微積分多重積分

1、19.4 9.4 重積分的應用重積分的應用U=,Df x y dd把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中. .若要計算的某個量若要計算的某個量U對于閉區(qū)域對于閉區(qū)域D具有可加性具有可加性(即當閉區(qū)域即當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應地分成許多部分量，且相應地分成許多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域相應地部分量可近似地表示為相應地部分量可近似地表示為 的形式的形式,f x y d2一、曲面的面積一、曲面的面積衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz3設曲面的

2、方程為：設曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為在在,Dd 設小區(qū)域設小區(qū)域,),( dyx 點點.),(,(的切平面的切平面上過上過為為yxfyxMS .dsdAdAdsszd 則則有有，為為；截截切切平平面面為為柱柱面面，截截曲曲面面軸軸的的小小于于邊邊界界為為準準線線，母母線線平平行行以以 如圖，如圖， d),(yxMdAxyzs o 4,面上的投影面上的投影在在為為xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S S的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyAxyDyz

3、xz 22)()(1 d),(yxMdAxyzs o n A k 5設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxAzxDxyzy 設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得6衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz7于于 是是 通通 訊訊 衛(wèi)衛(wèi) 星星 覆覆 蓋蓋 面面 積積 為為 解解222yxRz 2222sin:RyxD 衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz如圖建立坐標系如圖建立坐標系通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面 是上半是上半球面被半頂角為球面被半頂角為 的圓錐面所的圓錐面所截得的部

4、分，其方程為截得的部分，其方程為 dxdyzzADyx 2218 DdxdyyxRR222 sin022201RrdrrRdR).cos1(22 RhRR cos.2)1(222hRhRhRRRA 通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球的表面積的比為通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球的表面積的比為.425. 010)4 . 636(21036)(24662 hRhRA 9由由對對稱稱性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx10面面積積dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142

5、ardrrada.4222aa 11解解解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域為平面上的投影域為xy,:222ayxDxy 12知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 13),(yx二、二、質心質心 1. 1.平面薄片的平面薄片的質質心心xMyM 對對 x 軸的軸的靜

6、力矩靜力矩 對對 y 軸的軸的靜力矩靜力矩14當當薄片是均勻的，薄片是均勻的，質質心心稱為稱為形心形心. .,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法15P407 例9-19均勻薄片的質心均勻薄片的質心之間的之間的和和求位于兩圓求位于兩圓例例 sin4 sin2 4 rr16解解先求區(qū)域先求區(qū)域 D的面積的面積 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy,),(),( DDdyxdyxxx

7、 17 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所求形心坐標為所求形心坐標為 ),(65 a.由于區(qū)域關于直線由于區(qū)域關于直線ax 對稱對稱 ，18設空間有設空間有n個質點個質點, ),(kkkzyx其質量分別其質量分別, ),2, 1(nkmk由力學知由力學知, 該質點系的質心坐標該質點系的質心坐標,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設物體占有空間域設物體占有空間域 ,),(zyx 有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)則則 公式公式

8、,分別位于分別位于為為為為即即:采用采用 “分割、求和、取極限分割、求和、取極限” 可導出其質心可導出其質心 2. 2. 空間立體的空間立體的質質心心 ( (書書p/4p/40808) )19將將 分成分成 n 小塊小塊, ),(kkk 將第將第 k 塊看作質量集中于點塊看作質量集中于點),(kkk例如例如, nkkkkknkkkkkkvvx11),(),( 令各小區(qū)域的最大直徑令各小區(qū)域的最大直徑,0 zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( 系的質心坐標就近似該物體的質心坐標系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點的質點,即得即得此此質點質點在第在第 k 塊上任取一點塊上任取

