數(shù)列中的放縮法示例

1、數(shù)列中的放縮法題型示例【例題1】（2015浙江理科樣卷.19）設(shè)數(shù)列滿足性質(zhì):，.（I）（i若是等差數(shù)列，求； （ii）是否存在具有性質(zhì)的等比數(shù)列？（II）求證.【解析】（I）（i）設(shè)等差數(shù)列的公差，根據(jù)性質(zhì)，前項(xiàng)和為. 若，=1，； 若，同理可得，.(ii)若，則，與矛盾；若，則，與矛盾.所以不存在滿足性質(zhì)的等比數(shù)列.（II）由已知條件，必有，也必有（，且）.設(shè)是所有中大于0的數(shù)，是所有中小于0的數(shù)，由條件得， .【例題2】（2015浙江省六校聯(lián)考.理科19）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(I）求證是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （II）證明：.【解析】（I）時(shí)，.時(shí)，是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

2、； （II）= 所以.【同步練習(xí)1】(2014年廣東文科19.）設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對于一切正整數(shù)，都有. 【例題3】（2015年015年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)檢測試卷（理科.19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若+=（）.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求證：.【解析】（I）時(shí)，.時(shí)，（+）-（）=，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；（II）. =【同步練習(xí)2】已知數(shù)列滿足，且. （1）求通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，證明：。 【例題4】2014·新課標(biāo)全國卷 已知數(shù)列滿足，.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(

3、2)證明.【解析】(1)由得. 又，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)證明：由(1)知.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，即.于是1<.所以<.【同步練習(xí)3】等比數(shù)列中，前項(xiàng)的和為，且成等差列設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)的和為，證明：【例題5】（2013廣東）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知,（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對一切正整數(shù)，有【解析】（1）；（2） ，.兩式相減，得，整理，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.，.即數(shù)列的通項(xiàng)公式是；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，所以 =.【同步練習(xí)4】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且構(gòu)成等比數(shù)列（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：當(dāng)時(shí)，有【例題6】（2015年浙江高考理科.20）已知數(shù)列滿足=且（n）（1）證明：1（n）；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,證明（n）.【解析】（1），所以，所以，即；（2）由已知，得，所以，又由于和，所以，累加，得，即，因此， 所以 .【同步練習(xí)5】設(shè)數(shù)列滿足：（為正實(shí)數(shù)，