概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)重要知識點及公式整理

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)重要知識點及公式整理2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)重要知識點第二章知識點：1.離散型隨機變量： 設(shè) X 是一個隨機變量， 如果它全部可能的取值只有有限個或可數(shù)無窮個，則稱 X 為一個離散隨機變量。2.常用離散型分布：（ 1）兩點分布（ 0-1 分布）：若一個隨機變量 X只有兩個可能取值，且其分布為，則稱 X 服從 x1,x2 處參數(shù)為 p 的兩點分布。兩點分布的概率分布：兩點分布的期望：（ 2 ）二項分布：；兩點分布的方差：若一個隨機變量X 的概率分布由式給出，則稱 X服從參數(shù)為 n,p 的二項分布。記為Xb(n,p)

2、( 或 B(n,p).兩點分布的概率分布：二項分布的期望：（3 ）泊松分布：；二項分布的方差：若一個隨機變量X 的概率分布為數(shù)為的泊松分布，記為，則稱 X 服從參泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.連續(xù)型隨機變量：；泊松分布的方差：如果對隨機變量X 的分布函數(shù)F(x) ，存在非負可積函數(shù)，使得對于任意實數(shù)x，有，則稱 X 為連續(xù)型隨機變量，稱 f(x) 為 X 的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度函數(shù)。2010-2011學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料5.常用的連續(xù)型分布：（ 1）均勻分布：若連續(xù)型隨機變量X 的概率密度為其它，則稱 X 在區(qū)間（ a,b）上服從均勻分布，記為XU(a,b

3、)均勻分布的概率密度：其它均勻分布的期望： （ 2）指數(shù)分布：；均勻分布的方差：2若連續(xù)型隨機變量X 的概率密度為，則稱 X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為指數(shù)分布的概率密度：指數(shù)分布的期望：（3）正態(tài)分布：1；指數(shù)分布的方差：學(xué)習(xí)必備歡迎下載1222若連續(xù)型隨機變量X 的概率密度為則稱X 服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布，記為XN(,)22正態(tài)分布的概率密度：正態(tài)分布的期望：22；正態(tài)分布的方差：（4）標準正態(tài)分布：2，2et22學(xué)習(xí)必備歡迎下載dt標準正態(tài)分布表的使用：（1）2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料XN(0,1)（ 2）（ 3）故定理 1： 設(shè) XN(,), 則6.隨機變量的分布函數(shù)

4、：設(shè) X 是一個隨機變量，稱分布函數(shù)的重要性質(zhì)：為 X 的分布函數(shù)。7.求離散型的隨機變量函數(shù)、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布（ 1）由 X 的概率分布導(dǎo)出 Y 的概率分布步驟：根據(jù) X 寫出 Y 的所有可能取值；對 Y 的每一個可能取值 yi 確定相應(yīng)的概率取值；常用表格的形式把 Y 的概率分布寫出（2）由 X 的概率密度函數(shù)（分布函數(shù)）求Y 的概率密度函數(shù)（分布函數(shù)）的步驟：由X 的概率密度函數(shù)由 FY(y)fX(x) 隨機變量函數(shù)Y=g(X) 的分布函數(shù)FY(y)求導(dǎo)可得Y 的概率密度函數(shù)（ 3）對單調(diào)函數(shù)，計算 Y=g(X) 的概率密度簡單方法：定理 1 設(shè)隨機變量 X 具有概率密度有，又設(shè)

5、 y=g(x) 處處可導(dǎo)且恒（或恒有），則 Y=g(X) 是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度為；其中是 y=g(x) 的反函數(shù)，且學(xué)習(xí)必備歡迎下載練習(xí)題：2.4 第 7、 13、 142010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料總習(xí)題第 3、 6、 9、 10、 11、 13、 14、 17、 18、 19第三章重要知識點：（1）要會由 X 與 Y 的聯(lián)合概率分布，求出 X 與 Y 各自概率分布或反過來；類似P63例2（ 2）要會在 X 與 Y 獨立的情況下，根據(jù)聯(lián)合概率分布表的部分數(shù)據(jù)，求解其余數(shù)據(jù)；類似 P71例3（ 3）要會根據(jù)聯(lián)合概率分布表求形如的概率；（4）要會根據(jù)聯(lián)合概率分布律之類求出

6、相應(yīng)的期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等。2. 二維連續(xù)型隨機變量 X 與 Y 的聯(lián)合概率密度 :設(shè)（ X,Y ）為二維隨機變量，F(xiàn)(x,y) 為其分布函數(shù)，若存在一個非負可積的二元函數(shù)f(x,y),使對xy任意實數(shù)（ x,y ），有，則稱（ X,Y ）為二維連續(xù)型隨機變量。(1) 要會畫出積分區(qū)域使得能正確確定二重積分的上下限；f(s,t)dsdt(2) 要會根據(jù)聯(lián)合概率密度求出相應(yīng)的分布函數(shù)F(x,y) ，以及形如率值;P64 例 3等聯(lián)合概(3) (4)要會根據(jù)聯(lián)合概率密度求出x,y的邊緣密度 ;類似P64 例 4要會根據(jù)聯(lián)合概率密度求出相應(yīng)的期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等。3.聯(lián)合概率分布