9、一點20同理可得同理可得 zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),( ,),(常數(shù)時常數(shù)時當當 zyx 則得則得形心坐標形心坐標：,dddVzyxxx ,dddVzyxyy Vzyxzz ddd 的體積的體積為為 zyxVddd21三、轉動慣量三、轉動慣量 1.1.平面薄片的轉動慣量平面薄片的轉動慣量22,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片對于薄片對于 軸的轉動慣量軸的轉動慣量x薄片對于薄片對于 軸的轉動慣量軸的轉動慣量y23解解設三角形的兩直角邊分別在設三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如

10、圖aboyx對對y軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為dxdyxIDy 2 babydxxdy0)1(02 .1213 ba dxdyyIDx 2 .1213 ab 24解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐標標系系如如圖圖oyx, hbA 區(qū)域面積區(qū)域面積 因因為為矩矩形形板板均均勻勻,由由對對稱稱性性知知形形心心坐坐標標2bx ，2hy .hb25將將坐坐標標系系平平移移如如圖圖oyxhbuvo 對對u軸軸的的轉轉動動慣慣量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 對對v軸的轉動慣量軸的轉動慣量 DvdudvuI2 .123 hb

11、 2. 空間立體的轉動慣量空間立體的轉動慣量設物體占有空間區(qū)域設物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx 該立體繞該立體繞x軸、軸、y軸與軸與z 軸的轉動慣量分別為軸的轉動慣量分別為 26 zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx 對對 x 軸的轉動慣量軸的轉動慣量對對 y 軸的轉動慣量軸的轉動慣量對原點的轉動慣量對原點的轉動慣量 zyxzyxyxIzddd),()(22 對對 z z 軸軸 的轉動慣量的轉動慣量: :27空間物體對單位質點的引力空間物體對單位質點

12、的引力,zyxFFFF ,)()()()(,(32020200dvzzyyxxxxzyxkFx為引力常數(shù)為引力常數(shù)k四、引力四、引力 1. 1. 空間物體對質點的引力空間物體對質點的引力,)()()()(,(32020200dvzzyyxxyyzyxkFy,)()()()(z,(32020200dvzzyyxxzzyxkFz28Rxyzo例例8. 求半徑求半徑 R 的均勻球的均勻球2222Rzyx對位于對位于)(), 0 , 0(0RaaM的單位質量質點的引力的單位質量質點的引力.解解: 利用對稱性知引力分量利用對稱性知引力分量0yxFFzF RRzazkd)( vazyxazkd)(2322

13、2 RRzazkd)( 200232222)(ddzRazrrr點點zDazyxyx23222)(dd0MazD29RRzazd )(zF k2 22211azaRza200232222)(ddzRazrrr RRzazkd)( k2RRaza)(1222daazR2aMk R2343RM 為球的質量30薄片對薄片對軸上單位質點的引力軸上單位質點的引力z),(zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxkFDx ,)(),(23222 dayxyyxkFDy .)(),(23222 dayxyxakFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)k 2. 2. 平面薄片對質點的引力平面薄片對質點的引力3

14、1解解由積分區(qū)域的對稱性知由積分區(qū)域的對稱性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aaRfa32五、立體體積五、立體體積1. 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx2. 占有空間有界域占有空間有界域 的立體的體積的立體的體積為為zyxVddd33例例10. 求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積的直角圓柱面所圍的體積.

15、xyzRRo解解: 設兩個直圓柱方程為設兩個直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性利用對稱性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為yxxRVDdd822 220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022 222Ryx 222Rzx D341:221yxzS任一點的切平面與曲面任一點的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積所圍立體的體積 V . 解解: 曲面曲面1S的切平面方程為的切平面方程為202000122yxyyxxz它與曲面它與曲面22yxz的交線在的交線在 xoy 面上的投影為面上的投影為1)()(2020 yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(記記所圍域為所圍域為D ),(000zyx在點在點Drrrdd2例例11. 求曲面求曲面rr dd1032035xoyza2例例12. 求半徑為求半徑為a 的球面與半頂角為的球面與半頂角為 的的內(nèi)接錐面所圍成