集合與集合的關(guān)系

1、1.1.2集合間的基本關(guān)系1Venn圖在數(shù)學中，用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖比如，中國的直轄市組成的集合為A，用Venn圖表示如圖所示【例1】試用Venn圖表示集合Ax|x2160解：集合A是方程x2160的解集，解方程x2160，得x14，x24，所以A4,4，用Venn圖表示如圖所示談重點 對Venn圖的理解Venn圖表示集合直觀、明確，封閉曲線可以是矩形、橢圓或圓等等，沒有限制2子集定義一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集記法與讀法記作AB(或BA)，讀作“A含于B”(或“B包

2、含A”)圖示 或 示例具有北京市東城區(qū)戶口的人組成集合M，具有北京市戶口的人組成集合P，由于任意一個具有北京市東城區(qū)戶口的人都具有北京市戶口，所以有MP結(jié)論(1)任何一個集合是它本身的子集，即AA(2)對于集合A，B，C，若AB，且BC，則AC釋疑點 對子集的理解(1)“AB”的含義：若xA就能推出xB(2)集合A是集合B的子集不能理解為集合A是由集合B中的“部分元素”組成的，因為集合A可能是空集，也可能是集合B(3)如果集合A中存在著不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A此時記作AB或BA(4)注意符號“”與“”的區(qū)別：“”只用于集合與集合之間，如0N，而不能寫成0N；“”只能

3、用于元素與集合之間，如0N，而不能寫成0N【例21】已知集合M0,1，集合N0,2,1m，若MN，則實數(shù)m_解析：由題意知MN，又集合M0,1，因此1N，即1m1故m0答案：0【例22】已知集合MxZ|1x3，Nx|x|y|，yM，試判斷集合M，N的關(guān)系解：xZ，且1x3，x的可能取值為1,0,1,2M1,0,1,2又yM，|y|分別是0,1,2N0,1,2NM3集合相等如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A與集合B相等，記作AB用Venn圖表示如圖所示談重點 對集合相等的理解(1)ABAB，且BA，這是證明兩個集合相等的重要依據(jù)；(2)集合相等還可以用元

4、素的觀點來定義：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等；(3)同一個集合，可以有不同的表示方法，這也是定義兩個集合相等的意義所在；(4)集合中的關(guān)系與實數(shù)中的結(jié)論類比實數(shù)集合ab包含兩層含義：ab，或abAB包含兩層含義：AB，或AB若ab，且ab，則ab若AB，且AB，則AB若ab，bc，則ac若AB，BC，則AC【例31】下列集合中，PQ的是()AP1,4,7，Q1,4,6 BPx|2x20，Q1C3P,3Q DPQ解析：對于A項，7P，而7Q，故PQ；對于B項，Px|2x201Q；對于C項，由3P,3Q，不能確定PQ，QP是否同時成立；對于D項，

5、僅由PQ無法確定P與Q是否相等 答案：B【例32】設(shè)集合Ax，y，B0，x2，若AB，求實數(shù)x，y的值解：由集合相等的定義，得或(1)由得x0，y0，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；(2)由得x0，y0或x1，y0，由(1)知x0，y0應(yīng)舍去，x1，y0符合集合中元素的互異性綜上，可得x1，y04真子集定義如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集記法記作AB(或BA)圖示結(jié)論(1)AB且BC，則AC；(2)AB且AB，則AB談重點 對真子集的理解(1)若集合A是集合B的子集，則集合A中所有元素都屬于集合B，并且集合B中至少有一個元素不屬于集合A；(2)子集包括集合相

6、等與真子集兩種情況，真子集是以子集為前提的若集合A不是集合B的子集，則集合A一定不是集合B的真子集；(3)與任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集【例4】已知集合P2 012,2 013，Q2 011,2 012，2 013，2 014，則有()APQ BQP CPQ DQP解析：很明顯，集合P中的元素都屬于集合Q，則PQ，但是2 014Q,2 014P，所以PQ 答案：C5空集定義我們把不含任何元素的集合，叫做空集記法規(guī)定空集是任何集合的子集，即A特性(1)空集只有一個子集，即它本身，(2)是任何非空集合的真子集，即若A，則A釋疑點 0與的區(qū)別0與的區(qū)別0是含有一個元素的集

