實驗模態(tài)分析

1、試驗模態(tài)分析與振動測試技術一、引言一、引言 隨著社會科學技術的飛速發(fā)展，現(xiàn)代工業(yè)對各種機器的要求越來越高，故現(xiàn)代機器的設計已不是原來古典意義上的設計了。古典意義上的機械設計一般稱之為“靜態(tài)設計靜態(tài)設計”，也就是說在滿足零部件或結構的功能設計后，主要進行機構的強度、剛度的設計校核。而現(xiàn)代機械設計則不但要滿足靜態(tài)設計的要求，而且對機構提出了動態(tài)特殊要求。即所謂的“動態(tài)設計動態(tài)設計”。 目前，工程中的橋梁、汽車、飛機等，從強度、剛度這角度來說，他們基本是安全的。然而還經(jīng)常發(fā)生破壞現(xiàn)象，其主要原因是機構不符合動態(tài)設計要求。舉個例子說，一列火車或汽車在橋梁上行駛，會使橋梁產(chǎn)生振動，如果火車或汽車對橋梁的

2、激勵頻率與橋梁結構本身的某一階固有頻率相等或非常接近。那么橋梁就會發(fā)生共振現(xiàn)象。這對橋梁的破壞是很大的，橋梁的部件容易產(chǎn)生疲勞屈服，這大大縮短了橋梁的壽命，嚴重的會直接發(fā)生橋梁倒塌事故。狹義地說，現(xiàn)代機構設計主要是考慮這方面問題。以上說明了試驗模態(tài)分析這門課在科學技術中所處地位。而現(xiàn)代結構動態(tài)設計的理論基礎結構動態(tài)設計的理論基礎有兩部分，即：振動分析振動分析、試驗模態(tài)分析試驗模態(tài)分析二、試驗模態(tài)分析技術的發(fā)展二、試驗模態(tài)分析技術的發(fā)展 早期研究實驗觀察振動試驗主要目的是：（1）確定振動響應量的大小和范圍；現(xiàn)代則更注重另外一個目的是，（2）理論模型的驗證預測；或總稱動力學建模。雖然，“試驗模態(tài)”

3、這個名稱現(xiàn)已流行，其原理上世紀中就已提出，但早期不叫試驗模態(tài)。它們已經(jīng)經(jīng)歷了不同的階段，例如，曾使用過“共振實驗共振實驗”和“機械阻抗法機械阻抗法”等名稱來描述這類試驗技術。這一課題的重要里程碑之一是1947年肯尼迪（kennedy）和潘庫（Pancu）的論文Use of vectors in vibration measurement and analysis。文中的敘述方法用來精確地確定航空結構的固有頻率和阻尼值，這種方法沿用了許多年，直至六十年代測量和測量和信號分析技術信號分析技術迅速地發(fā)展起來。它為更精密的測量和更有效而廣泛的應用鋪平了道路。 1963年畢曉普（Bishop）和格拉德威

4、爾（Glodwell）的論文Steady stale vibration描述了共振實驗原理的現(xiàn)狀，當時，理論大大領先于實驗的水平。在同一時期的另一項工作，是在塞爾特（Salter）所著的書中從完全不同的觀點提出的，即用非解方法來處理測量數(shù)據(jù)。該方法較之現(xiàn)在借助于計算機自動地完成同樣的工作相比，要占用較多的人力。塞爾特方法成功地在該項結構振動的研究中引入了重要的物理概念。到1970年主要是，傳感器、電子學和數(shù)字分析儀以及計算機技術等方面都有了重要的發(fā)展，從而又建立了目前的試驗模態(tài)分析技術。而現(xiàn)在所謂“試驗模態(tài)分析試驗模態(tài)分析”這一名稱的意義，通常指“對系統(tǒng)或部分的一個實驗過程，其目的是獲對系統(tǒng)或

5、部分的一個實驗過程，其目的是獲得其動態(tài)或振動特性的數(shù)學描述得其動態(tài)或振動特性的數(shù)學描述”。對于不同的應用，其數(shù)學描述或模型也是不同的，在一種情況下可以是對固有頻率和阻尼系數(shù)的估計，而在另一種情況下又可以是質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的模型建立。三、現(xiàn)代模態(tài)分析的定義：三、現(xiàn)代模態(tài)分析的定義： 對于 個自由度的線性定常有阻尼系統(tǒng)，其運動微分方程為：N )()()(tftxKxCtxM 式中： M C K上式是用系統(tǒng)的物理坐標 描述的運動方程組。在其每一個方程中均包含系統(tǒng)各點的物理坐標，因此是一組耦合方程。當系統(tǒng)自由度數(shù)目很大時，求解十分困難。( )x t( )f t( )x t( )x t)(tx 為系

