經(jīng)分解后得到剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載為hbVhbPHPVdvdvd11122 水平荷載的分解 對(duì)于圖所示的簡支梁一個(gè)支座脫空后的三條腿支承，經(jīng)分解后其剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載為hbVhRbHRVddd33344 三條腿支承箱梁（2） 斜腹板箱梁如圖所示的斜腹板箱梁上承受反對(duì)稱角點(diǎn)荷載，經(jīng)分解后也可得到剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載。在假定剪應(yīng)力沿板厚均勻分布下，箱梁中剪

3、力流為hbbbPhbbMMqvKK12112222),(斜腹板箱梁豎向反對(duì)稱載的分解 剛性扭轉(zhuǎn)荷載：hbbbbPPaahbbabPPPhbbbPPvvv)()()()(122123112113112214 畸變荷載：hbbbbPPhbbbaPPPhbbbPPvvv)()()(1221212213112224用靜力平衡法推導(dǎo)直腹板箱梁畸變微分方程（1） 基本假定 畸變荷載是一組自相平衡的力系，因而由畸變變形產(chǎn)生的內(nèi)力也是自相平衡的。箱形梁畸變時(shí)，產(chǎn)生了兩種畸變變形：橫向，組成箱形梁的各板元產(chǎn)生了垂直于自身平面的位移一畸變橫向撓曲；縱向，因各板元橫向撓曲而產(chǎn)生了相應(yīng)的與梁軸線方向平行的翹曲位移畸變

4、翹曲。前者受到了箱形梁橫向框架剛度的抵抗，而后者則受到了箱形梁翹曲剛度的抵抗分析時(shí)，將箱形梁畸變的兩種變形及其相應(yīng)的力系分開考慮。把相應(yīng)于畸變橫向撓曲的內(nèi)外力稱為板元的平面外力系；1h2hv相應(yīng)于畸變翹曲的內(nèi)外力稱為各板元的平面內(nèi)力系。用以計(jì)算畸變位移的物理量如圖所示，角點(diǎn)位移為 及 ，若令1h2hv221hhh箱梁、畸變荷截與畸變位移則得到畸變角 與畸變位移的關(guān)系為DhbhvvhD22此畸變角是畸變分析唯一獨(dú)立變量此外，在結(jié)構(gòu)分析中還假定：組成箱形梁的各板沿自身平面的撓曲滿足平截面假定，可應(yīng)用初等梁理論計(jì)算其撓度和撓曲應(yīng)力；翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布。（2） 各板元平面內(nèi)力系分析沿縱向

5、從箱形梁中取出的一微段單元，并把截?cái)嗵幱孟鄳?yīng)的內(nèi)力代替，如下圖所示。根據(jù)平截面假定，箱梁截面的翹曲應(yīng)力可視為各板元平面內(nèi)的撓曲應(yīng)力，并沿周邊直線變化，如圖a)所示。令 為翹曲應(yīng)力，由于翹曲應(yīng)力在截面內(nèi)自相平衡，故應(yīng)滿足以下條件D0d0d0dsysxsDDD平面內(nèi)平 衡條件式各板元平面內(nèi)力系 a)翹曲應(yīng)力 b)各板元平面內(nèi)力系D因截面對(duì)稱于 軸，而應(yīng)力反對(duì)稱于 軸，所以平衡條件式的第一、三式自然滿足，并且上、下板中點(diǎn)處的翹曲應(yīng)力為零。令左腹板頂點(diǎn)翹曲應(yīng)力 與底點(diǎn)翹曲應(yīng)力之比為 ，根據(jù)平衡條件式第二式得yyDADBD3131323233hbhbDBDADbb11bb22令 ，31311hb3232

