高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式學(xué)案新人教A版必修4

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式(重點(diǎn))2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明(難點(diǎn))3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見(jiàn)變形,并能靈活應(yīng)用(易錯(cuò)點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式s2sin 22sin_cos_c2cos 2cos2sin2t2tan 22余弦的二倍角公式的變形3正弦的二倍角公式的變形(1)sin cos sin 2,cos .(2)1±sin 2(sin_±cos_)2.基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)二

2、倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角()(2)存在角,使得sin 22sin 成立()(3)對(duì)于任意的角,cos 22cos 都不成立()解析(1)×.二倍角的正弦、余弦公式對(duì)任意角都是適用的,而二倍角的正切公式,要求k(kz)且±k(kz),故此說(shuō)法錯(cuò)誤(2).當(dāng)k(kz)時(shí),sin 22sin .(3)×.當(dāng)cos 時(shí),cos 22cos .答案(1)×(2)(3)×2sin 15°cos 15°_.sin 15°cos 15°×2sin 15°cos 15°si

3、n 30°.3cos2_.cos2×.4若tan 2則tan 2_.tan 2.合 作 探 究·攻 重 難給角求值(1)coscoscos的值為()abcd(2)求下列各式的值：cos415°sin415°；12sin275°；. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352329】(1)d(1)coscos,coscos,coscoscoscoscoscos.(2)cos415°sin415°(cos215°sin215°)(cos215°sin215°)cos215°sin215

4、76;cos 30°.12sin275°1(1cos 150°)cos 150°cos 30°.2×2×2.4.規(guī)律方法對(duì)于給角求值問(wèn)題,一般有兩類(lèi)：(1)直接正用、逆用二倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過(guò)程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件,使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.跟蹤訓(xùn)練1求下列各式的值(1)cos 72°cos 36°；(2).解(1)co

5、s 36°cos 72°.(2)原式4.給值求值、求角問(wèn)題(1)已知cos,求cos的值；(2)已知,且sin 2sin,求.思路探究依據(jù)以下角的關(guān)系設(shè)計(jì)解題思路求解：(1)與2,與2具有2倍關(guān)系,用二倍角公式聯(lián)系；(2)2與2差,用誘導(dǎo)公式聯(lián)系解(1),.cos0,sin,cos 2sin2sincos2××,sin 2cos12cos212×2,coscos 2sin 2××.(2)sin 2cos12cos2,sinsincoscos,原式可化為12cos2cos,解得cos1或cos.,故0或,即或.母題探究：1.在

6、例2(1)的條件下,求sin 4的值解由例2(1)解析知sin 42sin 2cos 22××.2將例2(1)的條件改為sin,0x,求的值解0x,x.又sin,cos.又cos 2xsin2sincos2××,cossinsin,原式.規(guī)律方法解決條件求值問(wèn)題的方法(1)有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn),使關(guān)系明朗化；尋找角之間的關(guān)系,看是否適合相關(guān)公式的使用,注意常見(jiàn)角的變換和角之間的二倍關(guān)系.(2)當(dāng)遇到f(,4)±x這樣的角時(shí)可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式,將條件與結(jié)論溝通.cos 2xsin類(lèi)似的變換還有：化簡(jiǎn)證明問(wèn)題探究問(wèn)題1解答化簡(jiǎn)證明

7、問(wèn)題時(shí),如果遇到既有“切”,又有“弦”的情況,通常要如何處理？提示：通常要切化弦后再進(jìn)行變形2證明三角恒等式時(shí),通常的證明方向是什么？提示：由復(fù)雜一側(cè)向簡(jiǎn)單一側(cè)推導(dǎo)(1)化簡(jiǎn)：_.(2)證明：4. 思路探究(1)通分變形(2)(1)tan 2(1)原式tan 2.(2)左邊4右邊,所以原等式成立規(guī)律方法證明三角恒等式的原則與步驟(1)觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式,處理原則是從復(fù)雜到簡(jiǎn)單,高次降低,復(fù)角化單角,如果兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡(jiǎn),即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明恒等式的一般步驟：先觀察,找出角、函數(shù)名稱(chēng)、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異；本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集

8、中”等原則,設(shè)法消除差異,達(dá)到證明的目的.跟蹤訓(xùn)練2求證：(1)cos2(ab)sin2(ab)cos 2acos 2b；(2)cos2(1tan2)cos 2.證明(1)左邊(cos 2acos 2bsin 2asin 2bcos 2acos 2bsin 2asin 2b)cos 2acos 2b右邊,等式成立(2)法一：左邊cos2cos2sin2cos 2右邊法二：右邊cos 2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左邊當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1下列各式中,值為的是()a2sin 15°cos 15°bcos215°sin215°

9、;c2sin215°dsin215°cos215°b2sin 15°cos 15°sin 30°；cos215°sin215°cos 30°；2sin215°1cos 30°1；sin215°cos215°1,故選b.2(2018·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2,則()af(x)的最小正周期為,最大值為3bf(x)的最小正周期為,最大值為4cf(x)的最小正周期為2,最大值為3df(x)的最小正周期為2,最大值為4b易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1(2cos2x1)1cos 2x,則f(x)的最小正周期為,當(dāng)xk(kz)時(shí),f(x)取得最大值,最大值為4.3若sin 3cos ,則_.66.4設(shè)sin 2sin ,則tan 2的值是_.sin 2si