7、合是不含任何元素的集合，因此0，注意不能寫成0，0【例51】下列集合為空集的是()A0 B1 Cx|x0 Dx|1x20解析：很明顯0和1都不是空集；因為x|x0是全體負數(shù)組成的集合，所以x|x0也不是空集；集合x|1x20是一元二次方程1x20的解集，但是方程1x20無實數(shù)解，所以x|1x20 答案：D【例52】有下列命題：空集沒有子集；任一集合至少有兩個子集；空集是任何集合的真子集；若A，則A其中正確的有()A0個 B1個 C2個 D3個解析：對于，空集是任何集合的子集，故，錯；對于，只有一個子集，是其自身，錯；對于，空集不是空集的真子集，錯；空集是任何非空集合的真子集，正確 答案：B6集

8、合間的關(guān)系判斷(1)集合A，B間的關(guān)系(2)判斷兩集合間關(guān)系的關(guān)鍵是弄清所給集合是由哪些元素組成的，也就是把抽象的集合具體化，這就要求熟練地用自然語言、符號語言(列舉法和描述法)、圖形語言(Venn圖)來表示集合(3)判斷集合間的關(guān)系，其方法主要有三種：一一列舉觀察；集合元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系一般地，設(shè)集合Ax|p(x)，Bx|q(x)，若p(x)推出q(x)，則AB；若q(x)推出p(x)，則BA；若p(x)，q(x)互相推出，則AB；若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，則集合A，B無包含關(guān)系數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸

9、或Venn圖(4)當MN和MN均成立時，MN比MN更準確地反映了集合M和N的關(guān)系當MN和MN均成立時，MN比MN更準確地反映了集合M和N的關(guān)系例如，集合M1，集合N1,2，這時MN和MN均成立，MN比MN更準確地反映了集合M1和集合N1,2的關(guān)系又例如，集合M3，集合N3，這時MN，NM，MN均成立，MN比MN更準確地反映了集合M3和集合N3的關(guān)系【例61】指出下列各對集合之間的關(guān)系：(1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；(2)Ax|x是等邊三角形，Bx|x是等腰三角形；(3)Ax|1x4，Bx|x50；(4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*分析：先找

10、到集合中元素的特征，再由特征判斷集合之間的關(guān)系解：(1)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與B之間無包含關(guān)系(2)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB(3)集合Bx|x5，用數(shù)軸表示集合A，B如圖所示，由圖可知AB(4)由列舉法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，故NM點技巧 怎樣用數(shù)軸表示集合對于連續(xù)實數(shù)組成的集合，通常用數(shù)軸來表示，這也屬于集合表示的圖示法注意在數(shù)軸上，若端點值是集合的元素，則用實心點表示；若端點值不是集合的元素，則用空心點表示【例62】已知集合，則集合M，N的關(guān)系是()AMN BMN CNM DNM解析：設(shè)n2m或2m

11、1，mZ，則有又，MN答案：B7求已知集合的子集(或真子集)(1)在寫出某個集合的子集時，可以按照集合中元素的個數(shù)從無到有、從少到多的順序依次寫出，要做到不重不漏一定要考慮這一特殊的集合，因為是任何集合的子集；若是要求寫出某個集合的真子集，則不能將集合自身計算在內(nèi)，因為任何一個集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集例如：寫出集合1,2,3的所有子集和真子集我們可以按照元素個數(shù)從少到多依次寫出，其中元素個數(shù)分別為0,1,2,3可以得到集合1,2,3的所有子集為，1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3；所有真子集為，1，2，3，1,2，1,3，2,3(2)當集合A中含有n個元素時，其子

12、集的個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2n1，非空子集的個數(shù)為2n1，非空真子集的個數(shù)為2n2【例71】已知集合M滿足1,2M1,2,3,4,5，請寫出集合M分析：根據(jù)題目給出的條件可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M中必須含有元素1,2，故可按M中所含元素的個數(shù)分類寫出集合M解：(1)當M中含有兩個元素時，M為1,2；(2)當M中含有三個元素時，M為1,2,3，1,2,4，1，2,5；(3)當M中含有四個元素時，M為1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5；(4)當M中含有五個元素時，M為1,2,3,4,5因此滿足條件的集合M為：1,2，1,2,3，1,2,4

13、，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,2,3,4,5點技巧 有限集合子集的確定技巧(1)確定所求的集合； (2)合理分類，按照子集所含元素的個數(shù)依次寫出；(3)注意兩個特殊的集合，即空集和集合自身，看它們是否能取到【例72】設(shè)集合Aa，b，c，BT|TA，求集合B解：Aa，b，c，又TA，T可能為，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，cB，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c【例73】已知集合A1,3,5，求集合A的所有子集的元素之和解：集合A的子集分別是：，1，3，5，1,3，1,5，3,5，1,3,5注意到A中的每個元素分別出現(xiàn)在A的4個子集中