6、統(tǒng)的質量剛度阻尼矩陣阻尼矩陣為系統(tǒng)的自由度及外界對系統(tǒng)的激勵能否將上述耦合的方程組變換成非耦合的，獨立的微分方程組，這就是模態(tài)分析要解決的根本任務。故所以，所謂模態(tài)分析方法就是：以無阻尼系統(tǒng)的各階主振型所對應的模態(tài)坐標來代替物理坐標，使坐標耦合的微分方程組解耦為各個坐標獨立的微分方程組，即iiiiigqkqcqm Ni, 2 , 1從而求出系統(tǒng)的各階模態(tài)參數(shù)，即從而求出系統(tǒng)的各階模態(tài)參數(shù)，即 、 、以及以及 。 這就是模態(tài)分析的經(jīng)典定義。這就是模態(tài)分析的經(jīng)典定義。imicik i目前線性系統(tǒng)的理論與技術趨于成熟。四、試驗模態(tài)分析的基本內容四、試驗模態(tài)分析的基本內容 試驗模態(tài)分析技術的基本內容是

7、以下三部分的全面綜合：振動分析理論基礎；振動分析理論基礎；振動測試技術；振動測試技術；動態(tài)（信號）數(shù)據(jù)分析技術；動態(tài)（信號）數(shù)據(jù)分析技術；過去認為這三部分是由每一方面的專家從事的不同的專題范疇，而現(xiàn)在我們探索的這一課題要求在這三方面都要深入的理解和應用能力，才能將試驗模態(tài)這門技術學好并掌握。五、試驗模態(tài)分析的工程應用五、試驗模態(tài)分析的工程應用試驗模態(tài)分析技術是一項綜合性技術可以應用于各個工程部門及各種工程結構。這一技術在航空、航天、造船、機械、建筑、核工程、交通運輸、兵器等工程部門中得到廣泛應用。試驗模態(tài)分析技術和有限元分析一起成為結構動力學的兩大支柱。模態(tài)分析技術的應用可以歸結為下列幾個方面

8、：1 1、評價實際結構系統(tǒng)的動態(tài)特性、評價實際結構系統(tǒng)的動態(tài)特性在處理結構的振動問題時，必須對其動態(tài)特性有全面的了解。結構的動態(tài)特性通常用各階模態(tài)參數(shù)（模態(tài)頻率，模態(tài)振型及模態(tài)阻尼）來描述。通過對結構的模態(tài)分析可以求得上述動態(tài)特性參數(shù)，從而評價結構得動態(tài)特性是否符合要求，并校驗理論計算結果的正確性。試驗模態(tài)分析是建立在試驗的基礎上的因此所得到的動態(tài)特征參數(shù)比較準確（尤其是低階模態(tài)），特別是可以識別系統(tǒng)的阻尼，而在有限元分析中阻尼是人為假設的。2、在新產(chǎn)品設計中進行結構動態(tài)特性的預估及、在新產(chǎn)品設計中進行結構動態(tài)特性的預估及優(yōu)化設計優(yōu)化設計在新產(chǎn)品設計中，通常采用有限元分析計算結構系統(tǒng)的動態(tài)特性

9、，但是正是如上面所指出的，由于在建立有限元模型時，在邊界條件的處理以及力學模型的簡化上，往往與實際結構的差異較大，這便導致動力分析結果失去實用價值，特別是對于大型復雜結構，這種差距更大。用模態(tài)分析所得到的模態(tài)參數(shù)對有限元模型進行修改，使其更符合實際從而提高有限元分析的精度。其次，用模態(tài)分析的結果進行結構動力修改，使動力特性達到預定的要求，并使其優(yōu)化，這也是模態(tài)分析的目的之一。模態(tài)分析進入產(chǎn)品的設計階段，并與有限元分析、CAD、CAT、CAE相結合構成所謂“理想設計過程”（Ideal Design Process）是模態(tài)分析技術發(fā)展的一個方向。3、診斷及預報結構系統(tǒng)的故障、診斷及預報結構系統(tǒng)的故

