3無窮小量4函數(shù)的連續(xù)性

1、2021-11-131第三講第三講 ( (一一) ) 無窮小量與無窮大無窮小量與無窮大量量 ( (二二) ) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)二、二、三個重要關(guān)系三個重要關(guān)系三、三、無窮小量的比較無窮小量的比較四、四、求極限舉例求極限舉例五、五、函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、一、無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量2021-11-132定義定義1 1： 在某個變化過程中在某個變化過程中, ,極限為零極限為零 的函數(shù)的函數(shù), ,稱為在此變化過程中的稱為在此變化過程中的 無窮小量（無窮?。o窮小量（無窮?。?。五、無窮小量與無窮大量五、無窮小量與無窮大量（一）定義（一）定義例如：例如：.0sintan,cos1,ta

2、n,sin,2時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小量量都都是是 xxxxxxx.arctan2,12時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小量量都都是是 xxexx 注意：無窮小量是極限 為零的函數(shù)！無窮小量不是絕對值很小的數(shù)！2021-11-133定義定義2 2： 在某個變化過程中在某個變化過程中, ,絕對值無限絕對值無限 變大的函數(shù)變大的函數(shù), ,稱為在此變化過程中的稱為在此變化過程中的 無窮大量（無窮大）無窮大量（無窮大）。 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfgxfxxgxx記記作作無無窮窮大大時(shí)時(shí)為為當(dāng)當(dāng)則則稱稱有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfgxfxx

3、gxx記記作作正正無無窮窮大大時(shí)時(shí)為為當(dāng)當(dāng)則則稱稱有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) 2021-11-134oxy1 o21xy 例例 xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 201limxx2021-11-135（二）無窮小與無窮大的性質(zhì)（二）無窮小與無窮大的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：.)()()()(),()(,)()(,都都是是無無窮窮小小和和為為常常數(shù)數(shù)過過程程中中則則在在此此變變化化都都是是無無窮窮小小和和化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的同同一一個個變變xgxfxgxfcxcfxgxf 注意：注意：性質(zhì)性質(zhì)1只可以推廣到有限個函數(shù)只可以推廣到有限個函數(shù))21(lim222nnnnn 例例212)

4、1(1lim2 nnnn0 2021-11-136.)()(,)(,)(,是是無無窮窮小小此此變變化化過過程程中中則則在在是是有有界界函函數(shù)數(shù)是是無無窮窮小小化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個個變變xgxfxgxf性質(zhì)性質(zhì)2：.)()()0()(,)()(,都都是是無無窮窮大大和和常常數(shù)數(shù)過過程程中中則則在在此此變變化化都都是是無無窮窮大大和和化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的同同一一個個變變xgxfcxcfxgxf 性質(zhì)性質(zhì)3：2021-11-137 例例 例例?sinlim xxx是是有有界界函函數(shù)數(shù)11sin0 xx01sinlim0 xxx1sin,01lim x

5、xxx0)(sin)1(limsinlim xxxxxx?1sinlim0 xxx2021-11-1381.（無窮小與無窮大）（無窮小與無窮大）.)(1,)(,是是無無窮窮小小則則在在這這個個變變化化過過程程中中是是無無窮窮大大化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個個變變xfxf.)(),()()(lim時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中 xxxaxfaxfx 2.（極限與無窮小）（極限與無窮?。ㄈ┤齻€重要關(guān)系（三）三個重要關(guān)系2021-11-1393.無窮大與無界函數(shù)無窮大與無界函數(shù)無無界界。反反之之不不一一定定。則則是是無無窮窮大大化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的

6、某某一一個個變變)(,)(,xfxf問題：問題：兩個無窮小量的商是否為無窮小量？兩個無窮小量的商是否為無窮小量？ xxxxf,sin)(例例2021-11-1310二、無窮小量的比較二、無窮小量的比較.)()(,1)()(lim,;)()(, 0)()(lim)1(.)()(,是是等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)稱稱當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特特別別是是同同階階無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)則則稱稱當(dāng)當(dāng)若若都都是是無無窮窮小小與與過過程程中中設(shè)設(shè)在在自自變變量量的的同同一一變變化化xgxfxxgxfxgxfxaxgxfxgxfxx 定義：定義：)()()(xxgxf記記作作2021-11-1311).()()(.)()(

7、, 0)()(lim)2( xxgxfxgxfxxgxfx記記作作相相比比是是高高階階無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)則則稱稱當(dāng)當(dāng)若若2021-11-1312幾個常用的等價(jià)無窮小量)0(xxxxxaxaxexxxxxxxxxx2111)1ln(ln11arctanarcsintansin 2021-11-1313等價(jià)無窮小量的性質(zhì))(,sin,1)(sinsin,0 xxxxxxxxxx誤誤差差是是時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例 )()()()()()()()(,)(),(,xgxgxfxfxgxfxgxfxgxfx 或或則則無無窮窮小小均均為為時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)性質(zhì)性質(zhì)1：2021-11-1314)()(lim)()(

