24隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)new

1、1一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法三、參數(shù)方程求導(dǎo)四、相關(guān)變化率第四節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)顯函數(shù)顯函數(shù): :2tanln1.yxyxx如,等一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù): :( , )0f x y 通常用一個(gè)方程來(lái)表示.3100.xyxyxyee ，如等函數(shù)表達(dá)式特點(diǎn)：等號(hào)左端是因變量，右端是含有自變量的式子.函數(shù)表達(dá)式特點(diǎn)：( , )0( , )0 xyf x yxyf x y，若變量和滿足一個(gè)方程在一定條件下，當(dāng) 取某區(qū)間的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足方程的唯一值存在，則稱方程在該區(qū)間確定了一個(gè)隱函數(shù).310 xy 如31xy隱函數(shù)的顯化：隱函數(shù)的顯化： 把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù).隱函數(shù)求導(dǎo)法則

2、隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :0?xydyxyeedx ，如如何求( , )0!f x yx方程的兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)隱函數(shù)如何求導(dǎo)隱函數(shù)如何求導(dǎo)? ?( )yxy x ；(1) 要將視為 的函數(shù)注注意意：自然的想法：將隱函數(shù)顯化，轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)的求導(dǎo).但是，但是， 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? ?.yx(2) 方程中關(guān)于的函數(shù)要視為 的復(fù)合函數(shù)400.xyxxyeedydyydxdx，例1 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解,求導(dǎo)方程兩邊對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0yx由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 5

3、333 33( , )2 2cxyxycc，設(shè)曲線的方程為求過(guò)上點(diǎn)的練切線方程，并證明曲線在該點(diǎn)的法線習(xí)通過(guò)原點(diǎn).解解,求導(dǎo)方程兩邊對(duì) xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy. 1 切線方程切線方程:，)23(23xy. 03 yx即，法線方程2323xy. xy 即，6221yd yyxedx 例 2 已知, 求解：解：求導(dǎo)兩邊對(duì)xyxeeyyyyyxeey1yey2222)()()(yyeyyeyyy 22222)()()(yyeeyyeeyyyyy 3223)()(yyey7441,(0,1).xxyyy設(shè)求在點(diǎn)處的值練習(xí)解解求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)x)1(044

4、33 yyyxyx得代入將) 1 (1, 0yx;4110 yxy求導(dǎo)得兩邊再對(duì)將方程x) 1 ()2(04)(122123222 yyyyyxyx得代入及再將)2(411, 010yxyyx.16110 yxy8如何求下面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？如何求下面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？3sin2(1)1(1)(2)(4)xxxxyyxxe方法方法: : 先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求出導(dǎo)數(shù)導(dǎo)法則求出導(dǎo)數(shù). .-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :( )( ).v xu x多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函數(shù)的情形二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法9解解32(1)11121(4)13(1)4x

5、xxyxexxx 故，兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(lnx上式兩邊對(duì) 求導(dǎo)得142)1(3111 xxxyy32(1)1.(4)xxxyyxe，例3設(shè)求10方法一：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法方法一：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法sin(0).xyxxy例4 設(shè), 求兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得lnsinlnyxxx上式兩邊對(duì) 求導(dǎo)得11coslnsinyxxxyx sinsin(cosln)xxyxxxx方法二：先將冪指函數(shù)轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，然后求導(dǎo)方法二：先將冪指函數(shù)轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，然后求導(dǎo).sinsinln()()xxxyxesinln(sinln )xxexxsinsin(cosln)x

6、xxxxx11( )( ).xtyxyt若參數(shù)方程確定 與 間的函數(shù)關(guān)系，則稱此關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)如何求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)? ?三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)自然的想法：消參數(shù)，求出自然的想法：消參數(shù)，求出 y y 關(guān)于關(guān)于 x x 函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的表達(dá)式. .例如 ,22tytx2xt 22)2(xty42xxy21t消去參數(shù)121( )yx ，于是( )( )( )0,xtytt，再設(shè)都可導(dǎo)，且由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dydydt

7、dxdxdt，即1( )( )( )( ).xtxtyttx，在參數(shù)方程中設(shè)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)但是但是, , 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)? ?13)(22dxdydxddxyd )()(ttdxd )(1)()()()()(2tttttt 223( ) ( )().)( )d yttttdxt即,dxdtttdtd)()( dtdxttdtd1)()( ( )( )xtyt，若還二階可導(dǎo)，14解解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy故，. 1(sin )5.(1 cos )2xa tttyat例求擺線在處的切

8、線方程.),12(,2ayaxt時(shí)當(dāng)切線方程切線方程: :) 12(axay)22(axy即15解解33cos6.sinxatyat 例求由方程表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)dtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 )tan(tdxddxdttdtd)tan(dtdxtdtd1)tan(162323( )sin100yxttyf xetyt ，例 7 設(shè)確定函數(shù)求曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線方程.解解t第二個(gè)方程兩端對(duì) 求導(dǎo),sin1costetedt

9、dyyydxdtdtdydxdy1dydxdtdt261sin1costteteyy, 1, 30yxt,20edxdyt切線方程)3(21xey17( )( ).xx tyy txydxdydtdt設(shè)及都是可導(dǎo)函數(shù)，而變量 與之間存在某種關(guān)系，從而它們的變化率與之間也存在一定關(guān)系，這樣兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?四、相關(guān)變化率18解解500140500例11 一汽球從離開觀察員米處離地面鉛直上升,其速率為米/秒. 當(dāng)氣球高度為米時(shí),觀察員視線的仰角增加率是多少?則的仰角為觀察員視線其高度為秒后設(shè)氣球上升,ht500tanh求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)tdtdhdtd5001sec2,/140秒米因?yàn)閐tdh2sec,5002米時(shí)當(dāng)h)/(14. 0分弧度所以dtd仰角增加率仰角增加率 米米500米米50019解解，30河水以8米 /秒的體流量流入水庫(kù)中水庫(kù)形狀是長(zhǎng)為4000米, 頂角為120 的水槽問水深20米時(shí)水面每小時(shí)上練習(xí)升幾米?則水庫(kù)內(nèi)水量為水深為設(shè)時(shí)刻),(),(tvtht234000)(htv 求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)tdtdhhdtdv 38000,/288003小時(shí)米因?yàn)閐tdv小時(shí)小時(shí)米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米時(shí)所