[理學(xué)]2004—數(shù)三真題、標(biāo)準(zhǔn)答案及解析

1、 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部2004年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =_，b =_.(2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) ¹ 0，則.(3) 設(shè)，則.(4) 二次型的秩為 .(5) 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則_.(6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡單隨機樣本, 則 .二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母

2、填在題后的括號內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). (8) 設(shè)f (x)在(-¥ , +¥)內(nèi)有定義，且， ，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點.(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). (9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點.(B) x = 0不是f (x)的極值

3、點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. (10) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). (11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是(A) 至少存在一點，使得> f (a).(B) 至少存在一點，使

4、得> f (b).(C) 至少存在一點，使得.(D) 至少存在一點，使得= 0. D (12) 設(shè)階矩陣與等價, 則必有(A) 當(dāng)時, . (B) 當(dāng)時, .(C) 當(dāng)時, . (D) 當(dāng)時, . (13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (B) 僅含一個非零解向量.(C) 含有兩個線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個線性無關(guān)的解向量. (14) 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、

5、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).(17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x Î a , b)，.證明：.(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價格P Î (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對價格的彈性(> 0)；(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加.(19) (本題滿分9分)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方

6、程；(II) S(x)的表達(dá)式.(20)(本題滿分13分) 設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時, () 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對角矩陣.(22) (本題滿分13分) 設(shè)，為兩個隨機事件,且, , , 令 求() 二維隨機變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. (23) (本題滿分13分) 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本,() 當(dāng)時, 求未知參數(shù)的矩估計量;

7、() 當(dāng)時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量; () 當(dāng)時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量. 2004年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因為，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【評注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) ® 0，則f (x) ® 0；(2) 若f (x) ® 0，且A ¹ 0，則g(x) ® 0.(2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f x

8、g(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) ¹ 0，則.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可.【詳解】令u = xg(y)，v = y，則f (u , v) =，所以，.(3) 設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x - 1 = t，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x - 1 = t，.【評注】一般地，對于分段函數(shù)的定積分，按分界點劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解. (4) 二次型的秩為 2 .【分析】二次型的秩即對應(yīng)的矩陣的秩, 亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項的項數(shù), 于是利用初等變換

9、或配方法均可得到答案.【詳解一】因為于是二次型的矩陣為 ,由初等變換得 ,從而 , 即二次型的秩為2. 【詳解二】因為, 其中 .所以二次型的秩為2. (5) 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評注】本題是對重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.(6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡單隨機樣本, 則 .【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征即可得答案.【詳解】因為 , ,故應(yīng)填 .【評注】本題是對常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征的考查.二、選擇題（本題共6小題，每小題

10、4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x ¹ 0 , 1 , 2時，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)

11、連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設(shè)f (x)在(-¥ , +¥)內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點.(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因為= a(令)，又g(0) = 0，所以，當(dāng)a = 0時，即g(x)在點x = 0處連續(xù)，當(dāng)a ¹ 0時，即x = 0是g(x)的第一類間斷點，因此，g(x)在

12、點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).【評注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性.(9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點.(B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷

13、極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號，判斷拐點情況.【詳解】設(shè)0 < d < 1，當(dāng)x Î (-d , 0) È (0 , d)時，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點.顯然，x = 0是f (x)的不可導(dǎo)點. 當(dāng)x Î (-d , 0)時，f (x) = -x(1 - x)，當(dāng)x Î (0 , d)時，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.故選(C).【評注】對于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一

14、階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷. (10) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明4個命題的正確性.【詳解】(1)是錯誤的，如令，顯然，分散，而收斂.(2)是正確的，因為改變、增加或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因為由可得到不趨向于零(n ® ¥)，所以發(fā)散.(4)是錯誤的，如令，顯然，都發(fā)散，而收斂. 故選(B).【評注】本題主要

15、考查級數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型. (11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是(A) 至少存在一點，使得> f (a).(B) 至少存在一點，使得> f (b).(C) 至少存在一點，使得.(D) 至少存在一點，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項.【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點，使得；另外，由極限的保號性，至少存在一點使得，即. 同理，至少存在一點使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定

