高一函數(shù)主要知識點和解決方法及典型例題

1、函數(shù)主要知識點和解決方法及典型例題一、函數(shù)的概念與表示1、函數(shù);值域.構(gòu)成函數(shù)概念的三要素 定義域；對應(yīng)法則 兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件：三要素有兩個相同 例1、下列各對函數(shù)中，相同的是(A、 f(x),2lg x , g(x) 21g xB、f(x)x 1lg-n,g(x) lg(x 1) lg(x 1)C、f (u)D、1 u.1 u,g(v)f (x)二x,f (x) , x2例2、Mx |0 x 2, Ny|0y 3給出下列四個圖形， 其中能表示從集合 M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(A、 0個D、B、 1個2個C、O2二、函數(shù)的定義域1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù):(1)(2)(3)(4)分式

2、的分母不為零；偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義;對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;例1、(05江蘇卷)函數(shù) y Jlog0.5(4x2 3x)的定義域為2、抽象函數(shù)定義域問題的幾種題型及求法.、已知f(x)的定義域，求f g(x)的定義域其解法是：若f (x)的定義域為a & x & b ,則在f g(x)中，a < g(x) < b ,從中解得x的取值范圍即為f g(x)的定義域.已知函數(shù)f(x)的定義域為1,5 ,求f(3x 5)的定義域.分析：該函數(shù)是由 u 3x 5和f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，

3、u是中間變量,由于f(x)與f (u)是同一個函數(shù)，因此這里是已知1&u&5,即103x 505,求x的取值范圍.一，410解：Qf(x)的定義域為1,5 , K 3x 5< 5 ,- < x< ,33一，一4 10故函數(shù)f(3x 5)的定義域為 -,10 .3 3(2)、已知f g(x)的定義域，求f(x)的定義域其解法是：若f g(x)的定義域為 m< x< n ,則由m < x < n確定的g(x)的范圍即為 f (x)的定義域.例2已知函數(shù)f(x2 2x 2)的定義域為 0,3 ,求函數(shù)f(x)的定義域.分析：令 u x2 2x

4、 2,則 f(x2 2x 2) f(u),由于f (u)與f (x)是同一函數(shù)，因此u的取值范圍即為f (x)的定義域.解：由0&x&3,得 1Wx2 2x 2W5.令 u x2 2x 2,則 f(x2 2x 2) f (u) , 1< u<5,故f (x)的定義域為1,5 .(3)、運算型的抽象函數(shù)求由有限個抽象函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個函數(shù)的定義域，然后再求交集.例3 若f(x)的定義域為3,5 ,求(x) f( x) f (2x 5)的定義域. 一.3< x<5,一解：由f(x)的定義域為3,5 ,則(x)必有'

5、 解得4&x&0.3< 2x 5< 5,所以函數(shù) (x)的定義域為4,0 .例2、已知f(x)的定義域是-2,5,求f(2x+3)的定義域.例3、已知f (2x1用定義域是-1,3,求* x)的定義域.三、函數(shù)的值域 求函數(shù)值域的方法: 直接法：從自變量 x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復(fù)合函數(shù)；換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖)；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域例題、求下列函數(shù)的值域：1 .(直接法) y ； f (x

6、) 2 J24 2x x2x 2x 32.(換元法)y x .2x13 .(分離常數(shù)法)y、，34 .(單調(diào)性)y x (x 1,3); 2x- 3x 1 y k (2x4).2x 15.(圖象法 y 3 2x x2( 1 x 2).函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法。例1設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且ff(x) 4x 3,求f(x)解：設(shè) f (x) ax b (a 0),則ff(x)af (x) b a(ax b)b a2x ab ba2 4ab b 3f (x) 2x 1 或f (x) 2x 3(2)配湊法：已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式，求f(x)的解

7、析式,fg(x)的表達(dá)式容易配成g(x)的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)f (x)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是g(x)的值域。121例2已知f(x 1) x2 匕(x 0),求f(x)的解析式 x x11c1斛： f (x ) (x )2 , x - 2xxxf(x) x2 2 (x 2)(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時，還可以用換元法求 f(x)的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例3已知f(Jx 1) x 2求f(x 1)解：令 t <x 1,則 t 1 , x (t 1)2Q(4)構(gòu)造方程組法：若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變

8、量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造 方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式。1_例 4 設(shè) f(x)滿足 f(x) 2 f () x,求 f(x)x解1 一 一例5設(shè)f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，又f (x) g(x) ，求f (x)和g(x)的解析式x 1解(5)賦值法：當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。例6已知：f (0) 1 ,對于任意實數(shù)x、y,等式f(x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，求f (x)解Q對于任意實數(shù)x、y,等式f(x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，不妨令 x 0,則有

9、 f( y) f (0) y( y 1) 1 y(y 1) y2 y 1再令 y x得函數(shù)解析式為：f (x)x2 x 1五.函數(shù)的奇偶性1 .定義：設(shè)y=f(x) , x C A ,如果對于任意x C A ,都有f ( x) f (x),則稱y=f(x)為偶函 數(shù).如果對于任意x CA,都有f( x) f (x),則稱y=f(x)為奇函數(shù).2 .y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則 f(0)=0奇垃=奇；偶如=偶；奇淌=偶；偶M禺二偶；奇M禺=奇兩函數(shù)的定義域D1 , D2, D1 PD

10、2要關(guān)于 原點對稱3 .奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點對稱看f(x)與f(-x)的關(guān)系例1.已知函數(shù)f(x)是定義在(,)上的偶函數(shù).當(dāng)x (,0)時，f(x) x x4,則當(dāng) x (0,)時，f(x) .2x b例2、已知定義域為 R的函數(shù)f(x) 21 b是奇函數(shù). 2x a(i)求a,b的值；(n)若對任意的t R,不等式f(t2 2t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范圍.例3、若奇函數(shù)f(x)(x R)滿足f1 , f(x 2) f (x) f (2),則f六、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的定義：2、設(shè)yf g x是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則y f g x在m上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則 y f g x在M上是增函數(shù).例1、判斷函數(shù)f