高二人教A版必修5系列教案：2.3等差數(shù)列前n項和

1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料等差數(shù)列的前n項和（第一課時）教學設計【教學目標】一、知識與技能1.掌握等差數(shù)列前n項和公式；2.體會等差數(shù)列前n項和公式的推導過程;3.會簡單運用等差數(shù)列前n項和公式。二、過程與方法1 通過對等差數(shù)列前n項和公式的推導,體會倒序相加求和的思想方法；2. 通過公式的運用體會方程的思想。三、情感態(tài)度與價值觀結(jié)合具體模型,將教材知識和實際生活聯(lián)系起來,使學生感受數(shù)學的實用性,有效激發(fā)學習興趣,并通過對等差數(shù)列求和歷史的了解,滲透數(shù)學史和數(shù)學文化?！窘虒W重點】等差數(shù)列前n項和公式的推導和應用?！窘虒W難點】在等差數(shù)列前n項和公式的推導過程中體會倒序相加的思想方法?！局攸c、

2、難點解決策略】本課在設計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學策略。利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想,層層深入,通過學生自主探究、分析、整理出推導公式的思路,同時,借助多媒體的直觀演示,幫助學生理解,師生互動、講練結(jié)合,從而突出重點、突破教學難點。【教學用具】 多媒體軟件,電腦【教學過程】一、明確數(shù)列前n項和的定義,確定本節(jié)課中心任務:本節(jié)課我們來學習等差數(shù)列的前n項和,那么什么叫數(shù)列的前n項和呢,對于數(shù)列an：a1,a2,a3,an,我們稱a1+a2+a3+an為數(shù)列an的前n項和,用sn表示,記sn=a1+a2+a3+an,如s1 =a1, s7 =a1+a2+a3+a7,下面我們來共同探究

3、如何求等差數(shù)列的前n項和。二、問題牽引,探究發(fā)現(xiàn)問題1：（播放媒體資料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇跡之一。傳說陵寢中有一個三角形圖案,以相同大小的圓寶石鑲飾而成,共有100層（見圖）,奢靡之程度,可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少圓寶石嗎？即: s100=1+2+3+······+100=？著名數(shù)學家高斯小時候就會算,聞名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？請同學們思考高斯方法的特點,適合類型和方法本質(zhì)。特點： 首項與末項的和： 1100101, 第2項與倒數(shù)第2項的和： 299 101, 第3項與倒數(shù)第3項的和： 398

4、101, · · · · · ·第50項與倒數(shù)第50項的和： 5051101,于是所求的和是： 101×505050。1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050同學們討論后總結(jié)發(fā)言：等差數(shù)列項數(shù)為偶數(shù)相加時首尾配對,變不同數(shù)的加法運算為相同數(shù)的乘法運算大大提高效率。高斯的方法很妙,如果等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)時怎么辦呢？探索與發(fā)現(xiàn)1：假如讓你計算從第一層到第21層的珠寶數(shù),高斯的首尾配對法行嗎？即計算s21=1+2+3+ ·&

5、#183;···· +21的值,在這個過程中讓學生發(fā)現(xiàn)當項數(shù)為奇數(shù)時,首尾配對出現(xiàn)了問題,通過動畫演示引導幫助學生思考解決問題的辦法,為引出倒序相加法做鋪墊。把“全等三角形”倒置,與原圖構(gòu)成平行四邊形。平行四邊形中的每行寶石的個數(shù)均為21個,共21行。有什么啟發(fā)？ 1 + 2 + 3 + +20 +21 21 + 20 + 19 + + 2 +1s21=1+2+3+21=（21+1）×21÷2=231這個方法也很好,那么項數(shù)為偶數(shù)這個方法還行嗎？探索與發(fā)現(xiàn)2：第5層到12層一共有多少顆圓寶石？學生探究的同時通過動畫演示幫助學生思考剛才