10、障近年來，結構故障技術發(fā)展迅速，而模態(tài)分析技術已經(jīng)成為故障診斷的一個重要的方法。利用結構模態(tài)參數(shù)的改變來診斷故障是一種有效的方法。例如根據(jù)模態(tài)頻率的變化可以判斷裂紋的出現(xiàn)；根據(jù)振型的分析可以確定斷裂的位置。；根據(jù)轉子支承系統(tǒng)阻尼的改變，可以診斷與預報轉子系統(tǒng)的失穩(wěn)等等。4、控制結構的輻射噪聲、控制結構的輻射噪聲結構輻射噪聲是由于結構振動所引起的。結構振動時，各階模態(tài)對噪聲的貢獻并不相同，對噪聲貢獻較大的幾階模態(tài)稱為“優(yōu)勢模態(tài)”。抑制或調整優(yōu)勢模態(tài)，便可以降低噪聲。而優(yōu)勢模態(tài)的確定，必須建立在模態(tài)分析的基礎上。5、識別結構系統(tǒng)的載荷、識別結構系統(tǒng)的載荷 某些結構在工作時所承受的載荷很難測量，這時

11、，可以通過實測響應和模態(tài)分析所得到的模態(tài)參數(shù)倆加以識別。此方法在橫態(tài)航空及核工程中應用較廣。試驗模態(tài)分析與測試技術第一章單自由度模態(tài)分析理論11 引言引言模態(tài)分析的理論基礎是在機械阻抗與導納的概念上發(fā)展起來的。雖然機械阻抗的概念早在20世紀30年代就已經(jīng)形成，但發(fā)展成為今天這樣較為完整的理論與方法，卻經(jīng)歷了較長的歲月。近二十多年來，模態(tài)分析理論吸取了振動理論、信號分析、數(shù)據(jù)處理數(shù)理統(tǒng)計以及自動控制理論中的有關“營養(yǎng)”，結合自身內容的發(fā)展，形成了一套獨特的理論，為模態(tài)分析及參數(shù)識別技術的發(fā)展奠定了理論基礎。12單自由度頻響函數(shù)分析單自由度頻響函數(shù)分析 單自由度系統(tǒng)是最基本的振動系統(tǒng)。雖然實際結構

12、均為多自由度系統(tǒng)，但單自由度系統(tǒng)的分析能揭示振動系統(tǒng)很多基本的特性。由于他簡單，因此常常作為振動分析的基礎。從單自由度系統(tǒng)的分析出發(fā)分析系統(tǒng)的頻響函數(shù)，將使我們便于分析和深刻理解他的基本特性。對于線性的多自由度系統(tǒng)常?？梢钥闯蔀樵S多單自由度系統(tǒng)特性的線性疊加。 下面我們分別對粘性阻尼和結構阻尼系統(tǒng)的頻響函數(shù)理論進行討論，并推導他們的表達式。一、粘性阻尼系統(tǒng)一、粘性阻尼系統(tǒng)對粘性阻尼系統(tǒng)，假設其阻尼力與振動速度成正比，方向與速度相反，即 dfcx fmx, ck（11） 式中： 及 均為時間 的函數(shù)。xft對于自由振動（ ），上式可以寫為：0f 0mxcxkx其解的形式為: stxXesX式中：

13、 為復數(shù)； 為不依賴時間的量。（13） mxcxkxf系統(tǒng)的力學模型如圖所示。其振動運動方程為： （12） （14） 對（12）式兩邊進行拉普拉斯變換，并假設初始值為0，可得2() ( )( )mscsk x sf ss( )x s( )x t( )f s( )f t式中： 為拉氏變換因子； 為 的拉氏變換， 而 則為 的拉氏變換。對自由振動而言，可得20mscsk由上式可解得 的兩個根，s221,204122cckmsjmm 20km式中： ，系統(tǒng)的無阻尼固有頻率； 為阻尼比。00(2)(2)c cckmcm 為無量綱因子。一般鋼結構屬于小阻尼， 0.01 0.1對 的阻尼稱為欠阻尼。 1（

