二面角的計(jì)算方法精講

1、二面角的計(jì)算方法精講二而角是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，是每年高考數(shù)學(xué)的一個(gè)必考內(nèi)容，本文主要通過(guò)一些典型的例子說(shuō)明二面角的三種根本計(jì)算方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。一 直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知識(shí)求解之。通常作二面角 的平面角的途徑有：定義法：在二面角的棱上取一個(gè)特殊點(diǎn)，由此點(diǎn)出發(fā)在二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別作檢的垂線；/ /4 J./三垂線法：如圖1, C是二面角a-AB-p的面0內(nèi) 的一個(gè)點(diǎn)，CO/° 丄平面a于0,只需作0D丄AB于D,連接CD,用三垂線定理可證明ZCDO就是 所求二面角的平面角。垂面法：即在二面角的稜上取一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作平面了，使了垂直于二面角的棱，那么

2、廠與二面角的兩個(gè)面的交線所成的角就是該二面角的平面角。例1如圖2.在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD丄底面ABCD.求面VAD與 面VDB(1)證明AB丄平面VAD :丄平面解：(1)證明:平面VXD丄平面ABCDAB 丄 ADABu 平面 ABCDAD=平面平面ABCD怪12(2)解:取VD的中點(diǎn)E,連結(jié)AF, BE,? VAD是正三形，四邊形 ABCD為正方形，?由勾股定理可知，BD = y/AB2+AD=y/AB 2+VA =VB9?AE丄 VD, BE 丄 VD,? ZAEB就是所求二面角的平面角.又在 RtAABE 中，ZBAE=90 ,

3、AE=aAD=aAB,2 2因此，5ZAEB二也二空AE3即得所求二面角的大小為arctan二.3例2如圖3, AB丄平面BCD, DC丄CB, AD與平面BCD成30 的角，且AB二BC.(1) 求AD與平面ABC所成的角的大小：(2) 求二面角C-AD-B的大?。?3) 假設(shè)AB二2,求點(diǎn)B到平面ACD的距離。解：1 TAB丄平面BCD ,? ZADB就是AD與平面BCD所成的角，即 Z ADB二30°，且CD丄AB,又 TDC 丄 BC,=A CD丄平面ABC,? AD與平面ABC所成的角為ZD AC ,設(shè) AB 二 BC 二 a,則 AC 二 yla , BD=acot30&

4、#176; =怎 ci , AD 二 2a, CD = QBD ' BC =邁 a,?: tan Z DAO 竺=1,/. ZDAC = 45 ,CD、伍 a即.AD與平面ABC所成的角為45°作CE丄BD于E,取AD的中點(diǎn)F,連CF.V AB 丄面 BCD, ABu 面 ABD,面ABD丄面BCD,又 T 面 ABD"面 BCD 二 BD, CEu 面 BCD,CE 丄 BD,?I CE 丄面 ABD,又 TAC 二 BC 二"a, AF=FD, ?.ADIEF.有三垂線定理的逆定理可知，ZCFE就是所求二面角的平面角.計(jì)算可知，C 一? °=

5、並 口，AD = si AC2 + CD2 =2at CF = -AD = a. BD 32sin 乙 CFE =-Z CFE二arcs i n .CF33故，所求的二面角為arcsinEbo=t在仙。中，OH"nAHO =八=例3如圖4, P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一 點(diǎn)，八4 = 1, P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)0?(1) 證明Q4丄BF;(2) 求面APB與面所成二面角的大小。解：(1)在正六邊形ABCDEF中，AABF為等腰三角形，? P在平面ABC內(nèi)的射影為0,? P0丄平面用F,? A0為PA在平面ABF內(nèi)的射影；又TO為BF中點(diǎn)，A4BF為等腰

6、三角形，? A0丄 BF,?有三垂線定理可知，PA丄BF.(2) TO為BF中點(diǎn)，ABCDEF是正六邊形，? A.0、D共線，且直線 AD丄BF,V P0 丄平面 /1BF. 3Fu 面 ABF,?由三垂線定理可知，AD丄PB,過(guò)0在平面PBF內(nèi)作0H丄PB于H,連AH、DH,那么PB丄平面力HD,所以ZAHD為所求二 面角 平面角。又？ ？?正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1, A AO =-271T 一 7>/5T 2>/n3在 ADHO 中,tan ZDHO =OH72?2故，所求 的二面 角為從而，7>/2?(anZAH=16X/2T9二、面積射 影法:如圖5,二面角c(

7、 一為銳二面角，ZABC在半平面a內(nèi)，ZABC在平面0內(nèi)的S射影為 A: B: Ci,那么二面角a-l_/3的大小0應(yīng)滿足cos&二空丄S*BC例4如圖6,矩形ABCD中，AB=6,BC二2巧，沿對(duì)角線BD將AABC折 圖，起，使點(diǎn)A移至點(diǎn) P,且P在平面BCD內(nèi)的射影為0,且0在DC上.(1) 求證：PD丄PC :(2) 求二面角P-DB-C的平面角的余弦值：(3)求CD與平面PBD所成的角的正弦值.解：(1)證明：？?？ PC在面BCD內(nèi)的射影為0C,且0C丄BC,?由三垂線定理可知，BC丄PC,又?PB 6, BC= 273 , ?PU 2 広 而 PD 二 2 巧，DC 二 6