6、2hb則 332D各板元平面內(nèi)彎矩和剪力如圖b)所示，根據(jù)各板元在其自身平面內(nèi)的受力平衡條件，可以得到下列公式頂板：由 、 得 00M 0X111d1QdzMbTxDxAdqqHzQdd1令 則得xDxAxqqqxdqHzQdd1底板：由 、 得 00M 0X222dd1QzMbTxdqHzQdd2左腹板：由 、 得 00M 0Y0dd2)(3321QzMhTTyByAdqqVzQdd3 令 則得yByAyqqqydqVzQdd3消去T1，T2有0dddd2dddddd2dd233222212232zQzQbhzQzMzMbhzM而xdqHzQzQ22dddd21再消去Qi并整理得0dddd2

7、dd222212232bhqqbhHVzMzMbhzMxydd由于角點(diǎn)處頂板與腹板、底板與腹板具有相同的翹曲應(yīng)力。根據(jù)初等梁理論的撓曲應(yīng)力公式，可得到角點(diǎn)翹曲應(yīng)力與各板元自身內(nèi)彎矩 、 和 的關(guān)系式1M2M3MDBDbJM112DBbJM2222233DBDAhJM123111bJ123222bJ12333hJ為各板在其自身平面內(nèi)的慣性矩應(yīng)用關(guān)系 ，將上式化簡得 DDADB/331121MbhJJMDD3322211MbhJJMD回代并消去M1，M2整理得到 06)(23dd2212121232bhqqbhHVzMxydd 根據(jù)基本假定，箱形梁各板元沿自身平面的橫向撓曲滿足初等梁理論，所以得到

8、各板元內(nèi)彎矩和位移的關(guān)系為 22211133EJMEJMEJMhhv根據(jù)畸變角 和畸變位移的關(guān)系可得到D221133212 2hEJMhEJMbEJMbbhhvD 在上式中消去M1，M2得334bEJMD 從而得到板元平面彎矩和畸變角的關(guān)系式為 433bEJM 經(jīng)兩次微分得 4dd3232bEJzM 消去M3得026)(2342121213 bhqqbhHVbEJxydd 此方程是根據(jù)箱形梁在畸變荷載作用下，產(chǎn)生軸向翹曲位移及相應(yīng)的力系（各板元平面內(nèi)力系）平衡條件推導(dǎo)得到的畸變微分方程。（3） 各板元平面外力系分析 箱形梁各板元平面外力系為產(chǎn)生橫向撓曲的力系（如下圖所示）。箱形梁抵抗橫向撓曲的

9、作用稱為框架作用，分析框架作用時(shí)，不考慮頂板和底板的懸臂部分。圖b)表示從箱形梁中取出微段單元 的頂板、左腹板、底板的分離體各自受到角點(diǎn)彎矩和剪力作用的情形。由于截面對(duì)稱于 軸，而力反對(duì)稱于 軸，故可得zdyyxCxBxDxAyCyByDyACBBCDAADqqqqqqqqmmmm據(jù)角點(diǎn)力矩平衡得00BCBAABADmmmm由頂板力矩平衡條件得 bmqqADyDyA2 各板元平面外力系 a)框架變形； b)平面外力系 底板力矩平衡得bmqqBCyCyB2腹板力矩平衡得hmmqqqqBAABxDxCxBxA 整理得hmmhmmqqqBCADBAABxDxAx)(2)(2bmmqqqBCADyBy

10、Ay)(2上列兩式合并，得到 和 的關(guān)系為xqyqhbqqyx框架中的節(jié)點(diǎn)是剛性固結(jié)的，因此組成框架的各板元相當(dāng)于兩端嵌固的梁。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)的坡度撓度公式，可得到橫向彎矩 與橫向撓曲位移的關(guān)系mhhEImhhEImbbEImbbEImhABBAhBAABvBBCvAAD6226226323323321式中： 沿軸向單位長度的板橫向抗彎慣 性矩， 。 、 框架 、 節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角)1 (12231vIi3 , 2 , 1iABAB由 得到 0ABADmmhbbhIIbhIIhvAB662331310BCBAmmhbbhIIbhIIhvBA66233232由 得到上列兩式合并整理得22322132132

