第9章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用近年試題.

1、精品資料歡迎下載0809 B一、填空題 （每小題 3 分，共 18 分）2、設(shè) zln( xy) ，則其全微分 dz1 dx1 dyxy3、函數(shù) uy22 x的所有間斷點是.y22x( x, y) | y22x, x R, yR二、選擇題 （每小題 3 分，共 15 分）1、 f ( x, y)xy2 ，則極限 lim f ( x, y)（ ）2xyx 0y 0（A）不存在（B）1（C）2（D）0A當點limx 0 y kxP( x, y) 沿曲線f ( x, y)limx0xyykx 趨向 (0,0) 時，k x2k顯然，當 k 取值不同是，極限也不相同。x2k 2 x21 k2所以lim2

2、( x,y ) (0,0) xy2不存在2、在曲線 x t, yt 2 , zt 3 所有切線中，與平面x 3y3z4 平行的切線（ ）（A）只有一條；（ B） 只有兩條；（C）至少有 3 條；（D） 不存在曲線的切向量 T(t),(t),(t )=(1， 2t,3 t 2 ) ,平面的法向量 n (1,3,3)(1， 2t,3 t 2 ) (1,3,3)16t 9t 20 , (3t1)20 , 得 t1 . 所以只有一條切線滿足條3件.3、點0,0 是函數(shù) zxy 的（ ）（A ）極值點；（ B）.駐點但不是極值點； （C）是極值點但不是駐點； （ D）以上都不對分析 : 令 zx y 0

3、, zy x 0 ,得 (0,0)是駐點 ,但點 (0,0) 是 z xy 的鞍點 ,不是極值點 .四、計算題 （每小題 8 分，共 32 分）1、 設(shè) zeu sin v,uxy,vx y, 求 z和 zxy解zffufveu sin v y eu cosv exy y sin( x y) cos( x y)xxuxvx精品資料歡迎下載zffufveu sin v x eu cosv ex y x sin( x y) cos(x y)yyuyvy五、解答題（ 每小題分 10，共 20 分）1、要造一個容積為定數(shù)a 的長方形無蓋容器，如何設(shè)計它的尺寸才能使它的表面積最??？此時最小表面積為多少？

4、解：設(shè)長方體的長寬高分別為x, y, z, 則問題就是在條件(x, y, z)xyz a0 下求函數(shù)Sxy 2xz2 yz( x0, y0, z0)的最小值 .作拉格朗日函數(shù)L (x, y, z)xy2xz2 yz( xyz a),y2zyz0 ,求其對 x, y, z,的偏導數(shù)，并使之為零，得到x2zxz0 ,2 (xy) xy0 ,xyza0.因為 x, y, z都不等于零，得 z1 x1 y, 代入 xyza0 ,得22x3 2a, y3 2a, z1 3 2a, 這是唯一可能的極值點. 由問題本身可知最小值一21 3 2a定存在， 所以最小值就在這個可能的極值點處取得.即長寬高為3 2

5、a, 3 2a,時, 最小2表面積 S33 (2 a)2 .0910B一、填空題 （每小題 2 分，共 10 分）2 、 設(shè) 函 數(shù) zf ( x, y)是 由 方 程 x2y 2z24z 給 出 ， 則 全 微 分dz2xdx 2 ydy 2zdz4dz ,dzxdxydy .2z3、曲面 x2y2z214 在點 P(1,2,3) 處的切平面方程為.切平面得法向量 n (1,2,3) (2 x, 2y,2 z) (1,2,3)(2, 4,6),切平面方程為 2( x1)+4( y2)6( z 3)0,或 x2 y3z 140.二、選擇題 （每小題 2 分，共 10 分）1、二元函數(shù) f (x

6、, y) 在點 ( x0 , y0 ) 處可微是兩個偏導數(shù) f x ' ( x0 , y0 ) ,f y ' (x0 , y0 ) 都存在的（）精品資料歡迎下載（ A） 充分條件（ B） 必要條件（ C） 充分必要條件（ D） 既非充分又非必要條件 .四、計算題 （每小題 10 分，共 40 分）1、設(shè) z u 2 ln v ，而 ux 、 v 3x2 y ，求 :z 、 z yxyz 2x2 ln 3x 2 y222解：3x2 ，z2x3ln 3x 2 y2 x2x y3x 2y yyy3x 2 y y1011B一、填空題 （每小題 3 分，共 15 分）(1) 設(shè)二元函數(shù)z