7、以及聯(lián)合密度函數(shù)的一些性質(zhì)：2010-2011學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料（1）；（ 2）要會根據(jù)這些性質(zhì)解類似P68第 5，6 題。4.常用的連續(xù)型二維隨機變量分布二維均勻分布：設(shè)G 是平面上的有界區(qū)域，其面積為A 。若二維隨機變量（X,Y ）具有概率密度函數(shù)5.獨立性的判斷：，則稱（ X,Y ）在 G 上服從均勻分布。定義：設(shè)隨機變量（X,Y ）的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y), 邊緣分布函數(shù)為意實數(shù) x,y，有 FX(x) ， FY(y) ，若對任（ 1）離散型隨機變量的獨立性：由獨立性的定義進行判斷；所有可能取值(xi,yj) ，有，立。則X與Y相互獨（ 2）連續(xù)型隨機變量的獨

8、立性：由獨立性的定義進行判斷；聯(lián)合概率密度f(x,y)，邊緣密度fX(x) ， fY(y)有幾乎處處成立 , 則 X 與 Y 相互獨立。(3) 注意與第四章知識的結(jié)合X與Y相互獨立Cov(X,Y因此與 Y 不獨立。6相互獨立的兩個重要定理定理 1 隨機變量 X 與 Y 相互獨立的充要條件是 X 所生成的任何事件與 Y 生成的任何事件獨立，即，對任意實數(shù)集 A ， B，有2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料定理 2 如果隨機變量X 與 Y 獨立，則對任意函數(shù)（1）要求會使用這兩個定理解決計算問題練習(xí)題：學(xué)習(xí)必備歡迎下載習(xí)題 2-3 第 3、4 題習(xí)題 2-4 第 2題習(xí)題 3.2第 5，7

9、，8 題總習(xí)題三第 4， 9（1） -（ 4）， 12,13g1(x)，g2(y)相互獨立。第四、五章知識點設(shè)總體密度函數(shù)如下，x1,x2,.xn 是樣本，試求未知參數(shù)的矩估計值，最大似然估計值。（ 1）21ex1x2et1et2學(xué)習(xí)必備歡迎下載11tt1e2et21et1學(xué)習(xí)必備歡迎下載t21t22，由此可推出22從而參數(shù)，的矩估計值為（ 2）似然函數(shù)為：1n1nni其對數(shù)似然函數(shù)為：i由上式可以看出，是的單調(diào)增函數(shù)，要使其最大，的取值應(yīng)該盡可能的大，由于限制，這給出的最大似然估計值為將關(guān)于求導(dǎo)并令其為0 得到關(guān)于的似然方程nni2學(xué)習(xí)必備歡迎下載n，解得n2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末

10、復(fù)習(xí)資料第四章重要知識點：1.隨機變量X 數(shù)學(xué)期望的求法：（ 1）離散型（ 2）連續(xù)型；2.隨機變量函數(shù)g(X)數(shù)學(xué)期望的求法：（1）離散型g（2）連續(xù)型；3.二維隨機向量期望的求法：ij （ 1）離散型；（2）連續(xù)型4.隨機變量X 方差的求法：（1）簡明公式（2）離散型學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）連續(xù)型5. 隨機變量 X 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的求法：（1）簡明公式（2）離散型（3）連續(xù)型（4）6.數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差重要的性質(zhì)：X2)(2) 設(shè) X 與 Y 相互獨立，則若 X 與 Y 相互獨立，則2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料（6）若X與Y相互獨立，則(7) 若（ X,Y ）服從二維正態(tài)

11、分布，則X 與 Y 相互獨立，當且僅當n 維正態(tài)分布的幾個重要性質(zhì)：Xi（ 1） n 維正態(tài)變量（ X1,X2,.,Xn ）的每個分量（）都是正態(tài)變量，反之，若 X1,X2,.,Xn都是正態(tài)變量，且相互獨立，則（X1,X2,.,Xn ）是 n 維正態(tài)變量。（2） n維隨機向量 （ X1,X2,.,Xn ）服從 n 維正態(tài)分布的充分必要條件是X1,X2,.,Xn 的任意線性組合均服從一維正態(tài)分布均服從一維正態(tài)分布（其中l(wèi)1,l2,.ln不全為零）。（3）若（ X1,X2,.,Xn ）服從 n 維正態(tài)分布，設(shè)Y1,Y2,.,Yk是的線性函數(shù)，則（ Y1,Y2,.,Yk ）服從 k 維正態(tài)分布。（4