11、3231233221321312232bIhIIIIIbhbIhIhbIhIbIhIbIhIIbhvA223221321313132223221321312232bIhIIIIIbhbIhIhbIhIbIhIbIhIIbhvB將 、 分別代入 和 的表達(dá)式中有ABADmBCmhbbhIIIIIIbhIIbhbIEmhvAD22321316222321321321hbbhIIIIIIbhIIbhbIEmhvBC2232131622321321312將mAD，mBC代入qy整理得bEIqDRy/框架抗彎剛度1324hEIEIRbIhIIIIIIIIhb232132132116321 hbhvD22

12、令 得 ADBCmmm231333hIbIIIhbm則)1 (2)1 (2mDRmyADEIbqm)1 (2mDRmADmBCEImm（4） 畸變平衡微分方程由箱形梁各板元組成的框架抵抗橫向撓曲作用（即各板元平面外力系）推導(dǎo)得到bqhqyxDRyEIbq代入微分方程并經(jīng)整理得bVEIEIdRD 引入畸變雙力矩的概念，則212121326)(234JEbEIDDDDEIB 稱為箱形梁畸變翹曲剛度箱形梁的畸變雙力矩 得到433bJIBMDD則畸變應(yīng)力計(jì)算公式為DADDDDDDDAIBbhBIB41DBDDwDDDDBIBbhIB411 為截面A點(diǎn)畸變翹曲率 為截面B點(diǎn)畸變翹曲率41bhDDDA41

13、1bhDDB用能量變分法推導(dǎo)斜腹板箱梁的畸變微分方程取如下圖所示的箱梁橫截面，坐標(biāo)系同第上節(jié)，則當(dāng)梁受偏心荷載發(fā)生畸變時(shí)，各板在自身平面內(nèi)發(fā)生翹曲，產(chǎn)生畸變翹曲應(yīng)變能。同時(shí)橫向框架有橫向翹曲，產(chǎn)生框架畸變應(yīng)變能。（1） 畸變應(yīng)變能 （a）橫截面框架畸變應(yīng)變能現(xiàn)取沿跨徑方向單位長度 一段箱梁分析，并設(shè)角點(diǎn)2處的畸變角為 ?？蚣苡捎诨兘?所具有的應(yīng)變能與梁上板發(fā)生的水平位移 所產(chǎn)生的應(yīng)變能是等同的。當(dāng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱，而外部影響因素（例如位移）是反對(duì)稱的，框架中由于水平位移引起的橫向彎矩也是反對(duì)稱的，如下下圖b)所示。1U1dz )(zD)(zDsin1D 斜腹板單室箱梁 橫向框架變形與橫向彎矩 由于結(jié)

14、構(gòu)對(duì)稱，取半個(gè)框架如下圖所示，則在單位水平荷載 作用下，未知贅余剪力為 ，則有 ) 1(PX202111PX 框架求解 用圖乘法知22222222624241222111123243111bbbbbbIaIbIb 31sin21231sin22222sin12211211111abbaabbbaaP )(242242424)2(sin24sin2221222111232431112212122111bbbbIaIbIbIbbaIabXP)(2)2(sinsin21222111232431212212122bbbbIaIbIbIbbaIabX由圖知， 點(diǎn)的水平位移 為AhsEIMMhd2水平位移

15、及豎向位移求解 vhaXbXbaXbXbIabIaXbXIbEXbaXbaXbaXbXbXbIaaXbEIEIbXb2 )sin()sin(2)sin(61 )sin2()sin()sin 2(6)sin(32/b31)2()(1212122211122212243111212121112122241211)sin()sin(2)sin(121 12121222111221224231vaXbXbaXbXbIaIaXbbIXbE 但由于水平位移為 作用力是則角點(diǎn) 的橫向彎矩為 sin1aDvDazP2sin)(14iDvDKXbaMM111412sinDDvKaaXbMM2112322sin)