7、xexy(x 1) ln(1y) ，則 dz |(1, 0).dz |(1,0) (ex yxexyln(1y) |(1,0) dx( xex yx1) |(1,0)dy1yd z2ed x(e2)d y(1,0)(2)旋轉(zhuǎn)拋物面 zx2y 21在點 (2,1,4) 處的法線方程是.法線的方向向量s(2 x, 2y,1) (2,1,4)(4, 2, 1),(2,1,4)法線方程是 x2y 1z4.421二、單項選擇題 （每小題 3 分，共 15 分）(4)設(shè) zf ( x, y) 的全微分為 dzxdxydy 則點 (0,0) ( C)A. 不是 f ( x, y) 的連續(xù)點； B. 不是 f

8、 (x, y) 的極值點；C. 是 f ( x, y) 的極小值點； D. 是 f ( x, y) 的極大值點 .分析 : z xx, zyy , 得 zxx1,zyy1, zxy0 , 由 ACB210, A10 , 則點(0,0)是 f (x, y) 的極小值點 .三、求偏導數(shù) （每小題 10 分，共 20 分）（1）設(shè) zx3 f (xy, y ) ，其中 f 具有二階連續(xù)偏導數(shù). 求z ；2 z；2 z.xyy 2x y精品資料歡迎下載解:z3x2fx3( yf1f2 (y3x2fx3yf1xyf2xx2 )zx3 ( xf1f 2(1)x4 f1x2 f 2yx2 zy( x4 f1

9、x2 f2 )x4 ( f11xf12( 1 ) x2 ( f21x f22( 1)y2xxx5 f11 x2x3 f12xf 222 zx y4 x3 f14x3 f1(2) 設(shè) z2 z4f1y x( xxx4 ( f11yf122xf2x4 yf11z( x, y) 是方程x2 f 2 )y2y(x2 ) 2xf2 x ( f21 y f 22( x2 )yf22 .xyzarc tan(xyz) 在 (0,1, 1) 點確定的隱函數(shù)，求z 及xzy ( 0,1,1)解 :令 F ( x, y, z)xyzarctan( x yz) 1 分則Fzxy11( xyz) 2Fxyz12 F

10、yxz16 分1 ( xyz)(xyz)21zFxyz1( xyz) 2 18 分z) 2 ；xFzxy1( xy1zFyxz1(xyz) 2 1110 分y ( 0,1, 1)Fzxy1(xyz)2 1六、應(yīng)用題 （本題滿分 10 分）從斜邊長為 l 的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形，并求出最大周長.解： 設(shè)另兩邊長分別為x, y ，則 x2y 2l 2 ，周長C xy l 2 分設(shè)拉格朗日函數(shù)F ( x, y,)xy l(x 2y 2l 2 )4 分精品資料歡迎下載Fx12x0令F y12y06 分Fx2y2l 20解方程組得 xy2 l 為唯一駐點，且最大周長一定存在 8 分

11、2故當 x y2 l 時，最大周長為 C (1 2)l10 分21112B一、填空題 （每小題 2 分，共 10 分）1.zx 2 y 在點 (1,1) 處的 dz_ _ .dz2xydx x2 dy, dz x 12dx dy.y 12.設(shè)函數(shù) f ( x, y) 2x 2ax xy 22 y 在點 (1,1) 取得極值，則常數(shù) a _ .fx (1, 1) (4x a y2 ) x10 , fy (1, 1) 2xy 2 x1y1y10 ,所以 a5.例 36設(shè)函數(shù) f ( x, y)2 x2axxy22 y 在 (1,1) 處取得極值，試求常數(shù)a，并確定極值的類型分析這是二元函數(shù)求極值的

12、反問題，即知道 f (x, y) 取得極值，只需要根據(jù)可導函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件即可求解本題解因為 f ( x, y) 在 ( x, y) 處的偏導數(shù)均存在，因此點 (1,1) 必為駐點，則有f4 xay20x (1,1)(1,1)，f2xy2 (1, 1)0y (1,1)因此有4a 10，即 a5 因為A2 f4 ，2f2 y (1,2， C2 f2 x (1,1) 2，x2B1)y2(1,1)x y (1, 1)(1, 1)AC B24 2 (2)24 0，A4 0 ，所以，函數(shù)f (x, y) 在 (1, 1) 處取得極小值精品資料歡迎下載二、選擇題 （每小題 2 分，共 10

13、 分）3.在點 P 處函數(shù) f ( x, y) 的全微分 df 存在的充分條件為（）(A)f x , f y 均存在(B)f連續(xù)(C)f的全部一階偏導數(shù)均連續(xù)(D)f連續(xù)且 f x , f y 均存在三、計算題 （每小題 8 分，共 40 分）1.設(shè) zz(x,y) 是由方程 x2y2z 22z 所確定的隱函數(shù)，計算z ,2 z的值 .xx 2解: 設(shè) F ( x, y, z) x2y2z22 z ，則 Fx2 x ， Fy2 y ， Fz2 z 2,z2xx2zx1 z xzx1zx x(1 z)2x2(1 zx,x2)(1 z)2(1 z)2(1 z)32z 2 1 zx 1 z4.求函數(shù)