12、）設(shè)（ X1,X2,.,Xn ）服從 n 維正態(tài)分布，則“X1,X2,.,Xn 相互獨立 ”等價于 “X1,X2,.,Xn兩兩不相關(guān) ” 練習(xí)題：1. 設(shè)（ X,Y ）的聯(lián)合密度函數(shù)為解：學(xué)習(xí)必備歡迎下載210x0，求 CovX(Y,) 及310x02104352521232110x02同理學(xué)習(xí)必備歡迎下載2252010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料21x010x0315又因從而 Cov(X,Y27525232. 習(xí)題 4.3 第 10 題 8.中心極限定理（1）定理 4（棣莫佛 拉普拉斯定理）設(shè)隨機變量nX1,X2,.Xn,.相互獨立，并且都服從參數(shù)為p 的兩點分布，則對任意實數(shù)x，學(xué)習(xí)

13、必備歡迎下載有t22（2）定理 3（獨立同分布的中心極限定理）設(shè)隨機變量X1,X2,.Xn,.相互獨立，服從同一分布，且n2則it22dt練習(xí)題：習(xí)題 4-4 11 題 12 題 總習(xí)題四 24， 25， 26 題第五章重要知識點確定或求證統(tǒng)計量所服從的分布1.三大分布22222（ 1） 分布：設(shè) X1,X2,.Xn 是取自總體 N(0,1) 的樣本，稱統(tǒng)計量服從自由度為 n 的 分布。（2） t 分布：設(shè))，且 X 與 Y 相互獨立，則稱的 t 分布。22（3） F 分布：設(shè)，且 X 與 Y 相互獨立，則稱22服從自由度為X/mY/n服從自由度為（ m,n）的 F 分布。2.三大抽樣分布2學(xué)

14、習(xí)必備歡迎下載（1）設(shè)總體是取自 X 的一個樣本，X 為該樣本的樣本均值，2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料則有2/n)，N(0,1)（2）定理 2 設(shè)總體 XN，是取自X 的一個樣本，X 與 S2 為該樣本的樣本均值與樣本方差，則有2221n2i，22X 與 S相互獨立2（3）定理 3設(shè)總體，是取自X 的一個樣本，X 與 S2 為該樣本的樣本均值與樣本方差，則有21n2學(xué)習(xí)必備歡迎下載，22練習(xí)題：1.設(shè) X1,X2.X2n是來自正態(tài)總體XN(0,1) 的樣本，求統(tǒng)計量2解：因為Xi2由樣本的獨立性及分布的定義，有(X2再由樣本的獨立性以及t 分布的定義，有2X42X2n22t(n)

15、2 總習(xí)題五14 題3.求樣本函數(shù)相關(guān)的概率問題練習(xí)題：習(xí)題5-32總習(xí)題五16、 17第六章重要知識點：1.矩估計的求法：設(shè)總體 X 的分布函數(shù)中含有 k 個未知參數(shù)的函數(shù)，則2010-2011學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料（1）求總體X 的 k 階矩它們一般都是是這 k 個未知參數(shù)的函數(shù)，記為（2）從（ 1）中解得（ 3）再用的估計量Ai分別代替上式中的，即可得的估計信度，又分別稱信上限。（2）單側(cè)置信區(qū)間：設(shè)為總體分布的未知參數(shù)，_與為的雙側(cè)置信下限與雙側(cè)置X1,X2,.Xn是取自總體X 的一個樣本，對給定的數(shù)，若存在統(tǒng)計量滿足n)，則稱為的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間，稱為學(xué)習(xí)必備

16、歡迎下載的單側(cè)置信下限；若存在統(tǒng)計量，滿足則稱為的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間，稱為的單側(cè)置信上限。5.尋求置信區(qū)間的方法：一般步驟：（1） 選取未知參數(shù)的某個較優(yōu)估計量（ 2）圍繞構(gòu)造一個依賴于樣本與參數(shù)的函數(shù)（ 3）對給定的置信水平，確定與2，使2 與通?？蛇x取滿足數(shù)表查得。的與，在常用分布情況下，這可由分位（4）對不等式作恒等變形后化為學(xué)習(xí)必備歡迎下載則就是的置信度為的雙側(cè)置信區(qū)間。6.置信區(qū)間的公式：(1)0-1 分布參數(shù)的置信區(qū)間：212a2而為未知參數(shù)，X1,X2,.Xn(2) 設(shè)總體2，其中已知，2是取自總體X2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料的一個樣本。均值的置信區(qū)間為：（2

17、n，22n），其中，設(shè)總體學(xué)習(xí)必備歡迎下載未知，X1,X2,.Xn是取自總體X 的一個樣本。均值的置信區(qū)間為：（，2Sn，Sn）是取自總體X 的一(4) 設(shè)總體個樣本。2，其中未知，X1,X2,.Xn方差2的置信區(qū)間為：(22,)的置信區(qū)間為：練習(xí)題：習(xí)題 6-2 第 1，2， 5， 6 題習(xí)題 6-3第 3，4，5， 6題習(xí)題 6-4第 4 題總習(xí)題六第 7， 8，9， 10， 16， 17， 18， 20， 21 題2010-2011學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料第 1 章隨機事件及其概率2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010

18、-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料第二章隨機變量及其分布2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料第三章二維隨機變量及其分布2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料學(xué)習(xí)必備歡迎下載2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料第四章隨機變量的數(shù)字特征2010-2011學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一