8、lim)()(lim)()(lim1111xgxgxgxfxfxfxgxfxxxx 存存在在，且且有有均均為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)若若當(dāng)當(dāng))()(lim),()(),()(,)(),(),(),(,111111xgxfxgxgxfxfxgxfxgxfxx性質(zhì)性質(zhì)2：)()(lim)()(lim11xgxfxgxfxx 則則有有等價(jià)代換等價(jià)代換)()(lim)()(lim1100 xgxfxgxfxx 2021-11-1315解解54)12()2(lim)2)(12()2)(2(lim2324lim22222 xxxxxxxxxxxx)232(54)4( ;)232()4( ,22222 xxxxx

9、xx同同階階無無窮窮小小是是與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?2324lim222 xxxx例例1三、求極限舉例三、求極限舉例2021-11-1316?cos1lim20 xxx2222022220)()(sinlim214)()(sin2limxxxxxx 222020sin2limcos1limxxxxxx 21sinlimsinlim21220220 xxxxxx例例2解解2021-11-1317)()(cos12同階xox )()(cos1高階xx )(21cos12等價(jià)xx 21cos1lim20 xxx1cos1lim2210 xxx2021-11-1318xxxx30sinsintanlim 21l

10、im22210 xxx?sinsintanlim30 xxxx例例3解解xxx20sincos1lim xxxxcos1sincos1lim20 2021-11-1319)(sintan3xoxx 2sintan3xxx )(sintan2xxx 0limsinsintanlim3030 xxxxxxxxxxxxxsin,tan,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 討論：討論：代數(shù)和不能代換！代數(shù)和不能代換！2021-11-1320?)1ln(lim0 xxx解解100ln(1)limlimln(1)xxxxxxln1e例例410lnlim(1)xxx2021-11-1321?1lim0 xaxxxexaaxxxx1

11、lim1limln00 axaxxlnlnlim0 ) 0(ln1 xaxax1 (0)xex x解解例例52021-11-1322?tan3)sin23(lim20 xxxxx解解例例6xxxxx20tan3)sin23(lim 23201)sin1(3limxxxxx 2)sin1ln(01lim32xexxx 2320)sin1ln(limxxxx 32sinlim320 xxx1 (0)xex xln(1) (0)xx x2021-11-1323?)sin(cos21lim33 xxx,3ux 作作變變換換ux 3 則則0,3,ux時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)并并且且 解解 )3cos(21cos21ux

12、 又又例例7)sin3sincos3(cos21uu uusin3cos1 2021-11-1324301 2cos1 cos3sinlimlimsinsin()3xuxuuux從而3lim2210 uuu3 01 coslim3sinuuu2021-11-1325連連 續(xù)續(xù) 函函 數(shù)數(shù)2021-11-1326函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的漸變性態(tài)函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的漸變性態(tài), ,在通常意義下，對函數(shù)連續(xù)性有三種在通常意義下，對函數(shù)連續(xù)性有三種描述：描述： 當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的 變化也是微小的；變化也是微小的； 自變量的微小變

13、化不會引起因變量的自變量的微小變化不會引起因變量的 跳變；跳變； 連續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫成連續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫成, ,不斷開不斷開. .2021-11-13272xy xytan 例如：例如：上上連連續(xù)續(xù)在在),( 上上連連續(xù)續(xù)在在)2,2( xysin 2021-11-1328處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 x 0, 2, 0, 1)(xxxfy xyo122021-11-1329處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 xxyo . 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxxxgy2021-11-1330處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 x2021-11-1331.,;,)()(lim,)(0000000的的一一個

14、個間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù)稱稱處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)否否則則稱稱函函數(shù)數(shù)的的一一個個連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù)稱稱處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱函函數(shù)數(shù)如如果果的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)fxxffxxfxfxfxxfxx 定義定義1： 以上描述實(shí)質(zhì)上是同義的反復(fù)以上描述實(shí)質(zhì)上是同義的反復(fù), ,數(shù)學(xué)上要確切數(shù)學(xué)上要確切地刻畫函數(shù)連續(xù)性地刻畫函數(shù)連續(xù)性, ,必須用必須用極限極限作定量地描述作定量地描述. .（一）定義（一）定義2021-11-1332缺缺一一不不可可三三個個條條件件處處連連續(xù)續(xù)蘊(yùn)蘊(yùn)涵涵以以下下在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù),0 xf注意注意1;)1(0的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在

15、點(diǎn)點(diǎn) xf以上三條中帶本質(zhì)性的是第二條，極限的存在性以上三條中帶本質(zhì)性的是第二條，極限的存在性.)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx .0換換順順序序運(yùn)運(yùn)算算與與函函數(shù)數(shù)運(yùn)運(yùn)算算可可以以交交處處連連續(xù)續(xù)意意味味著著極極限限在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xf注意注意2;)(lim)2(0存存在在極極限限xfxx.)()(lim)3(00相相等等與與函函數(shù)數(shù)值值極極限限xfxfxx2021-11-1333;)()()(lim,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱且且上上有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxfxx 定義定義2：;)()()(lim,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)