14、15） （16） （17） （18） 則模態(tài)解的形式為：20001( )ittitatx tXeeee 這是帶復固有頻率的振動單模態(tài)，可分為兩部分：X0t衰減振蕩周期指數(shù)衰減( )x t2021T tXe0虛部(或振動部分)，頻率為：2001 實部(或衰減部分)，阻尼比為：0a前面的 ， 為共軛復數(shù)，他們的實部為衰減因子，反映系統(tǒng)的阻尼；其虛部表現(xiàn)有阻尼系統(tǒng)的固有頻率。模態(tài)模型兩部分 的物理意義表示在典型自由響應圖中，（如圖）1s2s)(H（15）式中的 具有剛度特性，故稱為系統(tǒng)的動剛度動剛度。在一定的激勵作用下，其數(shù)值與系統(tǒng)的響應 成反比。他具有阻止系統(tǒng)振動的性質。因此稱為系統(tǒng)的機械阻抗機械

15、阻抗，簡稱阻抗（與電學中的阻抗有類似之處），現(xiàn)令 2()mscsk( )x s2( )Z smscsk其倒數(shù)稱為機械導納，簡稱導納，又稱傳遞函數(shù)機械導納，簡稱導納，又稱傳遞函數(shù)，21( )H smscsk（19） （110） 若對（12）式在付氏域進行變換，即 ，則阻抗與導納公式可寫為：sj2( )Zkmcj21( )Hkmcj式中 又稱為頻率響應函數(shù)，簡稱頻響函數(shù)頻率響應函數(shù)，簡稱頻響函數(shù)。( )H 位移導納，傳遞函數(shù)及頻響函數(shù)都具有柔度的性質，故又稱為動柔度動柔度。在實際應用上（對穩(wěn)定線性彈簧質量系統(tǒng)而言）這三個名稱并不嚴格加以區(qū)別。（111） （112） 由（110）式及（112）式可見

16、，傳遞函數(shù)與頻響函數(shù)均為復數(shù)。（112）式還可以表示為222( )()()()()kmcHjkmckmc2222112(1)(2)(1)(2)jkc式中， 稱為稱為頻率比頻率比。0 （113） 由（111）式可見，系統(tǒng)的位移阻抗由三部分組成，即質量阻抗、阻尼阻抗及剛度阻抗。他們分別為質量阻抗 ;阻尼阻抗 ;剛度阻抗 2mj kk他們的位移導納分別為各自的倒數(shù)，即質量導納 剛度導納 剛度導納 21m1j k1k上述阻抗與導納公式均為位移阻抗與位移導納。若系統(tǒng)的輸出若系統(tǒng)的輸出為速度或加速度，則同樣可得速度阻抗于加速度導納。為速度或加速度，則同樣可得速度阻抗于加速度導納。對于不同的阻尼器，其阻抗與

17、導納的表達式亦不同。表1給出了單自由度系統(tǒng)各元件的各種阻抗與導納的表1達式。表一 單自由度系統(tǒng)元件的阻抗與導納系統(tǒng)元件位移速度加速度線性彈簧粘性阻尼剛體質量結構阻尼器dZdHvZvHaZaHkmcjkg1jkgkgkg2kgj2jkg1mm1j mj m21m2mjccj1cc1j cj c2k2kjkkj1kk大家可以發(fā)現(xiàn)表1的規(guī)律，若由左邊項求右邊項時，對阻抗則除 。對導納則乘 ；若由右邊項求左邊項時，則對阻抗則乘 ，對導納則除 。jjjj2( )Zkm21( )Hkm 對無阻尼系統(tǒng)，可由（111）及（112）式很方便地求出其阻抗與導納的表達式：（13b）；（13c）二、結構阻尼（滯后阻尼

18、）系統(tǒng)二、結構阻尼（滯后阻尼）系統(tǒng)對于實際金屬結構，常常不能用粘性阻尼來描述他們的衰減特性。實際結構的阻尼主要來源于金屬本身材料的內部摩擦（內耗）內部摩擦（內耗）及各部件連接界面（如螺部件連接界面（如螺釘、鉚釘、忖墊等）釘、鉚釘、忖墊等）之間的相對滑移相對滑移。因此結構阻尼主要由材料內部阻尼與滑移阻尼兩部分組成。結構阻尼的阻尼力 與振動位移成正比，相對比位移超前900，即與速度方向相反，即df式中 為結構阻尼系數(shù)，他與剛度 成正比，kdfjx（114）gk （115）g式中 為結構損耗因子，或稱結構阻尼比，是無量綱因子。對結構阻尼系統(tǒng)而言，運動方程可寫成mxkxj xf由（115）式，上式可改