16、sin( vXbaK2sin111 vaaXbK2sin)sin(1122 分別為單位長度上各板的慣性矩4321,IIII)4 , 3 , 2 , 1( 1213iIii因此，橫向框架畸變應(yīng)變能1U lslDzKszEIMU002321ddd2式中：12122211222241213)(261IKKKKaIbKIbKEK（b）畸變翹曲應(yīng)變能2U 符拉索夫采用虛功原理分析薄壁多箱式直桿時(shí)，曾做了三個(gè)基本假定，它們是： （1）薄壁桿所屬各板在橫截面內(nèi)的長度不變 （2）橫截面內(nèi)各板的法向位移沿該板的橫向長度服從線性變化規(guī)律（3）在橫截面上各板的法向應(yīng)力 與剪應(yīng)力 沿板厚認(rèn)為是常量 因?yàn)榛儜?yīng)力在水平

17、與豎向軸的力矩均為零，故翹曲應(yīng)力也是自相平衡的，故有AAAydAxdAdA000設(shè) ，則由下圖知21DDDyhyDDD22即 hyDD1hyh11兩 邊 懸 臂長度之和6)(32)(222141414dbdbdbMDxDx翹曲應(yīng)力 、 1D2D已知 22111bdbDDx111)(bdbDDx1431146)(bdbMD同理 63222222222222bbbMDD6)(3)2(6)( 6)33(212)(322)( 2)(2322)(12111121121211112121121121112112131bbabbabbahbbhbabbatghbaMMDDDDDDDDD,即 0M01234M

18、MMM06)(3)2 (6)(66)(12111121121222214311bbabbabbdbDDDDD整理后解得 )2()()2(12111431121122221bbabdbbbabDDD在角點(diǎn)處，由于頂板與腹板，底板與腹板，存在翹曲應(yīng)力。 ， 的關(guān)系式可寫成如下表達(dá)式，下圖所示)(31MM2M4M22222222214414412M 22M 2DDDDDbJbJMbJbJM21131111212)1 (2M 22DDDDaJMaJM3144)(12dbJ為板塊慣矩iJ如果各板塊沿周向的變位為 ， ， ， ，看作是板梁翹曲時(shí)在自身平面內(nèi)的撓度，根據(jù)初等梁的彎曲理論，則1v2v3v4v1

19、21131)1 (EaEJMvvDD 124442222222EbEJMvEbEJMvDDD將畸變角 用 方向的位移表示（圖示）221121ddsinddbyyaxxDDyx,tgsindsintgdd,d2123232241vvyvvyvxvx翹曲應(yīng)力引起的彎矩 經(jīng)過整理后，則有sincos2sin2231142bvvvavvD將上式求導(dǎo)，并將v1，v2，v3，v4式代入，整理后得到 sincos2)2(222111112222baEbbabbaDDDD cos2)2( 2sin11122222114babbbbbaKDDDDEK 42則翹曲應(yīng)變能為 lADxAzEszU022dd2),(已

20、知)1 ()1 ()1 (141211bdEKbdbdDDDDDDx 則 為AEszDxd2),(2對(duì)于頂板EdbbdKEDD312)()1 (142122242 421122241)(6bddbKEDD對(duì)于底板222242224632)(bEKEbEKDD 對(duì)于腹板 1021121daDDDxxaEaaaKEdDDDD21)1 ()1 (3121211222421 令 +H) 1(21)(6211224221124DDDabbddbEK lDzHU022d)(（c）荷載勢(shì)能 V(12.3.25) d)()( dsin)(0122204014zzPbbbdz(z)P-hzazPVvDllDlD