16、在在則則稱稱且且上上有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxfxx （函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)連續(xù)性）（函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)連續(xù)性）2021-11-1334),(.),()(,),()()1(bacfbaxfbaxf 記記作作內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在開開區(qū)區(qū)間間則則稱稱每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處都都連連續(xù)續(xù)的的在在開開區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù),.,)(,),()()2(bacfbaxfbabaxf 記記作作上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱稱左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)右右連連續(xù)續(xù)且且在在點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在開開區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)定義定義3： （ 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性）函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性）2021-11-1335（二）間斷

17、點(diǎn)的分類（二）間斷點(diǎn)的分類根據(jù)間斷點(diǎn)的不同情況，可以分為三類：根據(jù)間斷點(diǎn)的不同情況，可以分為三類：1. 可去型間斷點(diǎn)可去型間斷點(diǎn))(,)(lim00 xfxfxx但但是是不不等等于于存存在在 可去型間斷不是本質(zhì)性的間斷可去型間斷不是本質(zhì)性的間斷,可以重新可以重新定義定義, 使其連續(xù)使其連續(xù).)(lim)(00 xfxfxx 令令2021-11-1336沒沒有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)0sin)( xxxxf例如例如是是可可去去型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)故故但但是是01sinlim0 xxxx 0,10,sin)(1xxxxxf若令若令的的一一個個連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)就就成成為為則則)(01xfx 2021-11-133

18、72. 第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)但但是是不不相相等等都都存存在在和和,)(lim)(lim00 xfxfxxxx )(lim)(lim).(0()0(,)(00000 xfxfxfxfxxfxxxx 躍躍度度等等于于處處發(fā)發(fā)生生跳跳躍躍在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù) .0, 1,0, 0,0, 1sgn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxy例例 符號函數(shù)符號函數(shù) 是是第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 x2021-11-1338至至少少一一個個不不存存在在和和)(lim)(lim00 xfxfxxxx 3. 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)xy1 是是第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 xxy1sin 例例 2021-11-1339五

19、、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)五、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)（一）連續(xù)性定義的等價(jià)形式：（一）連續(xù)性定義的等價(jià)形式：下下列列命命題題等等價(jià)價(jià)則則的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè),)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx )()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其中其中2021-11-1340)()()(,0)(lim)4(00000 xfxfxfxxxxfx 既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二）連續(xù)函數(shù)的有界性：（二）連續(xù)函數(shù)的有界性：)(,000有有界界在在點(diǎn)點(diǎn)簡簡稱稱某某鄰鄰域域上上有有

20、界界的的在在則則連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xfxfxf2021-11-1341.)()(),(, 0., 0)(,000000同同號號與與上上使使在在即即的的某某鄰鄰域域上上保保號號在在點(diǎn)點(diǎn)則則且且連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xfxfxxxfxfxf （三）連續(xù)函數(shù)的保號性：（三）連續(xù)函數(shù)的保號性：2021-11-1342連續(xù)連續(xù)也在也在0 )2(xgf 則則連連續(xù)續(xù)都都在在點(diǎn)點(diǎn)若若,0 xgf連連續(xù)續(xù)也也在在函函數(shù)數(shù)對對任任意意常常數(shù)數(shù)0 ,)1(xgf 連續(xù)連續(xù)也在也在則則若若00, 0)()3(xgfxg （四）連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（四）連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：.)(),(,)(,)()4

21、(00000連連續(xù)續(xù)在在則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在連連續(xù)續(xù)在在若若ttgftgxxxfttgx 2021-11-1343（六）初等函數(shù)的連續(xù)性（六）初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。 （五）（五） 關(guān)于反函數(shù)的連續(xù)性關(guān)于反函數(shù)的連續(xù)性.)(),()(),()(,)(1嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)上上也也或或區(qū)區(qū)間間在在閉閉則則其其反反函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)上上嚴(yán)嚴(yán)格格在在閉閉區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)afbfbfafyfxbaxfy .,21cos)(znnxxxf 定定義義域域?yàn)闉殡x離散散點(diǎn)點(diǎn)是是初初等等函函數(shù)數(shù)。例例：2021-11

22、-1344連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2021-11-1345一、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)（一）連續(xù)性定義的等價(jià)形式：（一）連續(xù)性定義的等價(jià)形式：下下列列命命題題等等價(jià)價(jià)則則的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè),)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx )()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其中其中2021-11-1346既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二）連續(xù)函數(shù)的有界性：（二）連續(xù)函數(shù)的有界性：)(,000有有界界在在點(diǎn)點(diǎn)簡簡稱稱某某鄰鄰域域上上有有界界的的在在則則連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xfxfxf2021-11-1347連續(xù)連續(xù)也在也在0 )2(xgf 則則連連續(xù)續(xù)都都在在點(diǎn)點(diǎn)若若,0 xgf連連續(xù)續(xù)也也在在函函數(shù)數(shù)對對任任意意常常數(shù)數(shù)0 ,)1(xgf 連續(xù)連續(xù)也在也在則則若若00, 0)