第十三章 積分變換法求解定解問題

1、編輯ppt1 在復(fù)變函數(shù)理論中，我們?cè)美绽棺儞Q法求在復(fù)變函數(shù)理論中，我們?cè)美绽棺儞Q法求解常微分方程經(jīng)過變換，常微分方程變成了代數(shù)方解常微分方程經(jīng)過變換，常微分方程變成了代數(shù)方程，解出代數(shù)方程，再進(jìn)行反演就得到了原來常微分程，解出代數(shù)方程，再進(jìn)行反演就得到了原來常微分方程的解方程的解 積分變換法積分變換法是通過積分變換簡(jiǎn)化定解問題的一種是通過積分變換簡(jiǎn)化定解問題的一種有效的求解方法有效的求解方法2編輯ppt 對(duì)于多個(gè)自變量的線性偏微分方程，可以通過實(shí)施積對(duì)于多個(gè)自變量的線性偏微分方程，可以通過實(shí)施積分變換來減少方程的自變量個(gè)數(shù)，直至化為常微分方程，分變換來減少方程的自變量個(gè)數(shù)，直至化

2、為常微分方程，這就使問題得到大大簡(jiǎn)化，再進(jìn)行反演，就得到了原來偏這就使問題得到大大簡(jiǎn)化，再進(jìn)行反演，就得到了原來偏微分方程的解微分方程的解 積分變換法在數(shù)學(xué)物理方程（也包括積分方程、差分積分變換法在數(shù)學(xué)物理方程（也包括積分方程、差分方程等）中亦具有廣泛的用途方程等）中亦具有廣泛的用途尤其當(dāng)泛定方程及邊界條尤其當(dāng)泛定方程及邊界條件均為非齊次時(shí)，件均為非齊次時(shí)，用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些煩瑣和笨挫，而積分變換法為這類問題提供了一種系統(tǒng)的煩瑣和笨挫，而積分變換法為這類問題提供了一種系統(tǒng)的解決方法，并且顯得具有固定的程序，按照解法程序進(jìn)行解決方法，并且顯得具有

3、固定的程序，按照解法程序進(jìn)行易于求解利用積分變換，有時(shí)還能得到有限形式的解，易于求解利用積分變換，有時(shí)還能得到有限形式的解，而這往往是用分離變量法不能得到的而這往往是用分離變量法不能得到的3編輯ppt 特別是特別是對(duì)于無界或半無界的定界問題對(duì)于無界或半無界的定界問題，用積，用積分變換來求解，最合適不過了（注明：無界或半分變換來求解，最合適不過了（注明：無界或半無界的定界問題也可以用行波法求解）無界的定界問題也可以用行波法求解）用積分變換求解定解問題的步驟為：用積分變換求解定解問題的步驟為：第一第一：根據(jù)自變量的：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件變化范圍和定解條件確定選擇確定選擇適當(dāng)?shù)倪m當(dāng)?shù)姆e分變

4、換積分變換；對(duì)于自變量在對(duì)于自變量在 (,) 內(nèi)變化的定解問題內(nèi)變化的定解問題（如無界域的坐標(biāo)變量）常采用（如無界域的坐標(biāo)變量）常采用傅氏變換傅氏變換，4編輯ppt(0,)第二第二：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)含兩個(gè)自變量含兩個(gè)自變量的偏的偏 微分方程化為微分方程化為一個(gè)含參量一個(gè)含參量的常微分方程；的常微分方程；第三第三：對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，導(dǎo)出常微分方程的定：對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，導(dǎo)出常微分方程的定 解條件；解條件；第四第四：求解：求解常微分方程的解常微分方程的解，即為原定解問題的變換；，即為原定解問題的變換；第五第五：對(duì)所得解?。簩?duì)所得解取逆變換逆變換，最后得

5、，最后得原定解問題的解原定解問題的解 自變量在自變量在 內(nèi)變化的定解問題（如時(shí)間變量）內(nèi)變化的定解問題（如時(shí)間變量）常采用常采用拉氏變換拉氏變換 5編輯ppt 用用分離變量法求解有限空間的定解問題分離變量法求解有限空間的定解問題時(shí)，所得時(shí)，所得到的到的本征值譜本征值譜是分立的，所求的解可表為對(duì)分立本征是分立的，所求的解可表為對(duì)分立本征值求和的值求和的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 對(duì)于無限空間，用分離變量法求解定解問題時(shí)，對(duì)于無限空間，用分離變量法求解定解問題時(shí)，所得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求的解可表為所得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求的解可表為對(duì)對(duì)連續(xù)本征值求積分的傅里葉積分連續(xù)本征值求積分的傅里