21、（d）結(jié)構(gòu)畸變總勢(shì)能當(dāng)忽略剪切變形的應(yīng)變能時(shí)，箱梁在畸變荷載作用下的總勢(shì)能可由周邊橫向彎曲應(yīng)變能 ，板平面內(nèi)翹曲應(yīng)變能和荷載勢(shì)能 三個(gè)部分組成，即1U2UVVUU21 lllvDDDzzPbbbzHzK0001222223d)()(d)(d（2） 畸變微分方程（a） 的極值條件如果總勢(shì)能的表達(dá)式為 lDDDFzF0d),.(根據(jù)歐拉拉格朗日（Euler-Lagrange）條件式， 取得極值的必要條件為0dddd22 DdDFzFzF很明顯， 、 、 及 均為跨徑方向 函數(shù)3KH)(zpDz（b）常截面控制微分方程)()(212223zPbbbKFvDD0ddDFzDDHFz 2dd22將上列諸

22、式代入歐拉拉格朗日條件式中得到)()(2212223zPbbbKHvDD ) 1(21)(32211224221124DDDabbddbEKEIH12122211222241213)(2312IKKKKaIbKIbKEEIKR令 則有122)(bbbzPVvd2bVEIEIdDRDD 如果引入畸變雙力矩的概念，則 42KIBEIBDDDDDD（c）變截面控制微分方程同樣利用歐拉拉格朗日的條件式，不過 也是 的變量，則Hz)()(212223zPbbbKFvDD0ddDFzDDDDHHFz 242dd22故變截面畸變控制微分方程式為)()(2221223zPbbbKHHHvDDDD 對(duì)于如圖所示

23、的雙室矩形箱梁，其畸變微分方程式亦為bVEIEIdRD 2vdPV 16)(1232JhJbEEID 81bsEIR)1 (122344vI2121ss 4196132IbIhbEs41313432IhIbIhIb雙室矩形箱梁 畸變微分方程的邊界條件及其求解方法(1) 邊界條件在工程上，常用的邊界條件有：支點(diǎn)為剛性固定支承，則0, 0DD 簡支梁端部設(shè)置剛性橫隔梁時(shí)，則0, 0 DD自由懸臂端且無隔梁時(shí)，則0, 0 DD(2) 求解建議 （1）常截面畸變應(yīng)力可用彈性基礎(chǔ)梁比擬法（簡稱 ）求解。 （2）變截面畸變應(yīng)力也能用B.E.F比擬法求解。但是由于地基的彈簧是變的，會(huì)遇到求解的困難。用加權(quán)殘

24、值法的配點(diǎn)原理可獲得近似解。 （3）根據(jù)不同邊界條件，用加權(quán)殘值法求解時(shí)， 建議如下：B.E.FD 對(duì)剛性固定支座， 可取)()(221022zazaalzzD 對(duì)自由懸臂端且無橫隔梁時(shí)，可取)()(221044zazaalzzD 對(duì)簡支梁端部設(shè)置剛性橫隔梁時(shí)，可取lznalzalzanDsin2sinsin110事實(shí)上，為求得近似解，只取級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)就能滿足解答的要求，有時(shí)甚至取級(jí)數(shù)首項(xiàng)也能得到近似的答案?，F(xiàn)以剛性固定支座為例，取 220)(lzzaD )264(2230zllzzaD )66(2220lzlzaD )2(240lzaD 024aD 將上列微分諸式代入變截面畸變控制微分方程中

25、，則殘余值 為)(zR)()(2)( )66(2224224)(1222220322000zPbbblzzaKlzlzaHlzaHHazRv 利用配點(diǎn)法令02 lR16222242)(243312220llKlHllHlPbbbav 可以根據(jù)各截面具體數(shù)據(jù)擬合成一曲線方程，然后通過二次微分求 。代入上式得 ，進(jìn)而求出的應(yīng)力值 。如果取 ，其效果可能更好。H 2lH0a2D)()(1022zaalzzD(3) 用彈性地基梁比擬法（ ）求解常截面箱梁的畸變應(yīng)力B.E.F 由于常截面箱梁畸變控制微分方程 與彈性地基梁撓曲的控制微分方程具有完全相似的表達(dá)式，因此解彈性地基梁的撓度 就等于解箱梁的畸變角 。比擬法在解工程問題上常