信息類高等數(shù)學(xué)12第二章

1、第十二章第十二章 多元函數(shù)的積分多元函數(shù)的積分12.1 12.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)12.2 12.2 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算12.3 12.3 二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用12.1 12.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)12.1.112.1.1 二重積分的概念二重積分的概念12.1.212.1.2 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)12.1.3 12.1.3 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)12.1.112.1.1 二重積分的概念二重積分的概念d設(shè)有一立體，它的底是設(shè)有一立體，它的底是xoy平面上的有界閉區(qū)域平面上的有界閉區(qū)域d，它的，它的側(cè)面是以側(cè)面是以d的邊界曲線為準(zhǔn)線

2、而母線平行于的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面， 它的軸的柱面， 它的頂是曲面頂是曲面( , )zf x y， 這里， 這里( , )f x y0 0且在且在d上連續(xù)上連續(xù) （圖（圖12.212.2） . . xyabo圖圖 12.1( )yf xxxdxdsyxz( , )zf x yd圖圖 12.2o該立體稱為曲頂柱體該立體稱為曲頂柱體. .現(xiàn)在我們來討論它的體積現(xiàn)在我們來討論它的體積. . 12.1.212.1.2 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)12( , )d( , )d( , )ddddf x yf x yf x y. .12.1.3 12.1.3 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)y0 x圖 12

3、.31010101012.2 12.2 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算12.2.1 12.2.1 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分12.2.212.2.2 在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分12.2.3 12.2.3 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)12.2.112.2.1 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分1 1. . 矩矩形形區(qū)區(qū)域域上上二二重重積積分分的的計(jì)計(jì)算算 0()a x0 xxy圖圖 12.4obacd( , )zf x yz解解 觀觀察察易易知知，所所求求立立體體體體積積為為函函數(shù)數(shù)22224zxyxy在在矩矩形形區(qū)區(qū)域域( , ) 02,02

4、dx yxy上上的的二二重重積積分分. . 223220 0124 d3x yyxyyyx xzo22422224zxyxy圖圖12.5y2 2. . 一一般般區(qū)區(qū)域域上上二二重重積積分分的的計(jì)計(jì)算算 o1( )xx y2( )xxydcdyx圖12.7xyabod1( )yy x2( )yyx圖12.6xy1d2d3d圖12.8o例例 12.3 12.3 計(jì)算計(jì)算2d ddx y x y，其中，其中22:1,0,0.d xyxy 1 12435 0 011 111()d()22 3515|xxxxxxy圖12.8od 2224 11(2)d2yyyy 22346 11(44)d2yyyyy

5、23457 11 4111359().2 35770|yyyy如果將如果將d看成看成x型區(qū)域，就必須用直線型區(qū)域，就必須用直線1x 將將d分成分成1d和和2d兩個(gè)區(qū)域（圖兩個(gè)區(qū)域（圖 12.1112.11） xy圖圖 12.102112xy(4,2)( 1,1)2xyoxy圖圖 12.11211(4,2)( 1,1)oyx yx2yx1d2d其中其中 12.2.212.2.2 在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分0 xdrrdrd( )a0 xdddrrd( )b圖 12.12設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域12( , )( )( ),drrrr，其中，其中1( )r、2( )r為為 ， 上的

6、連續(xù)函數(shù)（如圖上的連續(xù)函數(shù)（如圖 12.1312.13） 若若 極極 點(diǎn)點(diǎn)o o在在 區(qū)區(qū) 域域d d的的 內(nèi)內(nèi) 部部 ， 區(qū)區(qū) 域域 可可 表表 示示 為為( , ) 0( ),02drrr，其其中中( )r是是區(qū)區(qū)域域d的的邊邊界界曲曲線線（如如圖圖 1 12 2. .1 14 4）. . 2 ( ) 0 0( cos , sin )d( cos , sin ) drdf rrrdrdf rrr r. . （1 12 2. .6 6） 圖圖 12.130 xd1( )rr2( )rrx圖圖 12.14od( )rr21 ( ) ( )( cos , sin )d( cos , sin )

7、d .rrdf rrrdrdf rrr r(12.5)2 0 01(e) d2|ar22 011(e1)d(1 e)22aa .xyo22yxx2cos( )r(或d( )b圖 12.15xyzo( )a212.2.3 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)12.3 12.3 二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用12.3.1 12.3.1 平面薄板的質(zhì)量平面薄板的質(zhì)量12.3.2 12.3.2 平面薄板的質(zhì)心平面薄板的質(zhì)心12.3.3 12.3.3 平面薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量12.3.4 12.3.4 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)12.3.112.3.1 平面薄板的質(zhì)量平面薄板的質(zhì)量xyod圖 12.16(0, )aayax(0, )ba12.3.2 12.3.2 平面薄板的質(zhì)心平面薄板的質(zhì)心 !dd( , )d!nmyx mxx yrnrdd( , )dmxy myx yxyo