6、葉積分 因此，對(duì)于因此，對(duì)于無限空間的定解無限空間的定解問題，傅里葉變換是問題，傅里葉變換是一種很適用的求解方法一種很適用的求解方法6編輯ppt下面的討論我們假設(shè)待求解的函數(shù)下面的討論我們假設(shè)待求解的函數(shù)u及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的 . . 13.1.1 13.1.1 弦振動(dòng)問題弦振動(dòng)問題例例13.1.1 13.1.1 求解無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)定解問題求解無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)定解問題（假定假定：函數(shù)：函數(shù)u及其及其一階導(dǎo)數(shù)是有限一階導(dǎo)數(shù)是有限的，以后不再特別的，以后不再特別指出這一定解問題在行波法中已經(jīng)介紹指出這一定解問題在行波法中已經(jīng)介紹. . 2000,()|( ) |( )tt

7、xxtttua uxuxux 7編輯ppt【解解】 應(yīng)用傅里葉變換，即用應(yīng)用傅里葉變換，即用 i xe遍乘定解問題中的各式，遍乘定解問題中的各式，并對(duì)并對(duì)空間變量空間變量x x積分積分（這里把時(shí)間變量看成參數(shù)），按照傅（這里把時(shí)間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的里葉變換的定義，我們采用如下的傅氏變換對(duì)傅氏變換對(duì)： ii( , )( , )d1( , )( , )d2xxUtu x t exu x tUt e簡(jiǎn)化表示為簡(jiǎn)化表示為 ( , )( , )u x tUtF8編輯ppt對(duì)其它函數(shù)也作傅氏變換，即為對(duì)其它函數(shù)也作傅氏變換，即為( )( ) ( )( )xxFF于是原定解

8、問題變換為下列于是原定解問題變換為下列常微分方程的定解問題常微分方程的定解問題222200( , )0( , )|( , )(|)tttUaUttUtUt上述常微分方程的通解為上述常微分方程的通解為ii( , )( )( )atatUtAeBe9編輯ppt代入代入初始條件初始條件可以定出可以定出11 1( )( )( )22 i11 1( )( )( )22 iAaBa這樣這樣iiii111( , )( )( )( )22i21 ( )2i( ) ( )cos()sin()atatatatUteeeaeaatata 10編輯ppt最后，上式乘以最后，上式乘以 12 并作并作逆傅氏變換逆傅氏變換

9、應(yīng)用應(yīng)用延遲定延遲定理和積分定理得到理和積分定理得到11( , ) ()()( )d22x atx atu x tx atx ata 這正是前面學(xué)過的的達(dá)朗貝爾公式這正是前面學(xué)過的的達(dá)朗貝爾公式. .11編輯ppt 為了說明為了說明傅氏變換法解非齊次方程傅氏變換法解非齊次方程特別簡(jiǎn)便，特別簡(jiǎn)便， 我們特舉一我們特舉一強(qiáng)迫弦振動(dòng)強(qiáng)迫弦振動(dòng)問題：?jiǎn)栴}：求解無限長(zhǎng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程的初值問題求解無限長(zhǎng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程的初值問題200( , ), ()|( ) |( )ttxxtttua uf x txuxux 【解解】根據(jù)與例根據(jù)與例13.1.1 13.1.1 相同的方法，相同的方法，作傅氏變換作傅氏

10、變換例例13.1.212編輯ppt ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( ), ( )( )u x tUtf x tFtxx FFFF我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列常微分方常微分方程的問題程的問題222200( , )( , )( , )|( ),( , )|( ),tttUaUtFttUtUt 13編輯ppt上述問題的解為上述問題的解為 01( )( , )( , )sin() d( )cos()sin()tUtFa tata taa利用利用傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì)有有01 1 ( , )( , )1( , )( , )dixxF

11、tf x tFf FF故得到故得到0()1i()1( , )( , )dix a ta txeFtf F14編輯ppti()i()1sin()2ia ta ta tee代入得到代入得到00()()01( , )( , )d( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a txxx atx atu x tffax atx ata 即得即得()0()1( , )( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a tx atx atu x tfaxatxata 15編輯ppt13.1.2 13.1.2 熱傳導(dǎo)問題熱傳導(dǎo)問題例例13.1.3 13.1.3 求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳

12、導(dǎo)（無熱源）問題求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題200, (,0)|( ) txxtua uxtux 【解解】 作傅氏變換作傅氏變換， ( , )( , )u x tUtF ( )( )x F定解問題變換為定解問題變換為22( , )0( ,0)( )Ua UtU 16編輯ppt常微分方程的初值問題的解是常微分方程的初值問題的解是 22( , )( )a tUte 再進(jìn)行逆傅里葉變換，再進(jìn)行逆傅里葉變換，2 22 21iii1( , ) ( , )( )d21 ( )d d2a txa txu x tUteeeee F交換積分次序交換積分次序22i ()1( , )( )d d2a txu

13、 x tee 17編輯ppt引用積分公式引用積分公式22224d()aeee且令且令 ,i()a tx以便利用積分公式，即以便利用積分公式，即得到得到22()41( , )( )d2xa tu x teat 18編輯ppt例例13.1.4 13.1.4 求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)方程定解問題求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)方程定解問題20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux 【解解】 利用利用 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( )u xtUtf xtFtxFFF對(duì)定解問題作對(duì)定解問題作傅氏變換傅氏變換，得到常微分方程的定解問題，得到常微分方程的定

14、解問題 19編輯ppt22( , )( , )( ,0)( ) Ua UtFtU上述問題的解為上述問題的解為2222()0( , )( )( , )dtatatUteFe 為了求出上式的逆變換，利用下面為了求出上式的逆變換，利用下面傅氏變換的卷積公式傅氏變換的卷積公式，即，即 若若 11 ( )( ), ( )( ),Gg xFf xFF則則 1 ( ) ( )() ( )dFGf xgF20編輯ppt而積分而積分 222i211dexp242atxxea tat即為即為 222121exp42atxea tatF最后得到定解問題的解為最后得到定解問題的解為2222()()t4()4011(

15、, )( , )( )ddd22xxa ta tfu xteeatat 21編輯ppt13.1.3 13.1.3 穩(wěn)定場(chǎng)問題穩(wěn)定場(chǎng)問題 我們先給出求半平面內(nèi)我們先給出求半平面內(nèi) (0)y 拉普拉斯方程的第一拉普拉斯方程的第一邊值問題的傅氏變換邊值問題的傅氏變換 系統(tǒng)解法系統(tǒng)解法例例 13.1.5 13.1.5 定解問題定解問題x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyuuxyu xf xu x y 22編輯ppt 【解解】 對(duì)于變量對(duì)于變量 x作作傅氏變換傅氏變換，有，有1 ( , )( , ), ( )( )u x yUyf xFFF定解問題變換為常微分方程定解問題變換為

16、常微分方程 222( , ) 0,( ,0)( )lim ( , ) 0UUyyUFUy23編輯ppt因?yàn)橐驗(yàn)?可取正、負(fù)值，所以可取正、負(fù)值，所以常微分定解問題的通解常微分定解問題的通解為為 | | |( , )( )( )yyU x yCeDe因?yàn)橐驗(yàn)?lim( , )0Uy，故得到，故得到( )0, ( )( )CDF常微分方程的解為常微分方程的解為| |( , )( )yUyFe設(shè)設(shè) | |( , )yGye24編輯ppt根據(jù)傅氏變換定義，根據(jù)傅氏變換定義， | |ye的的傅氏逆變換傅氏逆變換為為0| |iii02211ddd 22111 2ii()yxyxyxeeeeyy x y x

17、xy再利用再利用卷積公式卷積公式 1( )( )( ) ()dFGfg xF最后得到最后得到原定解問題的解原定解問題的解為為22( )( , )d()yfu x yxy25編輯ppt13.2 13.2 拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理定解問題拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理定解問題 由于要作由于要作傅氏變換的函數(shù)傅氏變換的函數(shù)必須定義在必須定義在 上，故當(dāng)我們討論上，故當(dāng)我們討論半無界問題半無界問題時(shí)，就不能對(duì)變量時(shí)，就不能對(duì)變量x作傅氏變換了作傅氏變換了 ),( 因此本節(jié)介紹另一種變換法：因此本節(jié)介紹另一種變換法：拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法求解定解問題求解定解問題 26編輯ppt13.2.1 13.2.1 無界區(qū)域的問題無界區(qū)域的問題例例15.2.1 15.2.1 求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux (13.2.1)【解解】 先對(duì)時(shí)間先對(duì)時(shí)間t作作拉氏變換拉氏變換 ( , )( , ), ( , )( , )u x tU x pf x tF x pLL ( , )( , )( ,0) tu xtpU x pu xL27編輯ppt由此由此原定解問題中的泛定方程原定解問題中的泛定方程變?yōu)樽優(yōu)?22222d11( )( , )0 dU