6、的方法是否同樣可行？請同學們自主探究一下（老師演示動畫幫助學生）s8=5+6+7+8+9+10+11+12=【設計意圖】進一步引導學生探究項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列求和時倒序相加是否可行。從而得出倒序相加法適合任意項數(shù)的等差數(shù)列求和,最終確立倒序相加的思想和方法！好,這樣我們就找到了一個好方法倒序相加法！現(xiàn)在來試一試如何求下面這個等差數(shù)列的前n項和？問題2：等差數(shù)列1,2,3,n, 的前n項和怎么求呢？ 解:（根據(jù)前面的學習,請學生自主思考獨立完成） 【設計意圖】強化倒序相加法的理解和運用,為更一般的等差數(shù)列求和打下基礎。至此同學們已經(jīng)掌握了倒序相加法,相信大家可以推導更一般的等差數(shù)列前n項和公式了

7、。問題3：對于一般的等差數(shù)列an首項為a1,公差為d,如何推導它的前n項和sn公式呢？ 即求 =a1+a2+a3+an= （1）+（2）可得：2公式變形：將代入可得：【設計意圖】學生在前面的探究基礎上水到渠成順理成章很快就可以推導出一般等差數(shù)列的前n項和公式,從而完成本節(jié)課的中心任務。在這個過程中放手讓學生自主推導,同時也復習等差數(shù)列的通項公式和基本性質(zhì)。三、公式的認識與理解：1、根據(jù)前面的推導可知等差數(shù)列求和的兩個公式為：（公式一）（公式二）探究： 1、（1）相同點： 都需知道a1與n; （2）不同點： 第一個還需知道an ,第二個還需知道d; （3）明確若a1,d,n,an中已知三個量就可

8、求sn。 2、兩個公式共涉及a1, d, n, an,sn五個量,“知三”可“求二”。2、探索與發(fā)現(xiàn)3：等差數(shù)列前n項和公式與梯形面積公式有什么聯(lián)系？用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前 n 項和公式,這里對圖形進行了割、補兩種處理,對應著等差數(shù)列 n 項和的兩個公式.,請學生聯(lián)想思考總結(jié)來有助于記憶?！驹O計意圖】幫助學生類比聯(lián)想,拓展思維,增加興趣,強化記憶四、公式應用、講練結(jié)合1、練一練：有了兩個公式,請同學們來練一練,看誰做的快做的對！根據(jù)下列各題中的條件,求相應的等差數(shù)列an的sn ：（1） a1=5,an=95,n=10解：500（2） a1=100,d=2,n=50 解：【設計意圖】熟悉并

9、強化公式的理解和應用,進一步鞏固“知三求二”。下面我們來看兩個例題：2、例題1：2000年11月14日教育部下發(fā)了<<關(guān)于在中小學實施“校校通”工程的通知>>.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標:從2001年起用10年時間,在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng). 據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施,計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?解:設從2001年起第n年投入的資金為an,根據(jù)題意,數(shù)列an是一個等差數(shù)列,其中 a1=500, d=50那么

10、,到2010年（n=10）,投入的資金總額為答: 從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元?！驹O計意圖】讓學生體會數(shù)列知識在生活中的應用及簡單的數(shù)學建模思想方法。3、例題2：已知一個等差數(shù)列an的前10項的和是310,前20項的和是1220,由這些條件可以確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？解：法1：由題意知 ,代入公式得： 解得,法2：由題意知 ,代入公式得：,即,得,故由得故【設計意圖】掌握并能靈活應用公式并體會方程的思想方法。4、反饋達標:練習一：在等差數(shù)列an中,a1=20, an=54,sn =999,求n.解：由解n=27練習2： 已知an為等差數(shù)列,求公差。解：由公式得 即d=2【設計意圖】進一強化求和公式的靈活應用及化歸的思想（化歸到首項和公差這兩個基本元）。五、歸納總結(jié) 分享收獲：(活躍課堂氣氛,鼓勵學生大膽發(fā)言,培養(yǎng)總結(jié)和表達能力)1、倒序相加法求和的思想及應用；2、等差數(shù)列前n項和公式的推導過程；3、掌握等差數(shù)列的兩個求和公式,; 4、前n項和公式的靈活應用及方程的思想。六、作業(yè)布置：（一）書面作業(yè)：1.已知等差數(shù)列an,其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。2.在a,b之間插入10個數(shù),使它們同這兩個數(shù)成等差數(shù)列,求這10個