19、寫為(1)mxjg kxf（116）對上式兩邊進行拉氏變換，可得2(1) ( )( )msjg k x sf s(117）因此傳遞函數(shù)及頻響函數(shù)分別為221( )(1)1( )(1)H smsjg kHjg km （118）將上式寫為實部與虛部，222222211( )(1)(1)gHjkgg （119）（116）式中的 稱為復剛度稱為復剛度。(1)jg k由（113）式與（119）式比較可見，對粘性阻尼和結構阻尼，頻響函數(shù)表達式具有相似的形式，只要將只要將 與與 相相互置換互置換，便可得到各自的頻響函數(shù)表達式。2g其中： 為加速度頻響函數(shù)； 為速度頻響函數(shù)； 為位移頻響函數(shù). 以上所述的頻響

20、函數(shù)是位移位移 為對象推導而得。頻響函數(shù)還可以用速度與加速度來表示。x22( )( )()( )( )avddHj HjHH （120）( )aH( )vH( )dH 在實際應用中，由于測量加速度比較方便（主要是傳感器的原因），故加速度導納應用比較普遍。與上述三種導納相對應的有三種阻抗，即位移阻抗（又稱動柔度）、速度阻抗（又稱機械阻抗）、加速度阻抗（又稱視在質量）。他們是相應導納的倒數(shù)。1.3 單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)數(shù)據(jù)曲線單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)數(shù)據(jù)曲線表現(xiàn)方式、特性及描述表現(xiàn)方式、特性及描述 有了單自由度系統(tǒng)基本位移導納頻率函數(shù)表達式之后，我們轉而注意這些數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的各種顯示或表達方法。首先討論頻

21、響函數(shù)基本形式的變化，然后探索用圖形表示其特性的不同方法，最后，探討所形成的圖形中某些有用的幾何性質。1.3.1頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的圖形表示頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的圖形表示 頻響函數(shù)數(shù)據(jù)繪圖的復雜性在于導出的頻響函數(shù)是復函數(shù)，他們有三個量，即頻率頻率、復函數(shù)的實部實部、虛部虛部。而這些量不能全部展示在一張標準的xy圖上。因為平面曲線只能表示兩個變量，從而描述頻響函數(shù)就有各種不同的組合。下面我們討論三種最常見的表達形式： （1）、頻響函數(shù)的模（幅值）作為頻率的函數(shù)（簡稱幅頻圖）圖；相位作為頻率的函數(shù)圖（簡稱相頻圖）（又稱波德圖B0de）。 （2）、頻響函數(shù)的實部作為頻率的函數(shù)圖（簡稱實頻圖）；虛部作為頻率的函數(shù)

22、圖（簡稱虛頻圖）。 （3）、實部作為虛部的函數(shù)圖（尼奎斯特圖Nyquist）,（一個不含頻率信息的圖）。相位3601800位移導納141050頻率Hz(a)無阻尼單自由度系統(tǒng)的 導納圖0 20 40 60 80 100 我們下面來討論一下這些曲線的用途并說明每種圖的特殊優(yōu)點或功能：典型的無阻尼單自由度系統(tǒng)位移導納的經(jīng)典波德圖（如圖(a)所示）。該系統(tǒng)響應的速度導納和加速度導納分別見如圖(b),(c)。（見所發(fā)的圖）相位3601800速度導納1510500 20 40 60 80 100頻率Hz(b)無阻尼單自由度系統(tǒng)的 導納圖相位3601800加速度導納210頻率Hz(c)無阻尼單自由度系統(tǒng)的

23、 導納圖0 20 40 60 80 100 由于振動數(shù)據(jù)很多，表示頻響函數(shù)特性的可能問題之一，是數(shù)據(jù)分布在較寬的數(shù)據(jù)范圍內，無論使用上述頻響特性圖的何種形式，總有一些數(shù)據(jù)不能包括在內。采用對數(shù)坐標可解決這個問題。(a)無阻尼單自由度系統(tǒng)的對數(shù)對數(shù) 導納圖10kg100kg1000kg位移導納（0Db=1m/N）-100-120-140-1601 10 100頻率105N/m106N/m107N/m10000kg我們下面來討論一下這些曲線的用途并說明每種圖的特殊優(yōu)點或功能：現(xiàn)將上面列出的三個頻響函數(shù)圖的頻率軸和幅值軸都采用對數(shù)坐標，并重新畫出曲線圖（如圖）。10kg100kg1000kg速度導納