8、田6=6V3-lx2V3xOC.APBD在面BCD內(nèi)的射衫為AOBD,? PD + PC2 =36=DC 2 , A PD 丄 PC.設(shè) 0C 二 X,那么 0D 二 6-x , T BOdO =BC2 - CO2 f?乩S “ PBDSOBD = AACBD:.24-宀 12-( 6-打,Ax = 4.?: Snod = 6 忑 _4 厲=2 屈設(shè)二面角P-DB-C的大小為V 9?那么cos& = D? = l 6石3故，所求二面角為 arccos-.三 . 空間向量法 :cos ZBOF =OF OBrccosK先用傳統(tǒng)方法作出二面角的平面角，再利用向量的夬角公式進(jìn)行計(jì)算。例5如圖

9、7,直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE = EB, F為CE上的點(diǎn)，且BF丄平面ACE.(1) 求證：AE丄平面BCE;(2) 求二面角B-AC-E的大??；(3) 求點(diǎn)D到平面ACE的距離。解：(1) ?二面角D-AB-E為直二面角，AB為梭，CB丄AB,? CB丄平面EAB,進(jìn)而可得，CB丄AE,又T BF丄平面ACE, ? AE丄BF,而 BC u 平面 BCE, BFu 平面 BCE,且 BCfl BF 二 F,二 AE 丄平面 BCE.連結(jié)BD交AC于點(diǎn)0,連結(jié)0F,由于ABCD為正方形，所以0B丄AC, 又因?yàn)锽F丄平面ACE.由三垂線定理的逆定理可知，0

10、F丄AC,? ZB0F就是所求二面角的平面角.在平面ABE內(nèi)作Ax丄AB,以A為原點(diǎn)，分別以 Ax. AB、AD為x軸.y軸、z軸，建立如 圖7的空間直角坐標(biāo)系，易知ZkAEB為等腰直角三角形.所以.A ( 0, 0, 0), 0 ( 0, 1 , 1), B(0, 2, 0),C(0,2,2 , E 1 J ,0 ,設(shè) F 叫 n, t 人 T C、E. F 三點(diǎn)共線,12? CF=2CEJP z 介 2, 卜 2=兄1,一 1,一 2,0_c。尸=丁丁 丁0 0,1,-1 rJ1廠*JF備<jrJ/>7/* * '宀 /H = A, H 2-A? 2 2 ; L 艮卩點(diǎn)

11、 F 坐標(biāo)為& 2 AJ廣、-J/ 3八v&2 22,Jr.drw-V 7*又? BF 丄 AC, AB F-A 6 0 ,即入入 2? 2 久？0,2,2故，所求 的二面 角為0,2? A =-,故，點(diǎn)F的坐標(biāo)為Q 4 2IK 直接求出平面諭 0 的法向量 心-利用向量的夾角公式求斤小 2 的央角，再根據(jù)法向V /Zn/?2分別相對(duì)于二面角a-1-O的方向確定出二面角a-1-p的大??？一般地，當(dāng)法向量厲4都是從二面角a 1 B的內(nèi)部向外部(或外部向內(nèi)部)穿行時(shí)，二面角 a l 0的大 小 就是斤、加的夾角的補(bǔ)角；當(dāng)法向量范一個(gè)從二面角a-1-fi的內(nèi)部向外部穿行，另一個(gè)從二面

12、角a-1 p 的外部向內(nèi)部穿行時(shí)，二面角a-1-O的大小就是耳“耳的夬角。例6(2006年四川卷)如圖8,在長(zhǎng)方體ABCD-XB,C,D,中，分別是BC,AQ勺中點(diǎn)，M,N 分別是 AE.CD的中點(diǎn)，AD = AA, = AB = 2a(I )求證：MN/面 ADDAx :(II )求二面角P AE E>!勺大小。(III )求三棱P DEN的體枳。解：以D為原點(diǎn)，DA, DC, £ >£ >,所在直線分別為尤軸，軸，Z軸，建立直角坐標(biāo)系，那么y4 (d,0,0) ,B (a2a0) ,U (0,Nr,0 ) , 4 (a,O,a) , D (0,0,d)取/i= ( 0丄0)，顯然斤丄面ADDA:.MN? E、PMf分別是BC人。，AE.CD的中點(diǎn)n冷)而 MN(Z 面 ADDA :. MN / 面 ADD八(2)顯然，二(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量：設(shè)兀 二(xjz)是平面PAE的一個(gè)法向量，那么“人？ AE = 0 曰? AP = 0.而 A=守,0, j,“AE =( 彳 ,2(/,0 J.一上譏+血=0,一 12:.可取一巴？ X + lay = 0.2 ?“ 22= 2,/ 22y/2cosf/jr=- p 2/何21又法