2022年初三數(shù)學一輪復習專題測試20 全等三角形的輔助線問題

1、內(nèi)裝訂線學校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線2022年初三數(shù)學一輪復習專題測試20 全等三角形的輔助線問題專題20 全等三角形的輔助線問題（滿分：100分 時間：90分鐘）班級_ 姓名_ 學號_ 分數(shù)_一、單選題(共10小題，每小題3分，共計30分)1如圖，點是正方形內(nèi)一點，則的長為（ ）ABCD【答案】C【分析】將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則是等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【詳解】將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則是等腰直角三角形，故選C2如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，若DAB的平分線AE交CD于E，連結(jié)BE，且BE也平分ABC，則

2、以下的命題中正確的個數(shù)是（ ）BC+AD=AB ； 為CD中點AEB=90°； SABE=S四邊形ABCDA1B2C3D4【答案】D【分析】在AB上截取AF=AD證明AEDAEF，BECBEF可證4個結(jié)論都正確【詳解】解：在AB上截取AF=AD則AEDAEF（SAS）AFE=DADBC，D+C=180°C=BFEBECBEF（AAS）BC=BF，故AB=BC+AD；CE=EF=ED，即E是CD中點；AEB=AEF+BEF=DEF+CEF=×180°=90°；SAEF=SAED，SBEF=SBEC，SAEB=S四邊形BCEF+S四邊形EFAD=S

3、四邊形ABCD故選D3如圖，A¢B¢CABC，點B¢在AB邊上，線段A¢B¢，AC交于點D若A40°，B60°，則A¢CB的度數(shù)為( )A100°B120°C135°D140°【答案】D【分析】利用全等三角形的性質(zhì)即可解答.【詳解】解：已知A¢B¢CABC，則A¢C B¢=ACB=180°-A-B=80°，又因為CB=C B¢，且B=60°，故三角形C B¢B是等邊三角形，B¢

4、CB=60°，故A¢CB=60°+80°=140°，答案選D.4如圖，已知ABC中，ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為1，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是（ ）AB5CD【答案】D【分析】過A作ADl3于D，過C作CEl3于E，得到AD=3，CE=4，根據(jù)AAS可證明，可求出BE=AD=3，根據(jù)勾股定理求出BC的長，進而求出AC的長即可【詳解】過A作ADl3于D，過C作CEl3于E，由題可得，AD=3，CE=4，ADl3，CEl3，ADB=ABC=CEB=90

5、°，DAB+ABD=90°，ABD+CBE=90°，DAB=CBE，又AB=BC，AD=BE=3，CE=4，在中，AB=BC，ABC=90°，故選：D5如圖AB=7，AC=3，則中線AD的取值范圍是： ( )A4<AD<11B2<AD<5.5C2<AD<5D4<AD<10【答案】C【分析】延長AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明ABD和ECD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解【詳解】解：如圖，延長A

6、D到E，使DE=AD，AD是BC邊上的中線，BD=CD，在ABD和ECD中，ABDECD（SAS），CE=AB，AB=7，AC=3，7-3AE7+3，即4AE10，2AD5故選：C6如圖，在中，、是斜邊上兩點，且，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到，連接以下結(jié)論：；其中正確的是（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)判斷；根據(jù)全等三角形的判定定理判斷；根據(jù)SAS定理判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系判斷【詳解】解：ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得AFB，ADCAFB，正確；EA與DA不一定相等，ABE與ACD不一定全等，錯誤；FAD90°，DAE45

7、°，F(xiàn)AEDAE45°，在AED和AEF中，AEDAEF，正確；ADCAFB，BFCD，BEBFDEBEDCDE，錯誤；故選：D7如圖，在四邊形中，是的平分線，且若，則四邊形的周長為（ ）ABCD【答案】B【分析】在線段AC上作AF=AB，證明AEFAEB可得AFE=B，AEF=AEB，再證明CEFCED可得CD=CF，即可求得四邊形的周長【詳解】解：在線段AC上作AF=AB，AE是的平分線，CAE=BAE，又AE=AE，AEFAEB（SAS），AFE=B，AEF=AEB，ABCD，D+B=180°，AFE+CFE=180°，D=CFE，AEF+CEF=