24、（0DB=1m/N）-60-80-100-1201 10 100頻率(b)無阻尼單自由度系統(tǒng)的對數(shù)對數(shù) 導納圖107N/m106N/m105N/m10kg100kg1000kg105N/m106N/m107N/m加速度導納（0DB=1m/N）-20-40-60-80-1001 10 100頻率(c)無阻尼單自由度系統(tǒng)的對數(shù)對數(shù) 導納圖坐標變換的結果可把每張圖分成三部分：1、低頻直線圖；2、高頻直線圖；3、帶有陡崤的幅值和相位變化的共振區(qū)。用對數(shù)對數(shù)對數(shù)坐標對數(shù)坐標的另一好處是，他把有關的頻響函數(shù)特性分離成單個的質量元件和彈簧元件。從圖中可以看出這些質量和剛度特性在對數(shù)坐標中呈直線。質量和剛度元

25、件的頻率響應頻響函數(shù) 質 量剛 度位移導納： 速度導納： 加速度導納： ( )H)(logH( )vH)(logVH( )aHlog( )aHm21)log(2)log(mk1)log(kmi1ki)log()log(m)log()log(km1k2)log(m)log()log(2k（2）、小粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的一對實頻和虛頻圖實頻和虛頻圖見如圖。我們已給出了所有三種類型的頻響函數(shù)圖，從這些圖中可以看出共振區(qū)相位的變化情況其特點在于，一個圖上曲線的零點總是另一圖上的曲線峰值（最大或最小）處發(fā)生。這里必須注意，在用實頻和虛頻表示頻響函數(shù)特性時，不能用對數(shù)坐標，因為對數(shù)坐標不能兼容正值和負值。

26、30-3位移導納（實部）0 20 40頻 率30-5-10位移導納（虛部）0 20 40頻 率位移導納圖0.50-0.5速度導納（虛部）0 20 40頻 率(Hz)速度導納（實部）10.50-30 20 40頻 率(Hz)速度導納圖加速度導納圖加速度導納圖500-50加速度導納（實部）0 20 40頻 率(Hz)100500-50加速度導納（虛部）0 20 40頻 率（Hz）（3）、尼奎斯特圖尼奎斯特圖即矢量端圖，是被工程廣泛使用并能有效地顯示共振區(qū)細部的方法。如圖所示。ReImReImReIma 位移導納 b 速度導納c 加速度導納具有結構阻尼單自由度系統(tǒng)的尼奎斯特圖從圖中可以看出各個圖形很

27、象一個圓。事實上，除粘性阻尼的速度導納以及結構阻尼結構阻尼的位移導納為一個精確圓，其他則只是一個近似圓。其阻尼愈小，則圖形愈圓。（如圖）圖中表示了單自由度粘性阻尼系統(tǒng)的尼奎斯特形式的頻響函數(shù)圖。這種圖的特點是將離開共振區(qū)的點彼此靠的很近，這樣就突出了共振區(qū)，故尼奎斯特圖對試驗模態(tài)具有很大的吸引力。1.5.2單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的特性單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的特性（圖形的數(shù)學形式不講）下面討論一下單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的兩種典型情況的一些基本幾何特性。（1）、粘性阻尼系統(tǒng)尼奎斯特速度導納圖當頻率從零掃描到無窮大的時，兩個軌跡都是精確的圓?，F(xiàn)討論粘性阻尼情況從（17）式和（113）式得速度導納為：222

28、222)()()()()(cmKmKicciKiHiHV(224)2222)()()Re(cmKcHV2222)()()()Im(cmKmKHV)21)(Re(cHUV)(Im(VHV 22222222222221)()(4)()(ccmKccmKVU故；令和于是 （125）因此，在 )Re(VH)Im(VH對 的曲線圖上，當 0c21變化時，將畫出半徑為 ，圓心在 1(Re,Im0)2c處的圓，如圖(b)所示。 c21（2）、結構阻尼系統(tǒng)尼奎斯特位移導納圖對于遲滯（結構）阻尼的情況，可從方程（19）得到略有差別的頻響函數(shù)表達式：222221)h()mK(ih)mK(ih)K()(H（126）

