解決與數(shù)列中不等式恒成立問題的兩個(gè)基本策略

1、-作者xxxx-日期xxxx解決與數(shù)列中不等式恒成立問題的兩個(gè)基本策略【精品文檔】 解決數(shù)列中不等式恒成立問題的兩個(gè)基本策略不等式恒成立問題是考生較難理解和掌握的一個(gè)難點(diǎn)，以數(shù)列為載體的不等式恒成立問題的檔次更高，綜合性更強(qiáng)，是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn).數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此研究函數(shù)中不等式恒成立問題的方法可以應(yīng)用到數(shù)列中不等式恒成立問題中來，這體現(xiàn)了一般與特殊的數(shù)學(xué)思想方法.函數(shù)中不等式恒成立問題的解題策略有兩個(gè)：策略一：不等式恒成立問題就從不等式角度解決， 等價(jià)于區(qū)間是的解集的子集.又因?yàn)楹瘮?shù)、方程、不等式三者密不可分，函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題或不等式問題來解決，我們也可以將方程、不等式

2、的兩邊都看成函數(shù)，因此方程問題、不等式問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，這其中體現(xiàn)了函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，具體解決思路如下圖所示：（全稱命題） 正難則反 (特稱命題)含參數(shù)的不等式恒成立問題 存在性命題集合觀點(diǎn) 函數(shù)思想（等價(jià)轉(zhuǎn)化） 最值法 數(shù)形結(jié)合注：用函數(shù)思想解決含參的不等式恒成立問題，關(guān)鍵在于通過靈活轉(zhuǎn)化，構(gòu)造合理的函數(shù)（由于等價(jià)轉(zhuǎn)化的方式不同，構(gòu)造出的函數(shù)也不同，因此導(dǎo)致解題難度和解題長(zhǎng)度也就不同）；避免分類討論的方法是分離參數(shù)法（由于參數(shù)與變量是相對(duì)而言，因此該法也可稱為分離變量法）.策略二：善于運(yùn)用合情推理： “先猜后證，特值引路”，即通過特值猜想求出使問題成立的必要條件，在證明其

3、具有充分性.這種方法在最近幾年的高考試卷多次出現(xiàn)，隨著新課改的深入，高考對(duì)猜想能力的考查將日趨加深.如2008年全國卷文21題就考查這一思想方法：例1.（2008年全國卷文21）設(shè)，函數(shù)（）略（）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍分析：（）由題設(shè)，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為=0，由特殊與一般的思想，猜想得使問題成立的充要條件為，即故得.下面只需證當(dāng)且時(shí)，恒成立.若把看成關(guān)于a的函數(shù)，則有；若把g(x)看成關(guān)于x的函數(shù)，也可證得.本題還可以從轉(zhuǎn)化為在恒成立問題、轉(zhuǎn)化為求存在，使得成立的a的取值范圍的補(bǔ)集問題等五個(gè)角度來解決.因?yàn)閿?shù)列是特殊的函數(shù)，所以上述兩種解題策略均適用于數(shù)列不等式恒成立問題，但

4、又因?yàn)閿?shù)列圖象是其對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象上的一些孤立的點(diǎn)，因此用函數(shù)思想解決數(shù)列問題時(shí)應(yīng)該特別注意數(shù)列中自變量取正整數(shù)這一特殊性質(zhì).下面通過幾個(gè)例子加以說明.例2數(shù)列中，若對(duì)任意的正整數(shù)n, 都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解析：方法一（最值法）對(duì)任意的正整數(shù)n, 都成立，即對(duì)任意的正整數(shù)n, 都成立，對(duì)任意的正整數(shù)n, 恒成立，（分類討論分離參數(shù)）.(1)若，則恒成立，故;(2).若，則恒成立，故;(3).若，則恒成立，故.綜上所述 方法二（數(shù)形結(jié)合）.令，對(duì)稱軸，對(duì)任意的正整數(shù)n, 都成立 ，即對(duì)稱軸位于2和3 的中點(diǎn)與3和4 的中點(diǎn)之間（不包括中點(diǎn)）.方法三（數(shù)形結(jié)合）對(duì)任意的正整數(shù)n, 都成立只需滿

5、足（當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，則等價(jià)于，等價(jià)于）.方法四、（數(shù)形結(jié)合）錯(cuò)解：對(duì)任意的正整數(shù)n, 都成立對(duì)任意的正整數(shù)n, 恒成立即對(duì)任意的正整數(shù)n, 恒成立即，即k=6.由于n取正整數(shù)，實(shí)際上當(dāng)k取滿足的一部分值時(shí)，如k=5仍能夠滿足對(duì)任意的正整數(shù)n, 都成立.正解理論依據(jù)：定理1：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，其中n=2,3,則數(shù)列各項(xiàng)都為非負(fù)數(shù)（恒成立）的充要條件是定理2：設(shè)若存在滿足+2lm=0,則恒成立的充要條件為（也可以寫成判別式）正解：由定理2可得，則.例3. ,其中a>0且a1，如果數(shù)列中的每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. （2008年湖北壓軸題改編）分析：對(duì)任意的恒

6、成立即對(duì)任意的恒成立.函數(shù)思想解決含參的數(shù)列不等式恒成立問題，關(guān)鍵在于通過靈活轉(zhuǎn)化，構(gòu)造合理的函數(shù).由于等價(jià)轉(zhuǎn)化的方式不同，構(gòu)造出的函數(shù)也不同，因此導(dǎo)致解題難度和解題長(zhǎng)度也就不同.觀察發(fā)現(xiàn)：不等式兩邊都有公因式與，可以對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用最值法解決.，則 所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，接下來關(guān)鍵是構(gòu)造什么函數(shù).轉(zhuǎn)化方法一：對(duì)任意的恒成立等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，設(shè)，則是遞增數(shù)列， 且. .轉(zhuǎn)化方法二： 對(duì)任意的恒成立即對(duì)任意的恒成立，設(shè)，則<0，則是遞減數(shù)列，所以且 .轉(zhuǎn)化方法三：、 對(duì)任意的恒成立即對(duì)任意的恒成立，設(shè)= 則，則是遞減數(shù)列，所以且 . 若a>1，則，顯

7、然恒成立綜上所述.例4.（2010年全國卷22）已知數(shù)列中， .（）略（）求使不等式成立的的取值范圍.分析：第（）較難，需要運(yùn)用先猜后證.先由特值引路，因?yàn)?lt;3對(duì)任意的都成立，所以n取特值也成立，即=1，由此解得,下面只要證明再用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)時(shí)，”即可.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，（）當(dāng)時(shí)，命題成立；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，故由（），（）知當(dāng)時(shí)，另一方面，由<3，得，即對(duì)任意正整數(shù)n都成立，又，令，可知必須滿足條件即，解得，綜上所述兩個(gè)方面可知，所求c的取值范圍為.接下來只要證明時(shí)不等式時(shí)，得，解得.顯然成立.對(duì)于“對(duì)任意的都成立”，也可以從其他角度解決：因?yàn)閷?duì)任意的和同時(shí)成立，須先滿足.當(dāng)時(shí)，令，由得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，且，于是，。當(dāng)時(shí)，.因此不符合要求，所以的取值范圍是.例5.在數(shù)列中，若， ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（2008年全國改編）分析：當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，又可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，分離參數(shù)得, ,