14、 uxy yzzx在點 (2,1,3)沿著從該點到點(5,5,15) 的方向?qū)?shù) .解方向 l(3, 4,12)l 0 3 , 4 ,12. cos3 , cos4 , cos1213 133131313ux (2,1,3)4,u y( 2,1,3)5,uz (2,1,3)3,zux cosu y cosuz cos68.l13五、證明題 （每小題 7 分，共 7 分）xy(x, y)(0,0)證明 f (x, y)x2y2在 (0,0) 點偏導數(shù)存在，但不可微 .0(x, y)(0,0)證:f ( x,0)0, f (0, y)0,fx(0,0)limf (0x,0)f (0,0)lim00

15、.x0xx0fy(0,0)limf (0,0y)f (0,0)lim 00.y0yy0所以函數(shù) f ( x, y)在 (0,0)處可導 . .3分limzfx (0,0)xf y (0,0) yf (x,y)limx ylimx2y 2x2y2000當點 P( x,y) 沿曲線 ykx 趨向 (0,0) 時，精品資料歡迎下載limxylimx ylimk (x)2k2 .22222220xyx 0( x)( y)x 0( x)k ( x)1 ky k x顯然，當 k 取值不同是，極限也不相同。所以limx y不存在x2y20這表示當0 時 ,z f x (0,0) xf y (0,0) yo(

16、 )所以函數(shù) f (x, y), 在 (0,0) 點不可微 .1213B一、填空題 （每小題 2 分，共 10 分）(2)極限1xy1.limxy( x, y) (0 ,2)1.分子有理化2(3)設(shè)二元函數(shù) zexy ，則 dz.dzyexydxxexydy二、選擇題 （每小題 2 分，共 10 分）(1) 設(shè)函數(shù) f (x, y)xy2 ， 則極限 limf ( x, y)( )x2y(x, y) (0 , 0 )(A)0 .(B)1.(C)2 .(D) 不存在 .當點 P(x, y) 沿曲線 ykx 趨向 (0,0)時，lim f ( x, y)limk x2k顯然，當 k 取值不同是，極

17、限也不相同。2222x 0x 0xk x1ky kx所以limxy不存在2y2( x, y) (0,0)x(2) 二元函數(shù) f (x, y) 在點 (x0 , y0 ) 處的全微分存在是它在該點連續(xù)的 ( )(A) 充分條件.(B) 必要條件.(C) 充分必要條件.(D) 既非充分也非必要條件.如果函數(shù)在一點可微分 , 則函數(shù)在該點連續(xù)三、計算題 （每小題 8 分，共 40 分）精品資料歡迎下載(1)設(shè) zx3 yxy3 ，求 z ，z ，2 z 和2 z .xyxyy2解 :z3x2 yy3 ,zx33y2 x,2 z3x23y2 ,2 z6xy.xyxyy2(2)設(shè) zz( x, y) 是

18、由方程 xln z所確定的隱函數(shù)，求z 和 z .zyxy解 I ：用隱函數(shù)求導公式F x, y, zxln z ，F(xiàn)1 , F1 , Fx1zyxzyyzz2zz1zz1z2zyxx 1,yx1y( x z)x zz2zz2zzxz1z解 II ： 將 z 看作 x, y 的函數(shù)，兩邊對x 求導，得：z2xzx即 zz，同理兩邊對y 求導得zz2xxzyy( xz)解 III： 將方程兩邊求全微分，得：zdxxdzdzdy ，解出 dz 得： dzzdxz2dyz2zyz xy xzzz，zz2將 z 看作 x, y 的函數(shù)，繼續(xù)求導，即得二階偏導數(shù)：x xzyy( xz)2 zz22 zz

19、2 x 22 zz2 xx2zx 3 ， y2y 2 z x 3 ， x yy z x 3四、應(yīng)用題 （每小題 10 分，共 20 分）(1)求旋轉(zhuǎn)拋物面 zx2y2 上垂直于直線xyz10 的切平面方程 .x2 y5z30解 : 令 F (x, y, z)x2y2z ,任取 旋轉(zhuǎn)拋物面 上一點 M (x, y, z) ，該點的法向量ijkn (Fx , Fy ,Fz )(2 x,2 y,1) ,已知直線的方向向量s111(3, 4,1)125精品資料歡迎下載因為所求平面的法向量與已知直線的方向向量平行,2x 2 y 1 , 所以 x3 , y 2, 代入 z x2y 2 ,得 z9425 ,