8、90°，AEB+CED=90°，CEF=CED，在CEF和CED中,CEFCED（AAS）CE=CF，四邊形的周長=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，故選：B8如圖所示的正方形中，點在邊上，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（ ）A110°B90°C70°D20°【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD，BAD=，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出，求出FAE=BAD=，即可得到答案【詳解】四邊形ABCD是正方形，AB=AD，BAD=，由旋轉(zhuǎn)得，F(xiàn)AB=EAD，F(xiàn)AB+BAE=EAD+BAE，F(xiàn)AE=BAD=，旋

9、轉(zhuǎn)角的度數(shù)是，故選：B9已知ABC，AB=4，AC=2，BC邊上的中線AD長度可能是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】畫出示意圖，根據(jù)倍長中線證明全等，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系分析即可【詳解】如圖所示，AD為BC邊上的中線，BD=CD，延長AD至E，使得AD=DE，連接CE，則ADB=CDE，AB=CE=2，則在ACE中，即：，B選項符合要求，故選：B10如圖，已知：，則（ ）ABC或D【答案】B【分析】連接，可證，根據(jù)全等三角形對應角相等可以得到，代入角度即可求出和的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解【詳解】連接，如圖，在與中，故選：B二、填空題(共5小題，每小題4分，共計20分)11

10、在ABC中，AB=6，AC=4，AD是邊BC的中線，則中線AD的長度取值范圍是_【答案】1AD5【分析】延長AD到E，使ADDE，連接BE，證ADCEDB，推出EBAC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出即可【詳解】解：延長AD到E，使ADDE，連接BE，AD是ABC的中線，BDCD，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），EBAC4，AB6，2AE10，1AD5故答案為：1AD512如圖，在四邊形中，若，則點到的距離是_【答案】4【分析】作DEBC交BC延長線于E,作DFAB，垂足為F，證明四邊形BFDE是矩形，得到DF=BE，證明ABCCED，得到AB=CE=3，問題得解【詳解】解：作DEB

11、C交BC延長線于E,作DFAB，垂足為F，,四邊形BFDE是矩形，DF=BE，DEBE,B=E=90°，BAC+ACB=DCE+ACB=90°，BAC=DCE，又，ABCCED，AB=CE=3，DF=BE=BC+EC=4故答案為：413如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，APB，BPC，CPA的大小之比為5：6：7，則以PA，PB，PC為邊的三角形三內(nèi)角大小之比（從小到大）是_【答案】2：3：4【分析】將APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得APC，顯然有APCAPB，連PP，證APP是等邊三角形，PP=AP，所以PCP的三邊長分別為PA，PB，PC；由APB：BPC：CP

12、A=5：6：7，設APB=5xº，BPC=6xº，CPA=7xº，5x+6x+7x=360，x=20，得到APB=100°，BPC=120°，CPA=140°，這樣可分別求出PPC=40°，PPC=80°，PCP=60°即可【詳解】如圖，將APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得APC，顯然有APCAPB，連PP，AP=AP，PAP=60°，APP是等邊三角形，PP=AP，PC=PB，PCP的三邊長分別為PA，PB，PC，APB+BPC+CPA=360°，APB：BPC：CPA=5：6

13、：7，設APB=5xº，BPC=6xº，CPA=7xº，5x+6x+7x=360，18x=360，x=20，APB=100°，BPC=120°，CPA=140°，PPC=APC-APP=APB-APP=100°-60°=40°，PPC=APC-APP=140°-60°=80°，PCP=180°-（40°+80°）=60°，PPC：PCP：PPC=40°：60°:80°=2：3：4故答案為：2：3：414已知