16、的難度.(12) 設(shè)階矩陣與等價, 則必有(A) 當(dāng)時, . (B) 當(dāng)時, .(C) 當(dāng)時, . (D) 當(dāng)時, . D 【分析】 利用矩陣與等價的充要條件: 立即可得.【詳解】因為當(dāng)時, , 又 與等價, 故, 即, 故選(D). 【評注】本題是對矩陣等價、行列式的考查, 屬基本題型.(13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (B) 僅含一個非零解向量.(C) 含有兩個線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個線性無關(guān)的解向量. B 【分析】 要確定基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù), 實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解

17、】 因為基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù)=, 而且根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎(chǔ)解系僅含一個解向量, 即選(B).【評注】本題是對矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個知識點的綜合考查.(14) 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得.【詳解】 由, 以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得. 故正確答案為(C).【評注】本題是對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考查.三、解答題(本題共9小題，滿分94分

18、. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價無窮小與羅必達(dá)法則求解即可.【詳解】=.【評注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對于“”型極限，應(yīng)充分利用等價無窮小替換來簡化計算.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對稱性與極坐標(biāo)計算即可.【詳解】令，由對稱性，.所以，.【評注】本題屬于在極坐標(biāo)系下計算二重積分的基本題型，對于二重積分，經(jīng)常利用對稱性及將一個復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個或三個簡單區(qū)域來簡化計算. (17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) ,

19、 g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x Î a , b)，.證明：.【分析】令F(x) = f (x) - g(x)，將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可.【詳解】令F(x) = f (x) - g(x)，由題設(shè)G(x) ³ 0，x Î a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) ³ 0，x Î a , b，故有，即 .因此 .【評注】引入變限積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法.(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價格P Î (0 , 20)，Q

20、為需求量.(I) 求需求量對價格的彈性(> 0)；(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加.【分析】由于> 0，所以；由Q = PQ及可推導(dǎo).【詳解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.當(dāng)10 < P < 20時，> 1，于是，故當(dāng)10 < P < 20時，降低價格反而使收益增加.【評注】當(dāng)> 0時，需求量對價格的彈性公式為.利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個常用的公式： ，(收益對價格的彈性).(19) (本題滿分9分)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(

21、x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.【分析】對S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達(dá)式.【詳解】(I) ，易見 S(0) = 0，.因此S(x)是初值問題的解.(II) 方程的通解為 ，由初始條件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函數(shù).【評注】本題綜合了級數(shù)求和問題與微分方程問題，2002年考過類似的題.(20)(本題滿分13分) 設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時, () 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】將可否由線性表示的問題轉(zhuǎn)化為線性

22、方程組是否有解的問題即易求解.【詳解】 設(shè)有數(shù)使得 . (*)記. 對矩陣施以初等行變換, 有.() 當(dāng)時, 有 .可知.故方程組(*)無解, 不能由線性表示.() 當(dāng), 且時, 有, 方程組(*)有唯一解： , , 此時可由唯一地線性表示, 其表示式為 () 當(dāng)時, 對矩陣施以初等行變換, 有，, 方程組(*)有無窮多解，其全部解為 , , ， 其中為任意常數(shù)可由線性表示, 但表示式不唯一,其表示式為 【評注】本題屬于常規(guī)題型, 曾考過兩次(1991, 2000).(21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對角矩陣.【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計算問題, 通?？捎汕蠼馓卣鞣匠毯妄R次線性方程組來解決.【詳解】() 當(dāng)時， ,得的特征值為，對，解得，所以的屬于的全部特征向量為(為任意不為零的常數(shù))對， 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于的全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))當(dāng)時，,特征值為，任意非零列向量均為特征向量() 當(dāng)時，有個線性無關(guān)的特征向量，令，則當(dāng)時，對任意可逆矩陣, 均有 【評注】本題通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計算, 齊次線性方程組的求解和矩陣的對角化等問題, 屬于有一點綜合性的試題. 另外,本題的解題思路是容易的,