29、22222)()()()Re(hmKmKH222)()()Im(hmKhH故 也就是說，對于一個有結構阻尼的單自由度系統(tǒng)來說，其位移導納尼奎斯特圖將是一個半徑為 12()h，圓心在 12(0,)h見圖(a) 的圓。（見發(fā)的圖表）（見發(fā)的圖表）雖然沒有得到象上述粘性阻尼那樣的表達式，但可以看出：222)21()21(Im(Re)hh （127）1.6 各種不同激勵下頻響函數(shù)的表達式各種不同激勵下頻響函數(shù)的表達式 頻響函數(shù)（或傳遞函數(shù)）反映系統(tǒng)輸入、輸出之間的關系，并表示系統(tǒng)的固有特性。它與激勵力的形式與大?。ㄏ抻诰€性范圍以內）無關。但是在不同類型激勵力的作用下，它的表達形式常不同。下面我們對正弦

30、、周期、瞬態(tài)及隨機等幾種激勵類型，確定頻響函數(shù)的表達式。一、簡諧激勵一、簡諧激勵 對于線性時不變系統(tǒng)，在簡諧激勵力作用下，系統(tǒng)的運動為簡諧運動，并且頻率與力頻率相同。)()(tjFetf)()(tjXetx激勵力為：位移響應為：式中， 及 分別為激勵與響應的相位角； ， 為激勵力與響應的復數(shù)幅值。 因此，位移頻響函數(shù)（位移導納）為：)(jdeFXfxH（128）FX在實際工程結構分析與測量時，應變常常是十分重要而且易于測量的一個量。應變片作為一種傳感器亦經(jīng)常被采用，因為它的體積小、質量輕，對試件的約束小，而且可通過它測量應變，從而計算應力。此時，系統(tǒng)的輸入為力，輸出為應變，因此應變阻抗及導納可

31、分別表示為： 另外目前工程中還有應變導納的概念，這對實際測量很有好處。FZ FH應變阻抗: ； 應變導納: 式中是對應物理量的傅立葉變換。二、周期激勵二、周期激勵 周期激勵力具有周期性，但不一定是正弦力，例如方波、鋸齒波激勵力等屬于此類周期激勵力。此時系統(tǒng)的頻響函數(shù)不再具有如（214）式所示的簡單形式。但是，眾所周知，任何周期函數(shù)，總可以用傅立葉分析方法展開成一系列具有頻率、幅值與相位的正弦級數(shù)。設激勵力為 ，)(tf則可寫成1)()(ntjnneftfTnn2，這樣，便可得到力函數(shù)的各個頻率分量。同理，對響應亦可寫成 1)()(ntjnnextx對周期函數(shù)而言，頻響函數(shù)定義為各頻率點上響應與

32、激勵力之復數(shù)幅值比，)()()(tftxHn（129）響應 與 激勵的級數(shù)具有相同的離散頻率，他們都等于 的整數(shù)倍。)(tx)(tfT/2式中 、 均包含幅值與相位兩個成分。)(tx)(tf三、瞬態(tài)激勵三、瞬態(tài)激勵對瞬態(tài)振動而言，激勵與響應均非周期函數(shù)。但是他們常常是絕對可積的力函數(shù)（如脈沖力、階躍力等），他們滿足狄利克雷（D）條件，因此其傅立葉變換可由下式計算：dtetfftj)()(同理，對響應亦有dtetxxtj)()(此時，系統(tǒng)的頻響函數(shù)定義為系統(tǒng)的輸出（響應）與輸入（激勵）之傅立葉變換之比，)()()(fxH（130） 我們亦可以在拉氏域中定義頻率響應函數(shù)，此時頻率響應函數(shù)又稱為傳遞

33、函數(shù)。它定義為系統(tǒng)的輸出與輸入的拉氏變換之比。)()()(sfsxsH（131）傅氏域及拉氏域的頻響函數(shù)和傳遞函數(shù)的描述如圖所示。( )H( )H sj傳遞函數(shù)與頻率響應函數(shù)圖O 曲面曲線( )H s( )H由上式可知:( )( ) ( )xHf對上式進行傅立葉逆變換，得：defHtxtj)()(21)(令激勵為脈沖激勵令激勵為脈沖激勵，即 0)(tf1)()()(dtetdtetfftjtj此處表示在 時作用得單位函數(shù)，又稱為D函數(shù)。此時得系統(tǒng)響應為單位脈沖響應系統(tǒng)響應為單位脈沖響應，以 表示。已知 0t )(th故 deHthtxtj)(21)()(（132a）dtethHtj)()(（132b）他們互為傅立葉變