14、，于點，于點，下面四個結(jié)論：；.其中正確的是_ (填序號)【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷；由同角的余角相等，得到ACD=CBE，根據(jù)AAS判斷；由CE=AD，即可判斷；由CE=AD，BE=CD，即可判斷；然后得到答案.【詳解】解：如圖，于點，于點，故正確；,，故正確；CE=AD，BE=CD，故錯誤；，故正確；正確的選項有：；故答案為：.15如圖，在正方形中，為的中點，、分別為、邊上的點，若，則的長為_【答案】6【分析】延長GE交CB的延長線于M只要證明AEGBEM，推出AG=CM=2，再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，即可解決問題【詳解】如圖，延長交的延長線于M四邊形是正方形，在和中

15、，又，故答案為：6三、解答題(共5小題，每小題10分，共計50分)16（1）求證：等邊三角形內(nèi)的任意一點到兩腰的距離之和等于定長.（提示：添加輔助線證明）（2）如圖所示，在三角形ABC中，點D是三角形內(nèi)一點，連接DA、DB、DC，若，求證：AD平分.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）已知點P是等邊三角形ABC內(nèi)的任意一點，過點P分別作三邊的垂線，分別交三邊于點D、點E、點F.求證為定長,即可完成證明；（2）（面積法）過點A作交BD延長線于點E，再過點A作交CD延長線于點F.因為，所以，因此，得到.進而，得到，因此，即AD平分.【詳解】（1） 已知：等邊如圖三角形ABC，P為

16、三角形ABC內(nèi)任意一點，PDAB, PFAC, PEBC,求證：PD+PE+PF為定值.證明：如圖：過點A作，垂足為點G，分別連接AP、BP、CP.， 又BC=AB=ACAG=PE+PF+PD,即定長.等邊三角形內(nèi)的任意一點到兩腰的距離之和等于定長.（2）過點A作交BD延長線于點E，再過點A作交CD延長線于點F.，又AD=AD，即AD平分.17（1）如圖，在四邊形中，點是的中點，若是的平分線，試判斷，之間的等量關(guān)系解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點，易證得到，從而把，轉(zhuǎn)化在一個三角形中即可判斷，之間的等量關(guān)系_；（2）問題探究：如圖，在四邊形中，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平

17、分線，試探究，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【答案】（1）；（2），理由詳見解析.【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，再根據(jù)AAS證得，于是，進一步即得結(jié)論；（2）延長交的延長線于點，如圖，先根據(jù)AAS證明，可得，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，進而得出結(jié)論.【詳解】解：（1）.理由如下：如圖，是的平分線，.點是的中點，又，（AAS），.故答案為：.（2）.理由如下：如圖，延長交的延長線于點.，又，（AAS），是的平分線，.18如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE, （1）求證：AEB=ADC；（2

18、）連接DE，若ADC=105°，求BED的度數(shù)【答案】（1）證明見解析；（2）BED=45°.【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)知BAC=60°，AB=AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知DAE=60°，AE=AD，從而得EAB=DAC，再證EABDAC可得答案；（2）由DAE=60°，AE=AD知EAD為等邊三角形，即AED=60°，繼而由AEB=ADC=105°可得試題解析：（1）ABC是等邊三角形，BAC=60°，AB=AC線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，DAE=60°，AE=ADB

19、AD+EAB=BAD+DACEAB=DAC在EAB和DAC中，EABDACAEB=ADC（2）如圖，DAE=60°，AE=AD，EAD為等邊三角形AED=60°，又AEB=ADC=105°BED=45°19（問題提出）學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究（初步思考）我們不妨將問題用符號語言表示為：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，對B進行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究（深入探究）第一種情況：當B是直角時，ABCDEF（1）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90°，根據(jù) ，可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當B是鈍角時，ABCDEF（2）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是鈍角，求證：ABCDEF第三種情況：當B是銳角時，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，請你