20、34123)25)44所以所求的切平面方程為3(x4( y2)( z02524或 3x4 y0 .z4注: 已知直線的方向向量也可以按下面的兩種方式求1.把 y,z 看成是 x 的函數(shù)，在方程組xyz10中對 x 求導，得x2 y5 z301dydz0dy4dxdxdx3dz，解得1dy0dz125dxdx3dx則方向向量s41(1, ).332.令 F ( x, y, z)xyz1 ， G(x, y, z)x2 y5z3 ，直線的方向向量T(111111(3,4,1)，2,1)5512(2)求函數(shù) zxy1在條件 x2y28 下的最大值與最小值 .解 令 F ( x, y, z)xy1( x

21、2y28), ，于是由Fx12x0x2x2Fy12y0解得,.即 (2,2) ,( 2,2)為可能的極值點，可能的極值Fx2y28 0y2y2z(2,2)5 , z(2,2)3 ,從而所求函數(shù)的最大值是z(2,2)5 ，最小值是 z(2,2)3 .五、綜合題 （每小題 10 分，共 20 分）(2)設(shè) f ( x) 是定義在 0,) 上的連續(xù)函數(shù)，D 是由圓 x2y2R2和直線y xtan， y0 所圍成的區(qū)域在第一象限部分（R0 ， 02） .記F(R,)f ( x2y2 ) dxdy ，求2 F .DR解 : 區(qū)域 D 用極坐標表示 (,) | 0R,0,F(R,)f ( x2y2 ) d

22、xdyf (2 )dddRd0f ( 2 )DD0精品資料歡迎下載F( 0R22RRd0f () d )0f (R)Rd2F(22) R.Rf (R )Rd ) f ( R00607 高數(shù) A一、填空題 （每小題 4 分，共 32 分）一、填空題 （本題共5 小題，每小題4 分，滿分20 分）1. 函數(shù) f ( x, y, z)arccosz的定義域為 _.x 2y2( x, y, z) | zx2y2 , x2y205. 曲面 z4 x2y2 上點 P(1,1,2)處的切平面方程為.切平面的法向量 n( 2x,2 y,1)|(1,1,2) ( 2,2,1)切平面方程 2( x1)2( y1)

23、 z20 或 2x2 yz 60 .二、單項選擇題（本題共 5 小題，每題4 分，滿分 20 分）1. 考慮二元函數(shù) f (x, y)在 (x0 , y0 )點處 的下面 4 條性質(zhì)：連續(xù) , 兩個偏導數(shù)連續(xù),可微 , 兩個偏導數(shù)存在 ,若用"PQ" 表示可由性質(zhì) P 推出性質(zhì) Q ，則有 A ( A);(B );(C);(D).2.坐標原點 (0,0)是函數(shù) zx 2y35xy 的 B(A)既是駐點也是極值點；(B) 駐點但非極值點；(C)極值點但非駐點；(D) 既非駐點也非極值點 .ACB2250 ,所以 (0,0)是駐點但非極值點三 、計算題一 （本題共兩小題，滿分1

24、5 分）1.已知 zln tan x ,求z 、2 z ；yxy xzsec2x1x 1y,解:xcotxyy ytany精品資料歡迎下載2 z2 zy (cotx 11x12xy xx yy y)y 2cotyy3cscy.已知xyz0dz 和 dy.，求2.x2y 2z21dxdx解: 注意 yy( x), zz( x). 在方程組xy z10 中對 x 求導，得x2y2z21dydzdyxz10dxzydxdx，解得.2x 2 y dy2 z dz0dzyxdxdxdxzy0708 高數(shù) A一、填空題（本題共5 小題，每小題4 分，滿分20 分）1.極限limxy1 1_.sin xy(

25、 x, y)(0,0)limxy 11xy1.( x, y ) (0,0)sin(xy)sin( xy)(xy11)22.曲面 ezzxy3 上點 P(2,1,0)處的切平面方程為.設(shè) F (x, y, z)ezz xy 3 ,切平面的法向量n( y, x,e z1) |(2,1,0)(1,2,0)切平面方程 ( x2)2( y 1)0 或 x2 y40 .二、單項選擇題（本題共5 小題，每題4 分，滿分20 分）1.設(shè) zx 33xy2 , 則它在點 (1,0)處 (B ).( A)取得極大值 ;(B) 無極值;(C) 取得極小值 ;(D)無法判定是否有極值 .解:zx|(1,0)3x23|(1,0)0 , zy |(1,0)2y |(1,0) 0 .zxx |(1,0)6x |(1,0)6, Czyy |(1,0)2 Bzxy |(1,0)0 ,AC B2120, , 所以函數(shù)在點(1,0) 處無極值 .三、計算題（本題共兩小題，滿分14 分）1. (7 分 ) 設(shè)函數(shù) zf ( xy, x y), 其中