二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性

1、9.2 二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性1、二元函數(shù)的極限說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時，時， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3 3 求極限求極限 .)sin(

2、lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yx

3、fyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時也可斷言但兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxp處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：2、二元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0 , 0(),(fyxf故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 當(dāng)當(dāng)

4、時時 220yx例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的

5、一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpppp 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點點在在的定義域的內(nèi)點，則的定義域的內(nèi)點，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時，如果時，如果一般地，求一般地，求閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在d d上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個