14、，即在其和中出現(xiàn)4次故所求之和為(135)×436析規(guī)律 集合所有子集的元素之和的計算公式若集合Aa1，a2，a3，an，則A的所有子集的元素之和為(a1a2an)·2n18集合間的基本關(guān)系與方程的綜合問題集合間的基本關(guān)系與方程的綜合問題，通常是已知兩個表示方程解集的集合間的關(guān)系，求方程中未知參數(shù)的取值范圍解決此類問題應(yīng)注意：(1)要明確表示方程解集的集合中哪個字母是方程中的未知數(shù)集合x|f(x)0表示關(guān)于x的方程的解集，x是未知數(shù)，其他字母是常數(shù)例如集合x|mx2x230表示關(guān)于x的方程mx2x230的解集，其中x是未知數(shù)，m是常數(shù)此方程易錯認為是一元二次方程，其原因是忽

15、視了其中的參數(shù)m的取值當m0時，該方程為x230，是一元一次方程；當m0時，該方程為mx2x230，此時才是關(guān)于x的一元二次方程(2)正確理解集合包含關(guān)系的含義，特別是AB的含義當B時，對于AB，通常要分A和A兩種情況進行討論，此時，容易忽視A的情況(3)對于二次項系數(shù)中含有參數(shù)的方程的解集問題，注意要對二次項系數(shù)是否為零進行討論【例81】若集合Ax|x2x60，Bx|mx10且BA，求m的值分析：由于BA，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由于集合B的元素x滿足mx10，又字母m的范圍不明確，m是否為0題目沒有明示，因此要進行分類討論本題應(yīng)弄清楚兩個問題：一是集合B有沒有元素；二是集合

16、B有元素時，元素是什么解：Ax|x2x603,2因為BA，所以方程mx10的解可以是3或2或無解當mx10的解為3時，由3m10得；當mx10的解為2時，由2m10得；當mx10無解時，m0綜上可知，m的值為或或0【例82】設(shè)集合Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，若BA，求實數(shù)a的值或取值范圍解：由題意得A0，4，BA(1)當AB時，即B0，4由此知，0，4是方程x22(a1)xa210的兩根，由韋達定理知解得a1(2)當B時，4(a1)24(a21)0，解得a1(3)當B為單元素集時，4(a1)24(a21)0，解得a1當a1時，Bx|x200A，滿足條件綜上所述，所求實數(shù)a

17、的取值范圍為a1或a19集合間的基本關(guān)系與不等式的綜合問題用圖形來表示數(shù)，形象而直觀，因此數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學中廣泛應(yīng)用數(shù)軸是表示實數(shù)的，任何一個實數(shù)在數(shù)軸上均可用一個點來表示，反之，數(shù)軸上任何一點都代表一個實數(shù)，在數(shù)軸上表示一個不等式的取值范圍，形象而直觀在數(shù)軸上表示集合時，要注意端點用實心點還是空心點，若包含端點，則用實心點表示，若不包含端點，則用空心點表示集合間的基本關(guān)系與不等式的綜合問題，通常是已知兩個不等式解集的關(guān)系，求不等式中參數(shù)的值(或取值范圍)，解決此類問題應(yīng)注意：(1)要明確表示不等式解集的集合中哪個字母是不等式的未知數(shù)集合x|f(x)0，x|f(x)0，x|f(x)0，x|

18、f(x)0均表示關(guān)于x的不等式的解集，x是未知數(shù)，其他字母是常數(shù)例如，集合x|nx30表示關(guān)于x的不等式nx30的解集，x是未知數(shù)，n是常數(shù)這個方程易錯認為是一元一次不等式，其原因是忽視了其中的參數(shù)n的取值當n0時，該不等式為30，不是一元一次不等式；當n0時，該不等式才是關(guān)于x的一元一次不等式(2)用不等號連接的式子稱為不等式，例如23和32都是不等式，有了這種對不等式概念的正確理解就不會認為m1x2m1中m12m1一定成立【例91】已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且BA，求實數(shù)m的取值范圍分析：集合A中是一個用具體數(shù)字表示的不等式，集合B中是一個用字母m表示的不等式，集合A給出的不等式在數(shù)軸上表示為2到5的線段(去掉兩個端點)，集合B給出的不等式，m1與2m1的大小關(guān)系有兩種情形：當m12m1時x，所以BA一定成立；當m12m1時，可借助于數(shù)軸來分析解決解：BA，A，B或B當B時，m12m1，解得m2當B時，如數(shù)軸所示則有解得因此2m3綜上所述，m的取值范圍為m2或2m3，即m3【例92】已知集